论培养学生数学分析和解决问题能力的方法

数学分析和解决问题的能力是指通常阅读、理解，综合应用所学数学知识，方法来解决问题。它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。这就要求。教师在平时学中注重培养学生分析和解决问题能力。

一、分析和解决问题能力的组成

《标准》中第一学段的教学目标是：“能在教师引导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题。了解同一问题可以有不同的解决办法。有与同伴合作解决问题的体验。初步学会表达解决问题的大致过程和结果。”在教学中，我充分利用教材提供的资源，以例题中提供的学校生动活泼的内容为素材，展示实际活动学校开运动会中的计算问题，加深学生对数学问题的基本含义的理解。

1.审题能力

审题是对条件和问题进行全面认识、分析研究。主要是指学生充分理解题意，分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力，要快捷、准确在解决问题。

例题：已知函数y= cos2x+sinx· cosx+1（x∈R），

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合;

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y= cos2x+ sinx·cosx+1=（2cos2x-1）+ +（2sinx·cosx）+1

=cos2x+sin2x+=（cos2x·sin +sin2x· cos）+

= sin（2x+）+

所以y取最大值时，只需2x+ = +2kπ，（k∈Z），即 x= +kπ，（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x= +kπ，k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像;

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像;

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数y= sin（2x+）的图像;

（iv）把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数y= sin（2x+）+ 的图像。

综上得到y= cos2x+ sinxcosx+1的图像。

说明：本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1;当cosx≠0时，y= +1= +1

化简得：2（y-1）tan2x- tanx+2y- 3=0

∵tanx∈R，∴△=3-8（y-1）（2y- 3）≥0，解之得：≤y≤

∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+，k∈Z}

从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力，由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分。

2.合理应用知识、思想、方法解决问题的能力

高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容;数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等;数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法，只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能使问题解决得更迅速、顺畅，教学时，我注意调动学生的学习经验和生活经验，采用独立尝试、讨论等方式，让学生主动探索解决问题的方法。在教学过程中，让学生已掌握的知识技能对解决新问题产生积极的影响，体现学生学习的自主性。如，出示例题后我并没有过多的讲解，而是让学生自主探究解决的方法，通过在组内和班内交流，使学生能将所想与所做统一起来，达到心、手、口的统一。

例题：已知函数。

（1）求 的最小正周期、的最大值及此时x的集合;

（2）证明：函数 的图像关于直线 对称。

（3）证明：欲证明函数 的图像关于直线 对称，只要证明对任意，有 成立，因为 所以成立，从而函数 的图像关于直线 对称。

在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查理解和掌握数学基本知识、思想、方法的解法分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力。

二、培养和提高分析和解决问题能力的策略

重视熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题。

熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数 的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化。

每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比 的分类和直线方程中对斜率 的分类等;（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等。因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效。从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。

加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力。高考是注重学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。

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