将数学建模的思想融入代数学的驱动式教学方法中

总结了代数学教学中存在的一些问题，具体表现如下：（1）代数学书本中的应用资源有限，无法积极培养学生的实操能力；（2）现有的教学方法落后，不能很好的和学生互动，不能调动学生的学习主动性；（3）教学过程简单机械，无法及时检查教学效果，导致学生讨论不积极，打消学生的自主学习劲头；（4）现有的考核方法单一，无法体现学生学习过程中的努力程度，给少数投机的学生有了投机取巧的机会。鉴于以上问题，笔者在课堂上采用了一种新的教学方法：将数学建模的思想融入代数学的驱动式教学方法中，实施以来教学效果良好，教学成绩斐然，学生普遍反映教好。下面我们以一堂《线性代数》课的课堂教学为例来阐述数学建模思想在代数学的驱动式教学方法中的实践与应用[6-8]。

三、将数学建模的思想融入代数学的驱动式教学方法中

在上一节课中我们讲了线性方程组的求解，了解了线性方程组的定义、来源、求解以及应用，今天这节课我们重点讲一下线性方程组在实际生活中的应用，学会如何利用课本知识解决现实生活中的问题。

目前中国的超重和肥胖人数就位列美国之后，处于全球第二，有4600万左右。这个数字比起中国的人口总数而言还不算大，但是中国的肥胖趋势是非常明显的。英国海外发展研究所一份最新报告显示，1980—2008年，中国的肥胖人数几乎翻番，简直是“肥胖爆炸性增长”。为了让自己更健康、更自信、更开心的生活，我们有必要科学、合理地控制自己的体重，要控制自己的体重首先要加强体育锻炼，其次应控制饮食，将摄入的能量总量限制在1000—1500千卡/天。一个节食者准备一餐的食物A、B、C，三种食物每一盎司中所含蛋白质、脂肪、糖如下表所示。

问：能否使这一餐必须精确地含有25单位蛋白质，24单位脂肪以及21单位糖？如果可以，节食者每种食物需要准备多少盎司？（每盎司为28.35g）

问题分析与讨论15分钟，将班上的学生每3人分成1组，每个成员确定自己各自的任务和合作的部分。分析问题之后大部分组都可以给出问题的求解思路、应用到的基本知识和数学软件。该问题涉及到的书本知识为非齐次线性方程组的建立，矩阵的行初等变换，优化问题的求解与应用；问题求解用到的软件为Matlab。

模型假设5分钟：根据实际情况，很多学生都能抓住该问题的本质，做出必要、合理的简化假设。

1.假设实验数据不会出错。

2.假设节食者每天按标准进食，不会出错。

3.假设这一餐准备蛋白质x1盎司，脂肪x2盎司，糖 x3盎司。

模型建立和求解25分钟：根据实验数据和实际要求，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量的线性方程组模型，并用解方程、数值计算等方法来求解该模型。该过程大部分小组都完成的很好，现以1组为例来说明情况。

根据假设蛋白质x1盎司，脂肪x2盎司，糖x3盎司，建立的需求模型为：

2x■1+3x2+3x3=253x1+2x2+3x3=244x1+x2+3x3=21 （1）

利用矩阵的行初等变换，求解该模型（也即求解非齐次线性方程组）

2 3 3 253 2 3 244 1 3 21 1 0 0 3.20 1 0 4.20 0 1 2 （2）

根据（2）式的结论，可知方程组（1）有唯一解，而且该唯一解可以表示为：x1=3.2，x2=4.2，x3=2。

对于问题“能否使这一餐必须精确地含有25单位蛋白质，24单位脂肪以及21单位糖？”因为方程组（1）有解也即需求模型有解，所以我们可以根据节食者的要求为其配置符合要求的减肥餐。

对于问题“如果可以，节食者每种食物需要准备多少盎司？”根据（2）式的结论，可知方程组（1）有唯一解，根据这一结果我们可以为节食者储备的食物为蛋白质3.2盎司，脂肪4.2盎司，糖2盎司。这样的配置既可以满足节食者的能量要求，又可以达到减肥的效果。

模型分析25分钟：通过建立这个需求模型，我们发现要检验一个事件发生的可能性，就必须做足够多次的试验并且应该提出合理的假设，因为一次或几次实验容易造成结果出现偶然性，不足以为实验结果提供充分有力的依据，同时我们能通过求解事件发生的概率来肯定或者否定我们的假设，当然这也必须在假设具有确定性的情况下。同时，我们也应该从其他方面考虑这一问题，如果食物的种类较多时，建立的需求模型其阶数就比较大，此时再用矩阵的行初等变换来求解模型就显得不合实际了。因为这一方法在求解小阶方程组时效果明显，但是当阶数较大时，该方法只能是理论上可行，实际操作起来困难太大。通过引导学生对模型进行深入地分析，部分小组提出了模型求解的新方法：利用Matlab编程求解。

建立的需求模型仍就为：

2x■1+3x2+3x3=253x1+2x2+3x3=244x1+x2+3x3=21 （1）

利用Matlab编程求解该模型：

A=[2，3，3；3，2，3；4，1，3]；

B=[25；24；21]；

x=A＼B

x=[3.2；4.2；2]；

可知方程组（1）有唯一解，而且该唯一解可以表示为：x1=3.2，x2=4.2，x3=2。

模型檢验与应用10分钟：先分析两种求解方法，可知第一种方法简单易懂但是适用范围太小，第二种求解方法不用考虑未知量的个数，广泛应用于实际计算当中。这个模型可应用于类似题干中这种需求、优化等问题。我们可以先假设结论成立或者结论不成立，但是结论必须是相对的且不能出现第三种情况；接着我们用代数学的知识求解和检验，若是得出的概率非常小，我们就把它视为几乎不可能发生的事件；最后我们再按照题意要求得出结论。

这个模型只是用于一般的需求模型，例如上题的减肥等相同的类型题。但是在模型假设的过程中，有些干扰的因素是否可以忽略我们要懂得分辨，尽管忽略一些假设可以使我们的题目更加简单易解，可是有一些因素是解题的至关要点，我们必须把它列入考虑范围内，因为如果不这样做，很可能就造成了问题失真，以至于脱离了原题目的本质。

课堂作业点评10分钟：按照问题求解的科学思路，笔者点评了每个小组的作业完成情况与质量，当堂打分记作平时成绩，此外还留下模型的延伸与重建作为课后练习。

通过类似问题的学习与解决，学生们学会了如何应用书本知识解决实际问题，了解了所学知识的实用性，完美打通了理论知识与实际能力培养之间的障碍。为学生以后的工作和学习奠定了一定的实操基础，也树立了他们的自信心。笔者以该方法为手段实际培养了两届学生，总体来说效果突出，一方面学生学到了理论知识和实操能力，另一方面教师很好地掌握了学生的学习状况，可以及时调整教学方法，积累教学经验，培养适应社会需要的人才，增加教师的工作成就感。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]陈小松.高等代数[M].北京：清华大学出版社，2014.

[3]张凯院，徐仲.数值代数[M].西安：西北工业大学出版社，2000.

[4]杨曙光.“问题解决”教学法的探索与实践[J].大学数学，2008，（6）.

[5]M.HMELO，C.E.FERRARI，The Problem base learning tutorial：Cultivation higher or der thinking skills [J].Journal for the Education of the Gifted，1997，20 （4）：401-422.

[6]姜启源，谢金星，等.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]王庚，王敏生.现代数学建模方法[M].北京：科学出版社，2008.

[8]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学数学，2006，（1）：9-11.

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