在高等数学教学中渗透建模思想的实践与探索

［摘要］随着时间的推移，数学模型越来越显示出在不同领域的巨大作用。因此，如何开展有效的数学建模教学对培养新一代大学生有着十分重要的意义。文章围绕在高等数学教学中渗透建模思想进行了探索，包括论述在高等数学教学中渗透建模思想的重要意义，分析了当前高等数学教学实施建模教育存在的问题，探讨了如何在高校数学教学中渗透建模思想。

［关键词］建模 高等数学 实践 教学

［作者简介］王怀领（1962- ），男，河南平顶山人，平顶山教育学院副教授，主要从事数学教学与研究；郭栓柱（1962- ），男，河南平顶山人，平顶山教育学院副教授，主要从事数学教学与研究。（河南 平顶山 467000）

［中图分类号］G642［文献标识码］A［文章编号］1004-3985（2009）12-0160-02、

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设、引进变量等过程，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用数学方法及计算机技术进行求解。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。

一、在高等数学教学中渗透建模思想的重要意义

数学建模教学具有密切联系多领域的实际问题，以实际案例的分析为教学内容的特点，因此它有助于克服传统数学教学中知识与能力脱节的弊端，可以启迪学生应用数学的意识、兴趣和能力；数学建模教学中所采用的多为研讨班模式，可以极大地发挥学生的参与意识；在研讨过程中，教师和学生地位平等，共同讨论，这使学生的学习变被动为主动，会极大调动学生自觉参与的积极性；数学建模教学中，常采用分层次、模块式的教学体系①，这探索了用现代数学的观点和方法去改造传统教学内容和教学体系的新路子。

二、当前高等数学教学实施建模教育存在的问题

（一）高等数学建模教学在高校中的普及性不够

近年来，我国高校数学建模教学发展非常迅速，但总的看来，绝大多数新出版的相关教材都是为数学建模内容编写的，其特点是内容难度大，涉及面广，且难度和涉及领域大大超出了一般学生的接受程度。面对高等教育的大众化，也为了提高全体学生的数学素养和综合应用数学解决实际问题的能力，全国工科数学教学指导委员会议建议在高校中开展数学建模的普及性教育研究，中国工业与应用数学学会理事长、中国科学院院士李大潜教授也多次在全国性的会议上呼吁开展数学建模的普及性教育，努力培养全体学生的应用意识和创新能力。因此，开展数学建模的普及性教育已是势在必行②。比如面向全体学生开设数学建模选修课，开展校内选拔赛，鼓励跨专业、跨院系组队，进一步加强对学生社团——数学建模协会的扶持等。

（二）数学建模思想在高校数学课堂教学中渗透的力度不够

数学建模对学生的训练与传统数学课程相比差别较大，学校开设的数学建模选修课及数学建模培训班，对培养学生观察力、想象力、逻辑思维能力及分析、解决实际问题的能力起到了很好的作用。但是，开设这门课程的课时不足，参加建模培训班的学生更是有限，要全面提高学生的素质，培养有创新精神的复合型应用人才，还要在平时的传统数学课中配合教材适时渗透数学建模思想。

三、在高校数学课堂教学中渗透数学建模思想的方法

（一）数学建模教育要全方位渗透数学思想方法

数学思想方法是数学知识的精髓，是知识、技能转化为能力的桥梁，是数学结构中强有力的支柱。由于建模数学面对的是千变万化的实际问题，建模过程应该是渗透数学思想方法的过程，首先是数学建模化归思想方法，还可根据不同的实际问题渗透函数的思想、方程的思想、数形结合的思想、逻辑划分的思想、等价转化思想、类比化归和类比联想思想及探索思想，还可向学生介绍消元法、换元法、待定系数法、配方法、反证法、解析法、归纳法等数学方法③。只要我们在建模教学中注重全方位渗透数学思想方法，就可以让学生从本质上理解数学建模的思想，就可以把数学建模知识内化为学生的心智素质。

（二）数学建模教育要实行以推迟判断为特征的教学结构

所谓“推迟判断”，就是延缓结果出现的时间，其实质是教师不要把“结果”抛给学生。推迟判断要注意两个方面：一是数学概念、定理、解题都要作为“过程”来进行；二是教师在聆听学生回答问题特别是回答错误问题或回答得不太符合教师设计的思路时，应该有耐心，不宜立即判断，教师应沉着冷静，精心组织学生与学生、学生与教师之间的教学交流。由于建模教学活动性强，教学成功的关键是教师要调动所有学生的探索欲望，积极参与教学过程。学生通过步步深入的积极思考探索，激发了思维，真正唤起主动参与的意识。教师通过启发诱导学生积极思考，组织学生进行热烈或紧张的讨论，问题就会逐渐明朗化，最终获得满意的建模方案④。

（三）数学建模教学要重视分析建模的数学思维过程

学生普遍感到数学建模难度大，最重要的原因是数学建模的思维方式与学生长期以来的数学知识学习有明显差异，如何突破这个难点，让学生乐于参加数学建模活动？关键是要分析建模的数学思维过程，通过建模发生、发展、应用过程的揭示，挖掘有价值的思维训练因素，抽象概括出建模过程中蕴涵的数学思想和方法，发展学生多方面数学思维能力，培养学生创新意识，让每一个学生各尽其智、各有所得，获得成功。

（四）数学建模教学要特别强调数学应用

具体来说：（1）引导学生关注日常生活问题，将学生实际生活中遇到的问题有机地融入建模教学，选择数学建模专题时尽可能贴近学生实际。（2）在建模教学中，教师要注重再现数学模型形成过程，可先让学生体会数学建模的一般思想方法，进而让学生亲自动手寻找实际问题并自行构造数学模型进行解决，经过一段时间的训练，再引导学生尝试通过建模解决一些复杂但又在现实生活中遇到的问题。（3）建模教学要加强与其他学科的联系，不仅与物理、化学、生物等学科联系，还可与经济学、管理学、工业生产等方面联系，拓宽学生建模问题来源。（4）建模教学要重视计算机在教学中的使用。以计算机为代表的信息技术飞速发展，将从根本上改变数学的教学方式。由于数学建模过程中的建模、求模、验模需要进行特殊值尝试、数学收集和处理、函数模拟、构造图像，甚至大量的计算，计算机将成为最有力的数学建模辅助工具。

四、在高等数学教学中应用建模思想具体实践的开展

（一）加强数学建模教学

建议各个专业学生开设数学建模课程和数学建模培训班。在数学建模教学活动方面，实行课堂讲授、专题讲座、学生动手实践等多种有效教学形式，强调学生的直接参与和理论联系实际，注重培养学生通过数学建模，利用所学数学知识和计算机等现代技术手段解决实际问题的能力，注重学生创新意识和团结合作精神的培养。具体包括：

1.抓好学生数学建模活动小组和数学建模协会的建设。成立学生数学建模活动小组和学生数学建模协会，通过学生数学建模活动小组和学生数学建模协会的活动，让学生们自己阅读和讨论有关书籍文献，开展数学建模知识的交流，这样既能扩大学生的知识，同时也有利于培养学生自己扩充新知识的能力，增加学生之间的交流机会，丰富学生的日常学习生活。

2.举办学生数学建模竞赛。这样做的目的一方面是为了开展数学建模活动的普及，另一方面是为参加全国学生数学建模竞赛选拔参赛队员。可以每年都举办学生数学建模竞赛，采取自己命题，参赛形式与国家竞赛完全一致，增强实战性。

3.做好全国学生数学建模竞赛的组织和培训工作。一年一度的全国大学生数学建模竞赛是对教学水平和学生素质的一种全面检验，为了搞好这项工作，更好地展现出学生的能力和素质，教师应该以高度的使命感和责任心，承担起这项工作，精心组织参赛队伍，认真做好培训工作。

（二）实现公共数学教学平台改革

1.加强数学课程的实验教学，适当减少理论学时。使学生会使用数学软件解决数学计算等问题，并把三大必修数学主干课程的实验课程作为学生的选修课程，学生应在大学期间必选其中之一。数学建模在解决已有的数学模型时，经常要用到数学实验的方法，而数学实验在寻求具体问题的解答时也要涉及数学模型的建立。两门数学课的目标一致，都是为了培养学生应用数学的能力。

2.加强教学管理规范。建议具体措施包括：（1）为学校全面实行学分制制定标准；（2）进一步严格数学公共课的教学工作。加强教学管理规范，使数学知识的传授更加系统化、规范化，改变以前众多学科学习数学知识的单一性，更好地利用数学资源，让学生建立起更加系统的、应用性更强的数学知识结构。

（三）将数学建模思想融入教学中

1.弄清、搞透概念的意义。数学概念是由实际需要而产生的，因此在数学教学中应重视从实际问题中抽象出数学概念的过程，培养学生应用数学的兴趣。在高等数学中，导数的概念和定积分的概念是两个很重要的概念，所以在教学中应该弄清、弄透它们的意义：导数的概念是从几何曲线的切线斜率、物理学的变速直线运动的速度和交变电路的电流强度等实际问题抽象出来的。这说明导数这一概念有广泛的实际意义，导数的意义是函数相对于自变量的瞬时变化率，以此为依据在解决所有变化率的实际问题，这也是利用微分方程建立数学模型的基础。定积分的基本思想是“化整为零取近似，聚零为整求极限”。定积分概念建立的关键是以局部取近似、以直代曲。在所有定积分的应用问题中，分析微元是关键，而微元的建立均体现了这一意义。

2.加深、推广应用问题。在高等数学中的应用问题有很多，值得关注的有这样三个问题：（1）最值问题：用高等数学解决实际问题在导数的应用一章中学习的最值问题首当其冲。在教学中归纳出最值问题的几个解题步骤，实际上已反映很初级的数学建模思想，这部分内容在教学时应增加例题容量，开阔学生思路，并通过多种类型的练习，使学生掌握解决最值问题的方法，体会最值问题应用的广泛性。（2）定积分的应用：“微元法”的思想具有广泛的用途。这一思想根植于定积分的概念，在教学中必须透彻地分析定积分的概念，使学生了解定积分概念建立的意义，只有这样才能使学生在解决实际问题应用微元法时，明确“欲积先分”的思想，分析微元是利用定积分解决实际问题的关键。同样在例题的选择和在作业题的布置方面加强应用问题的实例。（3）微分方程建模：学习解微分方程就是为了解决实际问题。运用微分方程建立数学模型没有通用的规则方法。一般步骤，首先是确定变量，分析这些变量和它们的微元或变化率之间的关系，依照数学、物理、生物、化学、工程学等学科中的理论或经过实验得出的规律和定理建立起微分方程，再对方程求解，并分析验证结果。微分方程概念的建立由实际引入，微分方程的求解可解决很多的实际问题，在教学中本着由浅入深的原则，多举实例。

3.高等数学中数学模型的案例教学。就是在课堂教学中，以具体案例作为教学内容，通过具体问题的建模范例，介绍数学建模的思想方法。适当选编一些实际应用问题，引导学生进行分析，通过抽象、简化、假设，确定变量、参数，确立数学模型，解答数学问题，从而解决实际问题，这样既能使学生掌握数学建模的方法，又能使学生深刻体会到数学是解决实际问题的锐利武器，有利于教学中贯彻理论和实际相结合的原则，大大提高学生分析问题和解决问题的能力。

［注释］

①刘锋.数学建模［M］.南京：南京大学出版社，2007：45.

②张硕.论大学开展数学建模教育［J］.数学的实践与认识，2002（1）：11.

③董臻圃.数学建模方法与实践［M］.北京：国防工业出版社，2007：77.

④于延荣.数学模型与数学建模［M］.北京：国防工业出版社，2007：122.

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