数学教学中加强培养学生物理思维的改革与实践

摘要：高等数学和大学物理具有千丝万缕的联系。本文首先讨论了高等数学和大学物理的学科特点，提出两学科在教学中的相互渗透和相互促进作用。基于工科学生在高等数学和大学物理学习中遇到的问题，指出大学物理为高等数学的抽象思维提供丰富的内涵，进而提出物理思维在高等数学教学中渗透的必要性。文中着重探讨如何在高等数学教学中进行教学设计，从而培养数学教学中学生的物理思维，进而满足工科学校培养学生工程思维的需求。

关键词：高等数学课程 物理思维 教学设计 教学内容

中图分类号：G6337文献标识码：A文章编号：1009-5349（2016）11-0023-02

高等数学和大学物理是理工科学生必修的基础课。虽然，它们有各自不同的目标和价值判断准则，也有不同的传统。但它们的基础概念部分，令人吃惊地分享着若干共同的概念。[1]两学科之间彼此借鉴，互相促进。高等数学是大学物理必备的工具，物理学发现的定性规律可以用数学表达式定量且简洁地表述出来。反之大学物理对高等数学的回馈也很丰厚。学过物理的学生对数学意境有更深邃的理解，更能体会数学语言的丰富内涵和高度概括力。一些颇费口舌的数学概念可以借助物理的直观而简化处理。[2]高等数学和大学物理有着千丝万缕的联系，许多教育工作者就如何结合两门学科特点协同教学进行了深入探讨。

一、问题的提出

随着我国高考调整，普通高校扩招，增大学校规模，就出现了普通本科院校生源质量逐年下降，明显的表现就是数学基础相对比较薄弱。[3]根据多年实际教学经验及对学生的问卷调查发现：学生们在学习高等数学时，物理想象能力匮乏；学习大学物理时，缺少与新知识相关的高等数学知识作为储备，从而对物理模型的理解应用产生局限性。因此，帮助学生克服在学习高等数学中涉及的物理问题时出现的思维负迁移，使其顺利实现数学思维和物理思维间转化，从而为更好地培养学生具有优秀的工程师素质，是目前数学教学中需要承担的任务和挑战。本文就如何在数学教学中加强培养学生物理思维的改革与实践提出几点思考与探索。

二、探寻物理意义，实现物理思维在数学中的渗透

高等数学在应用方面具有为其他科学提供表述语言、抽象思维模式和计算工具的特点。[4]物理学研究的是物理量之间的数量关系，这种数量关系要借助于数学来表达。数学既是物理学的语言，又是物理学的工具。在高等数学涉及到的物理问题教学中，既要实现培养学生用数学语言表达物理内容，如定理、定律等，又要指导学生善于从数学演算的结果中作出符合实际的解释，即追问表示什么样的物理意义。

高等数学与大学物理在概念、内容上有着相当程度的融合。下面以“对弧长的曲线积分”教学内容为例，展示在教学中始终围绕物理意义来完成数学教学过程。利用探寻物理意义的方式实现物理具体思维与数学抽象思维间的转换，进而建立物理问题和数学概念间的柔性连接。

高等数学的“对弧长的曲线积分”教学引入中首先提出如下物理问题。设一曲线形构件所占的位置是在xoy面内的一段曲线弧L上，已知曲线形构件在曲线弧L上的点（x，y）处的线密度为μ（x，y），现计算该曲线形构件的质量m。在处理具有实际意义的物理问题过程中，通常需要将问题进行合理的抽象和简化，转化成适当的数学模型。我们将构件质量计算的数学形式定义为对弧长的曲线积分。反之，从物理学角度解读对弧长的曲线积分，∫Lμ（x，y）ds就是线密度为μ（x，y）曲线形构件的质量。将问题延伸一下，当μ（x，y）=1时，得对弧长曲线积分∫Lds=s。从物理学角度解释，如果线密度为常数1，曲线质量恰好为曲线长度与线密度的乘积，即曲线质量恰好为曲线长度。

类似的，引导学生自主思考：若曲形构件所占有空间区域为闭合曲线，计算当它的密度为1时的质量；设平面薄片占有由闭合曲线所围成的平面区域R，计算当它的密度为1时的质量。

通过上述教学过程，可以清晰地发现教学的主题虽还是数学内容，但教学的延展却是数学的物理应用，这样的教学设计有助于开拓学生的视野，提高学生们的应用能力。

三、突出高等数学中物理概念和原理的学习

高等数学主要培养学生抽象概括、空间想象、逻辑推理和计算等方面的能力，大学物理不仅要使学生获得关于自然现象的更加严密、准确和一般化的知识，而且要使学生掌握科学的思想方法和研究方法（包括运用数学工具和实验）。因此，高等数学和物理虽然在许多内容上有着高度的融合，但是由于自身各自的学科特点，仍要注意区分数学概念和物理概念，突出物理概念、原理的学习。

下面以高数教材中的“曲线”教学内容为例进行教学设计，强调在教学中始终把握曲线是运动的轨迹这一物理背景，让学生们体会用曲线来描绘和分析运动是数学教学的功能之一。

对于任意一条空间曲线都可以认为是某质点的运动轨道，也都可以认为是某一随时间变化的位置矢量的端点轨迹。对于变化的位置矢量来说，总可以表达为三个直角坐标分量的形式r=xi+yizk。该矢量表达和参数方程表达x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）是等价的。

1.向量值函数在运动学中的概念

若r是沿光滑平面曲线运动的质点的位置向量，则在任何时刻t，

（1）v（t）=drdt是质点的速度向量，并且与曲线相切（切向量）；

（2）‖v（t）‖代表v（t）的大小，是质点的速率；

（3）a（t）=dvdt=d2vdt是速度的导数或位置向量的二阶导数，是质点的加速度向量；

（4）v（t）‖v（t）‖是一个单位向量，且为运动方向。

我们可以把运动的质点的速度表示成它的速率与方向的乘积：

速度=‖v‖（v‖v‖=（速率）（方向）

2.曲线的曲率与物理学的衔接

在曲线曲率的教学过程中，可以更工程化地体现我们的教学内容。现在我们不妨抛开抽象的数学概念，以向量值函数在运动学中的相关概念为基础，给出曲率的定义。设物体沿某光滑曲线运动，不妨用点离开某个“基点”的有向距离s确定物体位置，这与用离开原点的有向距离来确定该点在坐标轴上的位置如出一辙。s可以作为研究曲线形状的自然参数（称为弧长参数）。弧长参数对于研究空间或平面曲线的弯曲和扭转特别有效。

由于s（t）=∫tt0‖v（τ）‖dτ，显然有dsdt=‖v（t）‖。由速度向量v（t）=drdt相切于曲线，知向量T=v‖v‖是光滑曲线的单位切向量。现令弧长作为参数，因为我们考虑的曲线dsdt>0，是单值的且其反函数是s的可微函数t，故有反函数的导数为dtds=1ds/dt=1‖v‖。这就使得r是s的可微函数，其导数可通过链式法则计算得drds=drdtdtds=v1‖v‖=T。这个等式说明dr/ds是在速度向量v方向上的单位切向量。

对于平面曲线，它即使弯曲也不能扭转出平面。当一个质点沿平面光滑曲线运动时，T=drds随着曲线的弯曲而转动，因为T是单位向量，在质点沿曲线运动时，它的长度保持常数值而仅仅方向在改变。由此我们定义单位长度上T的转动率称为曲率。若T是光滑曲线的单位切向量，则曲率函数是K=‖dTds‖。如果‖dTds‖大，T在质点通过P时转动得急剧，在点P的曲率就大，如果接近于零，在质点通过时转动得缓慢，在点的曲率就小。以直线与圆周的曲率为例，易知直线曲率为零，圆周曲率为其半径的倒数，且半径越小曲率越大，恰好可以检验这个定义。

虽然作为数学概念，可以很轻松地讲解曲率，但通过这种教学设计结合物理概念和原理来讲解曲率时，可以更好地实现物理思维在数学教学中的渗透，达到良好的教学效果。

由此可见，针对高等数学教材中涉及的物理模型章节，例如，质点运动的描述，力的做功运算，多质点系刚体，场的路径积分及通量计算等进行教学改革与实践，可以提高学生的物理思维，并为使他们具备工程思维打下良好基础。但同时在针对高数教材中涉及的物理问题调整教学内容时，还要注意以下几个问题：

（1）既要注意物理现象的数学表现形式，又要特别注意物理现象自身的特点。

（2）既要明确物理规律所表示的物理意义，又不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，特别要防止单纯从数学观点出发将物理问题纯数学化的倾向。

（3）由于物理规律受实际情况的制约，所以表达物理概念或规律的公式时一定要明确物理公式成立的条件和适用的范围。

因为在教学过程中适当强调物理定律或公式是如何建立或导出的，并在此基础上弄清物理定律或公式的意义和应用背景，因此可以帮助学生们避免机械地死记硬背物理公式的困难。

四、结论

大学物理与高等数学有着密切的联系，许多教育工作者就如何更好地建立两学科的柔性连接进行了广泛深入的研究。本文基于数学及物理的广泛联系及应用性，意识到数学融合物理的教学实践具有广阔的发展空间。文中强调高等数学教学中应建立物理问题和数学概念的柔性连接并突出高等数学中物理概念和原理的学习。通过对“弧长的曲线积分”和“用曲线来描绘和分析运动”的教学设计，具体呈现了数学教学中加强培养学生物理思维的必要性与可行性。这种教学设计为学生提供了一种真正的工程背景，使学生感受到科学和技术就发生在身边，成果就在其中，从而引发他们的学习兴趣，扩展他们的视野，培养他们的工程素质。

参考文献：

[1]陈治，陈祖光，郎霞等.关于高等数学与大学物理的互补链接[J].教学与教学研究（现：中国大学教育），1999，02：44-46.

[2]陈建军，徐涛.高等数学课程与大学物理课程教学协同刍议[J].高等函授学报（自然科学版），2011，24（06）：29-31.

[3]张淼.提高学生的高等数学课程学习效果的教学研究与探讨[J].长春工程学院学报（社会科学版），2014，15（04）：131-132.

[4]王子兴.数学方法论——问题解决的理论[M].长沙：中南工业出版社，1997.

[5]陈建军，徐涛.高等数学课程与大学物理课程教学协同刍议[J].高等函授学报（自然科学版），2011，24（06）：29-31.

责任编辑：孙瑶

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