化归思想在数学分析课程中的体现

摘 要：据笔者多年教授数学分析课程的经验，发现学生对本课程有畏难、抵触情绪。究其原因有两点：一是本课程是学生上大学后接触到的第一门分析学，系统性、理论性很强；二是该课程所涉及的知识点很多，公式、概念太多。本文从数学分析课程中所体现的化归思想方面进行了阐述。

关键词：数学思想方法；化归思想；数学分析

一、关于数学分析课程

数学分析是数学专业最重要的一门专业基础课，是许多后续课程，如微分几何、微分方程、复变函数、实变函数与泛函分析、计算方法、概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学专业学生的必修课，在培养计划中列为主干课程。

二、化归思想方法及其在数学分析课程中的体现

1.化归思想方法

所谓化归思想方法是指研究问题时，把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类能解决或比较容易解决的问题中，最终获得原问题解决的一种思想方法。化归思想方法是人们对事物间的“普遍联系”和矛盾在一定条件下“相互转化”的能动反映，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题。化归思想方法是解决数学问题普遍使用的方法，已渗透到数学的各个分支。

2.化归思想方法及其在数学分析课程中的体现

（1）重要极限中的化归思想。教学中首先证明了两个重要极限的公式：和，深入分析公式必须满足的条件，然后把公式推广，x的趋向可以变化，公式可变形为：；以及等形式。这些

公式的变形所遵循的就是化归转换的数学思想方法。转换思想就是遵循计算中恒等变形的原则，把不直接满足公式的极限转化为公式形式，再综合其他的极限算法解决问题。

（2）导数及微分中的化归思想。引入导数概念的几何背景，求过曲线上一点的切线方程。我们可以借助极限思想，找曲线上的一个动点，就可以求出割线的斜率，当

时割线斜率就是切线的斜率，即。这个求切线斜率的过程就是化归转换的过程，利用极限思想将切线斜率转换成割线斜率的极限，再根据初等数学点斜式方法就可以得到问题的解决方法。

（3）微分中的化归思想。微分的一个本质作用是近似计算，单从定义看似乎微分与导数关系不大，但通过证明可以得出一元函数在某个点处，二者在理论上等价。通过推导可以得出。这样一来，就将微分的计算问题转化成了求导问题，这就是化归思想方法的体现。

（4）反常积分算法中的化归思想。反常积分是相对于定积分而言的，定积分有两个限制条件，一是积分区间是有限区间，二是被积函数是有界函数。打破这两个条件的限制就可以得到两种类型的反常积分：无穷积分和瑕积分。解决这两种积分问题就是借助极限思想，将反常积分转换为极限和定积分的运算。如。这样一来，就将无穷积分的计算问题化归为极限和定积分计算了。

（5）函数项级数M判别法中的化归思想。M判别法是判断函数项级数一致收敛的思想，是将其通项的绝对值放大，若对应的正项级数收敛，则对应的函数项级数一致收敛。如此将函数项级数的一致收敛问题化归为正项级数收敛性的判别，而正项级数的判别法是数项级数中最简单的类型。所以，M判别法不失为一种非常理想的判别法。

三、结语

张奠宙先生说过：“每一门课程都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的导向，以便掌握其精神实质。只有把数学思想方法掌握了，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。”为此，笔者认为，作为数学分析的主讲教师，透彻研究本课程的思想方法是教授好本门课程的必要条件。因此，把握并运用好化归思想方法将对提高数学分析的教学效果起到重要作用，让学生真正学好数学，提高学生的自我发展能力。

参考文献：

顾泠沅.数学思想方法[M].北京：中央广播电视出版社，2004.

推荐访问： 数学分析 体现 思想 课程

---