基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法

摘 要在查阅总结大量相关文献的基础上，本文提出了一种基于逆Nyquist阵列（INA）设计方法的多变量控制器设计方法。在简要介绍了设计方法的理论基础和相关概念（极限点以及极限增益和极限频率）的基础上，以TITO多变量控制系统为例，简述设计思路，并给出其推导过程及其设计步骤；并借助仿真实验，与文献[8]所提出的设计方法进行了一系列的对比仿真实验，并给出了相关的分析和结论。

关键词对角优势；极限点；极限增益；极限频率；多变量控制系统

中图分类号 TP13文献标识码 A

the design method for multivariable PID controller based on INA method

CUI Lianjie1 CAO Ming2 SONG Jianfeng1 ZHANG Min1

1(Liaoning Hongyanhe Nuclear Power Co., LTD, Dalian 116001,China )

2(Automation Department of Southeast University, Nanjing 210096，China)

【Abstract 】 A design method of the multivariable PID controller based on Inverse Nyquist Array method is proposed based on reading plenty of literatures in this paper. The theoretical basis and related concepts (ultimate point, ultimate gain and ultimate frequency) of this design method is launched firstly. Take TITO multiloop sytem for example, the design methodology is introduced in detail on the basis of brief introduction of the theoretical basis and related concepts (ultimate point, ultimate gain and ultimate frequency). At the same time, a series of comparative simulation experiments between this proposed design method and the design method proposed by [8] are given with related analysis and conclusion.

【Key words】diagonally dominant; ultimate point; ultimate gain; ultimate frequency; multivariable control

0 引 言

罗森布洛克（H.H.Rosen-brock）在1969年提出的奈奎斯特阵列设计法[1] （正Nyquist阵列（DNA）设计方法和逆Nyquist阵列（INA）设计方法）是多变量系统的频域理论中提出最早、应用广泛的一种方法。它是基于近似对角矩阵的设想，利用对角优势的概念发展起来的一种分析和设计方法[2]。奈奎斯特阵列设计法在多变量控制系统设计领域占有举足轻重的地位，自诞生以来，一直是多变量控制系统领域学者们研究的热点。文献[3]和[4]是对逆Nyquist阵列设计方法的扩展，其中文献[3]提出了一种鲁棒逆Nyquist设计方法。逆Nyquist阵列设计方法在多变量控制系统设计中得到了广泛地应用[5][6][7]。另外，以正Nyquist阵列设计方法为基础的多变量PID控制器设计方法[8][9][10]也在多变量控制系统领域得到了广泛的应用。

PID控制作为经典的控制策略之一，产生并发展于1915年~1940年期间[11]。其算法简单，易于工程实现，并具有良好的鲁棒性和简易的操作性，在电力、化工、石油、冶金和机械等工业过程中得到了广泛地应用。对于单变量控制对象而言，其PID控制器的参数整定方法已趋于完善；然而，对于多变量控制对象而言，多变量控制系统的内部互联性使得多变量PID控制器的设计比单变量PID控制器的设计要复杂得多。一直以来，多变量PID控制器的设计是多变量控制系统设计领域的研究热点。目前，已有大量的相关文献。就自己检索到的相关文献而言，多变量的PID控制器的设计方法大致可以分为两类，第一类是基于解耦控制的设计方法；第二类是不需要解耦的直接设计方法。文献[8]、[9]、[12]、[13]中所提出的设计方法都属于第一类方法。其中文献[8]提出了一种基于正Nyquist阵列（DNA）设计方法中Gershgorin带的设计方法，文献[9]对这种设计方法进行了一定的改进，在文献[8]、[9]所提出的设计方法中，使用了PID控制参数的经验整定公式来求解控制参数，从而简化了计算过程，然而，同时使得这种设计方法具有一定的狭隘性。1986年William L. Luyben基于单变量控制系统的传统PID控制器的整定思想，提出了BLT（Biggest Log Modulus Tuning）法，这是第二类方法的典型代表，此方法为后续的多变量PID控制器设计方法的研究提供了一个起点。文献[14]所提出的设定方法也属于第二类方法，它将单变量控制系统的极限点整定思路运用到多变量控制系统的PID控制器的设计中，从而提出了一种有效的多变量PID控制器设计方法，这种设计方法涉及到一个预期临界点（DCP）的概念，对于如何选择预期临界点的问题，在许多文献中有相关的论述[15][16]。

本文提出一种基于逆Nyquist阵列（INA）设计方法的多变量PID控制器设计方法。首先，简要介绍了设计方法的理论基础和相关概念（极限点以及极限增益和极限频率）；其次，基于增大求解方法选择性的目的，本文给出了一种新的求解极限增益和极限频率的计算方法；再次，以TITO多变量控制系统为例，简述设计思路，并给出其推导过程及其设计步骤；然后，在本文所提出的设计方法与文献[8]所提出的设计方法之间，进行了简要地比较分析；最后，借助仿真实验，进一步探讨了本文所提出的设计方法，而且与文献[8]所提出的设计方法进行了一系列的对比仿真实验，并给出了相关的分析和结论。

1基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法

1.1理论基础

在多变量的频域理论中，对角优势系统的奈奎斯特稳定判据是一个重要而且极具工程设计意义的定理。下面所要阐述的多变量PID控制器设计方法就是以基于逆奈奎斯特阵列稳定判据[17]作为理论基础。这里需要指出，该设计方法是针对开环稳定系统而提出的。

根据上述稳定判据，可知：对于开环稳定系统来说，如果系统的开环传递函数矩阵的逆具有对角优势，且其各对角元素对应的Gershgorin带的包络线与负实轴的交点都在 的左侧，那么该闭环系统必然稳定。该多变量控制器的设计方法就是在这个结论的指导下进行的。

1.2极限点定义

文献[8]给出了极限点以及极限频率和极限增益的定义，其中极限点的定义有些狭隘，现给出一个更准确的定义。

定义2.1 设多变量控制系统的对象传递函数矩阵 具有列对角优势，而且第 个对角元素的Gershgorin带与实轴相交于一个或多个点，把其中距离原点最远的交点定义为对应于 第 个对角元素Gershgorin带的极限点。

定义2.2 设极限点在复平面内的坐标为 ，则对应于 第 个对角元素Gershgorin带的极限点的极限增益为 。

定义2.3 把对应于 第 个对角元素Gershgorin带的极限点的频率定义为极限频率。

在此，对极限点的相关概念有如下几点说明：

(1) 文献[8]给出的极限点的定义把极限点的范围限定在Gershgorin带与负实轴的交点中，在此，所给出的极限点的定义将这种限定扩展到Gershgorin带与实轴的交点中。

(2) 从上述定义中，不难看出极限增益的本质是：在P控制器的控制下，能够使得Gershgorin带的极限点恰好为 时的控制器参数。

(3) 实际上，极限点就是相应Gershgorin带的外包络线（若存在）与实轴的其中一个交点。

(4) 对于某些系统来说，相应Gershgorin带的外包络线在零频率处所对应的点可能在实轴上，但是一般并不把此点作为极限点的考虑对象。

(5) 对于绝大部分的MIMO系统，该极限点是唯一确定的，因此，相应的极限增益和极限频率也是唯一的。

本文提出的设计方法所对应极限点的定义与文献[8]提出的设计方法所对应极限点的定义有所不同，现给出其相应极限点的定义。

定义2.4 设多变量控制系统的对象传递函数矩阵的逆 具有行对角优势，而且第 个对角元素的Gershgorin带与实轴相交于一个或多个点，把其中距离原点最近的交点定义为对应于 第 个对角元素的Gershgorin带的极限点。

相应极限增益和极限频率的定义分别与定义2.2、定义2.3相同，在此，不再赘述。

本文提出的设计方法所对应的极限点的定义与文献[8]提出的设计方法所对应极限点的定义之间的比较：

(1) 本文提出的设计方法所对应的极限点的定义与文献[8]提出的设计方法所对应极限点的定义相似，一些相关的结论也相同，比如上述对文献[8]提出的设计方法所对应极限点的定义的几点说明。

(2) 从上述两种极限点的定义中，可以看出，两者主要区别在于Gershgorin带与实轴交点的选择条件，即：一个是距离原点最远的交点，一个是距离原点最近的交点。

基于INA设计方法的极限增益与极限频率的计算可以借鉴文献[8]、[9]中所提出的计算方法。一般不要超过两行。（小五 宋体）

1.3推导过程

由于计算过程复杂，以TITO多变量控制系统为例，简述设计思路，并给出其推导过程。为了便于叙述，现假设如下：

到此，基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法的所有推导过程完成。这里需要指出，上述推导计算过程可以使用MATLAB软件来实现。

1.4设计步骤

简单归纳一下基于INA设计方法的多变量PID控制器设计步骤，如下所述：

(1) 首先判断对象传递函数矩阵的逆 是否具有行对角优势，若具有行对角优势，直接转到步骤(3)。

(2) 设计预补偿器，实现 具有行对角优势。借鉴文献[18]所提供的常熟补偿矩阵计算方法设计预补偿器。对于设计过程中的对焦优势频率范围的问题，建议要保证 的行Gershgorin带在所选的频率范围内与实轴有交点。这里需要指出，本文只考虑常数补偿器的预补偿方案。

(3) 计算 的各对角元素行Gershgorin带所对应的极限增益 和极限频率 。可使用文献[8]和文献[9]所提及的计算方法来计算极限增益和极限频率。在这里需要注意，在计算极限增益 和极限频率 时，计算的相关步长要尽可能的小，否则，对于某些对象而言，会出现较大的计算误差，甚至是错误计算。

(4) 设定寻优参数的范围。寻优参数的范围可按如下原则来确定。

对于 ， ，可以选择 ， 的某个范围；对于 ，可以选择 ， 的小范围；对于 ，一般在零附近的小范围内取值。有时也可以根据 第 个对角元素的Gershgorin带的形状来确定设置点 的移动方向。在这里需要指出：一般来说，按照上述原则，可以很快找到稳定的控制参数，但这些原则并不是绝对的。

(5) 计算PID控制参数。确定好 ， ， ， 后，利用方程（15），求解 ，然后，用不等式10判断 的有效性。如果 在上述范围内，也就是说 是有效的，那么用式9求解 。在得到 ， 后，利用式17、式18计算PID控制参数。

从上述步骤中，可以看出：该设计方法的计算量较大，其中的原因如下所述：

首先，本文所考虑的PID控制器的形式较为复杂，即 ，若考虑PI控制器或者PID控制器的形式为 时，该设计方法的计算量会大大减少；其次，为了寻找更优的控制参数，在该设计方法的计算过程中没有采取任何经验公式来简化计算过程。

1.5算法比较分析

文献[8]所提出的设计方法和基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法都属于基于对角优势特性的多变量PID控制器设计方法，现对这两种设计方法进行简要的比较分析。

文献[8]所提出的设计方法计算简便，可以找到较优的控制参数，是一种有效的多变量PID控制器设计方法。同时，它也存在着一些缺点。由于该方法是使用某些经验公式来求取控制参数，因此，在进行PID控制参数寻优时，该设计方法存在一定的狭隘性。对于一些特定的多变量控制系统可能存在无法得到满意控制参数的问题。另外，该设计方法需要实现传递函数矩阵在某个频段内具有列对角优势，以便求取各列Gershgorin带所对应的极限增益和极限频率。然而，对于一些特定的控制对象来说，要想得到各列Gershgorin带对应的极限增益和极限频率，需要在一个较大的频段内进行计算，这样一来，就增加了计算量。

可以将文献[8]所提出的设计方法看作是一种基于正Nyquist阵列（DNA）设计方法的多变量PID控制器设计方法，而本文所提出的设计方法是基于逆Nyquist阵列（INA）设计方法的。采用逆传递函数矩阵进行多变量控制系统的设计具有很多优点[1]，这些优点从侧面说明了本文所提出的设计方法具有文献[8]所提出设计方法所无法比拟的优点。另外，该设计方法思路清楚，可以实现大范围寻优。然而，该设计方法的计算过程复杂，计算量大。在分析文献[8]所提出多变量PID控制器设计方法时，提到了对象传递函数矩阵对角优势频段的问题。在此，针对这个问题，给出一个建议：通过一些仿真例子，发现上述两种设计方法在这个问题上存在此消彼长的一种规律，因此，在实际应用中，可以选择性的使用这两种方法来减小这种问题对设计工作带来的影响。

2实例验证仿真

为了进一步深入研究基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法和验证该设计方法的有效性，选取以下两个典型对象模型作为研究对象，进行一系列的仿真实验研究。

仿真模型1：在许多文献中[8][14][12][19]，前人都把Wood-Berry蒸馏塔作为研究对象。其数学模型如下所示：

仿真模型2：在文献[14][16][19]中，采用下述模型作为研究对象，本文也以此作为一个研究对象。该数学模型如下所示：

2.1常数补偿器设计

仿真模型1的传递函数矩阵及其逆对应的Gershgorin带以及各对应元素组成的Nyquist曲线对如图1，图2所示。

从图1和图2中可以看出：仿真模型1的传递函数矩阵具有列对角优势，同时其传递函数矩阵的逆具有行对角优势。因此，在使用基于对角优势特性的多变量PID控制器设计方法时，不需要额外的补偿环节。

从图3和图4中可以看出：仿真模型2的传递函数矩阵不具有列对角优势，同时其传递函数矩阵的逆也不具有行对角优势。因此，在使用基于对角优势特性的多变量PID控制器设计方法时，需要额外的补偿环节。借鉴文献[18]所给出的常数补偿矩阵算法得到模型2的传递函数矩阵所对应的常数补偿矩阵 及其传递函数矩阵的逆所对应的常数补偿矩阵 。其结果如下所示。

利用上述常数补偿矩阵对模型2的传递函数矩阵及其逆补偿后，相应的Gershgorin带图以及相应的Nyquist曲线对如图5和图6所示。

从图5和图6中可以看出：常数补偿矩阵使得仿真模型2的传递函数矩阵及其逆在必要频段上具有了对角优势。这里需要指出，在进行仿真时，需要将 取逆后作为常数补偿器加入到仿真平台中。

2.2验证仿真

文献[8]所提出的设计方法和基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法都属于基于对角优势特性的多变量PID控制器设计方法，下面将通过实例仿真实验，对这两种基于对角优势特性的多变量PID控制器设计方法进行比较。这里需要指出，因为文献[8]所采用的PID控制器形式与本文所考虑的PID控制器形式并不一致，所以在进行仿真结果比较时，并没有使用文献[8]所给出的控制参数，而是采用了双协调因子 的方法扩大了文献[8]所给出的设计方法的寻优范围，来求取更好的控制参数。关于仿真模型1和仿真模型2的传递函数矩阵及其逆的对角优势问题已在3.1节中给出论述，在下面的叙述中，不再提及该问题。另外，为了方便表达，将基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法简记为BINA，将文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法简记为BDNA。

对于仿真模型1，两种设计方法所给出的PID控制器参数如表1所示。文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法所对应的极限增益和极限频率为：

从图7中可以看出，对于第一控制回路而言，基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法所设计的控制系统在设定值阶跃扰动下的超调量和调节时间都明显小于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法，而且抗干扰的性能也好于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法。对于第二控制回路而言，基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法所设计的控制系统在设定值阶跃扰动下的震荡性明显弱于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法，同时，调节时间略大于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法，其抗干扰的性能明显好于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法。

从图8中可以看出，对于第一控制回路而言，基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法所设计的控制系统在设定值阶跃扰动下的超调量明显大于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法，在调节时间上，两种设计方法相差无几；基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法的抗干扰的性能稍好于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法。对于第二控制回路而言，基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法所设计的控制系统在设定值阶跃扰动下的超调量和调节时间都明显小于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法；但其抗干扰的性能稍逊于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法。

从上述仿真结果中可以看出和基于INA设计方法的多变量PID控制器设计方法所设计的控制器性能要好于文献[8]所提出的多变量PID控制器设计方法，但在某些控制性能方面各有千秋，因此，在进行多变量PID控制器设计时，可以选择性的使用这两种设计方法。

3结 论

从本文的叙述中可以看出，本文所提出的多变量PID控制器设计方法是逆Nyquist阵列（INA）设计思想的实现，与文献[8]所提出的设计方法之间存在着一种互为补充的关系，是一种可行有效的多变量PID控制器设计方法。同时，该设计方法一味的追求更优的计算结果，没有进行合理的简化，从而计算量较大，计算过程复杂。

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崔连杰（1983－），男，硕士研究生，助理工程师，主要研究领域为多变量控制系统设计及应用；

曹鸣（1957－），男，硕士研究生，副教授，主要研究领域为振动信号检测及处理，噪声信号检测及处理等；

宋建锋（1976－），男，硕士研究生，工程师，主要研究领域为智能优化控制等；

张敏（1981－），男，工程师，主要研究方向：电厂常规岛自动控制应用。

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