对提升数学素养的理解与思考

【摘 要】数学素养作为个人能力素养的一个重要方面，其定义和内涵的界定也因不同的研究角度和方向而有所差异，从而提升数学素养的目标也会有所不同。数学素养的最基本表现是具备和形成应用数学解决实际问题的能力，也就是最终体现到用数学的思维和观点分析解决问题的能力上。数学素养虽然是一种特殊素养和能力范畴，但其作用在一般能力素养的培养中越来越受到关注和重视。

【关键词】数学素养 能力 核心素养 思维 连结 解决问题

在界定数学素养时，不应仅从数学本科知识的立场审视问题，而必须从整体性的视角，厘清相关的核心数学素养，以期成为人格发展的基础。经整合国内外之观点，认为数学素养的定义与内涵为：个人的数学能力与态度，使其在学习、生活与职业生涯的情境脉络中面临问题时，能辨识问题与数学的关联，从而根据数学知识、运用数学技能、并藉由适当工具与信息，去描述、仿真、解释与预测各种现象，发揮数学思维方式的特长，做出理性反思与判断，并在解决问题的历程中，能有效地与他人沟通观点。

一、对数学素养的多种界定与理解

国际与国内有关学者界定基本素养时，多包含数学因素，重要例证如下：自20世纪90年代中期之后，经济合作与发展组织（The Organisation for Economic Co-operation and Development，OECD）积极关注能力的界定与调查，所执行的素养的界定与选择（The Definition and Selection of Competencies： Theoretical and Conceptual Foundations，DeSeCo）研究项目，界定出三项核心素养层面，一是能使用工具沟通互动（using tools interactively），二是能在社会异质团体运作（interacting in socially heterogeneous group），三是能自主行动（acting autonomously）。在能互动地使用工具层面里包括使用语言、符号与文本互动的能力，而所谓符号即涵盖数学思维的运用。欧盟执委会于2005年发表终身学习与核心素养（Lifelong Learning and Key Competences for All： Vital Contribution to Prosperity and Social Cohesion），曾提出终身学习八大核心素养，其中涵盖数学能力以及基本科技能力。

曾有学者在界定与选择个人核心素养之概念参考架构与理论基础研究中指出，个人核心素养的目的在于界定与选择一组核心素养，以期让具备这些素养的个人可以实现成功人生，使社会整体能运作良好。该研究对应于所界定出的三项核心素养层面，提出二十项国民的基本素养。在能使用工具沟通互动层面的六种素养项目中，第六项即为数的概念与应用，就是要能够理解数的概念，并应用于日常生活，解决实际问题。为适应国家发展的特殊需要，在三项核心素养层面之外，还有学者引入了第四层面，即展现人类的整体价值并建构文明的能力，其内容为形式的逻辑能力、哲学思想能力，与生活相关的逻辑能力、社会正义、规范相关的逻辑能力、意志价值追求相关的逻辑能力、工具理性。逻辑思维与方法的基础也就是数学的基础。其中，数学个人核心素养以三个考量为依归，即能解决日常生活中的数学问题，能作为科学学习的基础，以及作为理性思考的典范。

所谓数学素养是指个人在各种脉络里形成、使用、诠释数学的能力。其中包括数学推理以及使用数学概念、程序、事实、工具来描述、解释、预测现象。数学素养有助于了解数学在世界里扮演的角色，也能帮助人们做出有所依据且具反思性的判断与决策。数学素养内容兼顾数学内容领域和数学历程。前者包含了变化与关系、空间与形状、数量、不确定性与数据；后者则包含了形成数学情境，应用数学概念、事实和程序来推理、诠释、应用以及评鉴数学结果。

有专家指出，高中教育阶段核心素养在与各领域课程统整中得到发展，而高中数学课核心素养主要包括四个方面：一是语言表达与符号运用素养，即具备演算、抽象化、推理、连结、解题、沟通等数学能力，并能运用数学符号进行逻辑思考、分析并解决问题。二是信息科技与媒体素养，即具备使用计算工具的能力，藉此处理烦琐的计算，进行较为复杂的问题解决。三是艺术欣赏与环境美学素养，即能欣赏数学内涵中以简驭繁的精神与结构严谨的特质。四是国际理解与多元文化素养，即能将数学知识与具体世界连结，了解其在公共事务或不同文化中的形式与意义，并能进行批判性识读。

二、提升数学素养的作用

通过提升数学素养，能够形成有效学习数学的思维方式，以便灵活地运用数学知识、技能与工具，解决生活中的问题，并具备理性反思能力。若要做到能反思、能判断、能决策，就必须具备解决问题的能力。如果数学课里要学生解决的问题，是源自于现实世界的，便可以提供学习的动机与应用的引导，从而有助于形成一般解决问题的能力。比如，解决如何规划紧急逃生路线，如何规划有效使用水电资源等这些实际问题时，可以为学生提供数学应用于实际的引导，以提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三、提升数学素养的目标

数学素养是人的基本和重要的素养之一，只有具备相应的数学素养，人们解决实际问题的能力才会增强。而数学素养的提高，主要是通过对数学知识的学习和应用来实现的，那么提升数学素养的目标可以概括为以下几个方面。

（一）学习并发挥数学思维的特长

数学思维是运用数学概念、数学方法、数学知识的思考取向和思维特征。每个人在社会生活中都需要认识事物，分析事物，并做出合理判断，这些都离不开数学思维的运用，因此，数学思维是数学素养最基本的要件。然而，数学思维有三种特色最值得彰显。

1.由繁化简、以简驭繁（抽象性）

数学的基本概念源自生活的世界，数学关注的不是世界里各种对象的物理或化学性质，而是它们之间的关系。关系本身不具有形的实体，只是一些符号的表征，这就是数学抽象性的本质。例如：1、2、3…，一、二、三…，或one、two、three…只是自然数的不同表征，它们所代表的概念性的数都是一样的。然而，日常生活里的数却总是伴随着度量单位出现的，例如：10公斤玉米、60度电、15个小时等。数学在抽象的概念上发展，探索它们之间的相互关联，从表象分殊的繁复概念里，逐步抽离出更具统合性的上层精简概念。然而，世界之奇妙在于貌似虚空的思想建构，又往往出其不意并且极其有效地运用到实际的问题上。例如，源于19世纪解多项式根的群论，在20世纪成为量子论的重要工具。

数学的抽象性更使数学得以充分发挥以简驭繁的功能，因为每当抽象的层次提高，原来分属不同领域的知识，就有可能在更高的观点下得到统一。例如，从古希腊欧几里得的平面与立体几何，经历解析几何、仿射空间、射影空间、非欧几何、拓朴空间等，人类对于空间的认识也随抽象层次的提升，愈加体会和认识到空间的本质与普遍性。从数学解题的角度来看，抽象性更表现在利用数与形当作模型的思考方式上。

2.有条有理的分析与推论（逻辑性）

逻辑学虽然发源于古希腊，在亚里士多德手中撰成系统著作，但是有条理而能保持真理性的论述方式，各个古代文明均不欠缺。反过来说，如果思想无力表达明晰的前因后果，也不可能建立辉煌的文明。数学知识的表达通常都是以演绎的方式，说服人接受在一定前提的假设下，必然导出的结论。因此，与其他学科相比较而言，数学最具有明确的逻辑论证脉络。

把数学知识与外在世界连结的重要方法之一，是通过数学模型的建立。在建立繁简适中、易解好用的模型过程里，须不断分析、简化、归纳真实世界的现象。养成有条有理的思想习惯，才比较容易掌握事物的本质，厘清表象背后的规律性。通过学习数学的实际操作过程，个人思想会受到条理性的陶冶，在潜移默化中便养成思维方式不违背逻辑的良好习惯。逻辑思维的能力与习惯，是培养有反思与沟通能力的现代国民不可或缺的要素。

3.永续而深刻的创新力

从数学发展的历史来看，新的概念不断创发出来。譬如原始数的概念只包含正整数1，2，3，…，但是经过漫长的挣扎，人类意识到0作为数字的意义，又从正数发展出负数，从有理数到实数，进而至复数甚至四元数。至于当代数学更是突飞猛进，各种创新的概念与理论层出不穷。所以，数学是一种绝对偏重创造的学科，即使是老旧的内容，也不断地寻求新的表达方式，或建立与其他领域新的关联。在当前快速多变的知识经济与科技时代，创造力扮演了极其重要的角色。国家是否具有竞争力，也与国内的人才是否具有创造力关系密切。当前学校教育若要加强学生对时代变迁的适应力，就应该重视培养学生的创造力。而活用数学使其生活化，有利于体现和认识创新的价值，以及寻求创新的动力。

（二）充实并活用基本的数学知识

在数学素养的知识内容层面上，所梳理出的变化与关系，空间与形状，数量，不确定性与数据这数学的四大领域，仍具有重要的参考性。在基础教育阶段，可以以这四大领域为主，将学习的深度与题材持续加深、加广。此外，可根据学生的发展要求不同，对于倾向升学的学生，可在四大数学知识素养领域内，多偏向学术性的训练；而倾向社会就业者，应增加数学知识与外在世界连结的学习，以便增强应用数学于实际的能力。数学知识应包括对于数学概念的理解与运用，以及对于数学演算程序操作的执行。具体而言，四大数学知识素养领域可概括为以下主要内容。

1.关系与变化

关系是日常生活里经常使用到的词语。发生关系的两端主体，有的是恒常稳定的，譬如亲子关系；也有是变动的，譬如油料与油价之间的关系。变化则在其前与其后的主体间搭建起一定的关系。生活及科学里充斥着各式各样为人所在意的变化与关系。在处理事物时，想要达成有效的成果，常需掌握其间的各种变化与关系。数学的训练是了解变化与关系本质的极佳途径。

2.空间与形状

处理空间与形状信息需有良好的空间感。空间感是个人对生活中各种几何形状的基本性质、组成、结构以及形状间相对关系的一般性理解与认知，从而发展弹性灵活的方法去使用这种理解。与空间感相关的有效解题策略，是处理生活中所遭遇的图形和视觉表征问题的要素。例如，地图的解读，汽车导航器的使用，在陌生街道里的自我定位与辨识目标方向，居住空间的规划，甚至环境的美化，都与良好的空间感息息相关。

3.数量

对于数的认识，不仅仅是一种量化的符号，而且是生活中经常与度量单位结合产生的数感。数感是个人对数字（带单位或不带单位）、运算以及两者间产生的情境的一般性理解与认知，以及能够以弹性灵活的方法去使用这种理解和发展解题的有效策略，包括心算、估算，来处理日常生活中所遇到与数量有关的问题。在科技快速进步，信息复杂且多变化的时代里，人们更应具备良好的数感以解决现实生活中所遇到的数量问题。

4.不确定性与数据

当抛掷硬币以自由落体方式落下时，若给定高度，则落地所需时间为定值，这是必然性。但哪一面朝上却未可知，此便属随机性。但是，随机性并非全然混乱，随机性的规律建立在概率理论上。由于生活中充满着随机性，使得人们对很多事物常常感到不确定，因此需做出各种预测。有些预测方式虽然缺乏科学依据，但是即使胡乱猜测，获得正确答案的几率仍有可能不为零。为了进行有科学根据的预测，也就是所谓让数据说话，可利用统计方法，先搜集资料，加以整理及分析，然后给出推论。人们在随机世界中经常面临抉择，或需对现况及未来进行推测与预测。充分了解不确定性，以及具备基本的处理数据与风险评估能力，应该构成数学素养的一部分。

（三）建立积极对待数学的态度

尽管学生在数学知识的测试上表现优异，但是，在关于喜好数学的程度、对数学的信心，以及数学是否有用的认知上，都呈现相当负面的态度。这种现象反映出数学教育并未把数学当作人格发展的基础之一，从而造成学生学习数学时的偏差态度，也无法由数学以简驭繁的严密精神中，获得精神美感的提升。积极有效的数学教育应该使学生相信努力会得到对等的收获，逐步培养出自信。如果学生能从文明发展的脉络中，品尝数学的功能与价值，就会感受到数学是有用的、值得花费时间精力学习的科目。这种学习的目标，不在追求测验分数的优异，而在内化数学思维与数学知识，使自己成为有反思能力，以及可以适应环境变迁，具有竞争力的个人。

（四）善于利用计算工具与数字科技

传统的数学工具数表、计算尺等，其目的多在于简化数值计算的过程，以节省人力的方式获得精确或估计的答案。但是，当代不断快速发展的电子计算器，因为软件的出现，使得与传統的数学工具大相径庭，功能也远超出数值计算的范围，而成为各种信息的处理器。数字科技强大的计算威力与模拟效果不仅能丰富人们的想象，也逐渐改变部分人思考的模式。在数字工具日渐普及的今天，讨论未来人们应具备的数学素养时，绝对不能忽略各种数字工具，比如电子表格、计算器、数学软件、多媒体、网络、云端等与学习数学之间的关系。数字工具可以将数学概念可视化，可以协助整理和分析数据，可以做正确和更有效率的计算以帮助学生探索数学概念，更聚焦于决策判断、反思和推理等问题解决的活动。因此，数字科技的使用能力，也就构成数学素养的一部分。

总之，数学素养这一科学概念有不同的界定和内涵，由此而定位的培养数学素养的目标也就会有所差异。实际中可以从不同角度来分析和看待数学素养，但数学素养是个人能力素养之一这个本质是相同的。只有通过多种途径对数学知识进行学习，深刻认识和理解数学思想方法，才能抓住数学的本质和灵魂，也才能提高运用数学解决实际问题的能力，这样数学素养就会随之自然提高。

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