“数值分析”课程的探究式教学

摘要：本文分析了工科研究生数值分析课在探究式教学实践中教学思想和教学方法。在教学中强调工程思想的应用、数学思维方法的学习，在网络平台上实现新颖的教学交流，指导工科研究生完成数值分析课程设计，在一系列数学活动中传承数学文化。

关键词：探究式教学；创新人才培养

“数值分析”是理工科研究生的一门数学基础课程，以介绍计算机求解数学问题的方法及其理论为主要内容。该课程具有很强的科学工程计算背景，不同专业的工科研究生除了学习数学方法，也希望提高自身的科学计算能力。在课程教学中实现师生互动，探讨和研究问题，使这一课程具有生机与活力。通过学校校园网的多种平台实现师生之间沟通和交流，构建以培养学生创新思维和科学计算能力为重点的探究性课堂教学模式。

一、在数值分析课程中强调科学工程计算思想

“数值分析”课介绍对于数学问题求解的数值计算方法，对于数值计算通常涉及算法的效率和精度两个方面，效率涉及计算速度，精度涉及计算误差。数值分析课由此展开丰富的教学过程，也给学习数值分析课的学生提供了进一步思考的空间。强调科学工程计算思想是工科研究生数值分析课探究式教学的前提。

1、数值分析中的科学工程计算思想

数值分析不仅提供了用计算机求解数学问题的方法，还引进科学工程计算思想。首先，科学工程计算中所接触的数据可能是带有舍入误差的近似数据，这种近似具有一定准确度。如果用某种复杂计算所获得的数据与近似数据相差太大时，说明复杂计算所得数据有严重问题。这就是通常所说的对数据敏感性。其次，在近似计算中常常使用由简单到复杂的计算修正，如，逐次逼近过程。这些思想和方法正是科学工程计算中常用的。数值分析课介绍的数学方法多数都有工程背景，对离散数据插值和对函数的数值逼近的方法来源于对实验数据处理、产品外形设计等工程实际问题，样条函数方法正是图像处理技术等方面的关键部分，FFT技术能够快速处理数据，在机械、电子、信息、自动化工程中的实时信号处理中占有重要位置。

数值逼近是“数值分析”课介绍的主要内容之一，在插值方法、最小二乘方法、数值积分和数值微分方法、微分方程数值解方法中都体现了数值逼近的思想。既是逼近，就有误差，这就是工程实际和纯粹数学世界的不同。在传统的数学中强调逻辑的严密性和和数学计算的准确性，而逼近的方法是一种近似的方法，与准确性大相径庭。通过对数值逼近思想的理解来意识到近似和准确是一个问题解决中的两个方面，简化问题，从而较快获得原问题的近似解答，进而用所学知识去求精度更高的近似解。

2、数值分析中的几种常用技术

数值分析课程中介绍常用的几种计算技术包括：迭代技术、离散数据连续化技术、连续问题离散化技术。对于迭代技术，首先要有一个初始值(猜测值)，其次要有迭代计算格式，最后还要有迭代结束的判据。从数学方法上联系“数学归纳法”的介绍，从计算机程序设计技术上联系“递归计算”的介绍。迭代不仅仅是技术，还体现了逐次逼近的数学思想。对一个猜测值，在计算过程中不断加以修正，以便与正确答案相吻合。而“离散数据”和“连续问题”的相互转换正是计算机的数字世界和传统的纯粹数学世界沟通的重要途径之一。计算机处理离散数据，数学世界研究的大多的是连续问题。一元函数离散化可得到一维数组(向量)，二元函数离散化可得到二维数组(矩阵)：反过来对一维数组的插值可得一元函数，对二维数组的插值可以得到二元函数。

二、数值分析课的教学交流

数值分析课程中对数学问题和方法的研究涉及其他的研究生数学课程，如“矩阵理论”、“泛函分析”、“数理统计”、“常微分方程”。以数值计算的层面来认识涉及其他课程中的数值计算问题，会有很多新的收获。通过网络平台实现教学中的师生交流，将研究生数学课知识进行的融合是令人欢欣鼓舞的事情，也是探究式教学的主要特点。

1、以问题为主线的教学交流

任何数学课都有“辅导答疑”的教学环节，但“数值分析”所涉及的数学分支多，应用面广，在“答疑”方面与传统的数学课程有所区别。数值分析课介绍的问题包括两方面，一是包括习题在内的数学问题，二是涉及面较为广泛的应用实例。例如，关于矩阵分解，和研究生的矩阵理论课在内容上有交叉，而数值分析课侧重研究算法及其效率。学生的问题可能会提到QR分解和LU分解在算法上哪一个效率更高，教师在解答时除了分析浮点运算次数外，还应就数值实验进行比较。

这些解答通过文字资料的整理和数据对比的表格形式可以取得很好的教学效果。著名的Koch曲线的分形算法是一个应用范例，学生希望掌握正交矩阵在分形算法中应用，进而对分形算法做进一步研究。由于问题的综合性，需要教师在课后针对问题查阅资料，写出文本文档发布在校园网上供同学下载阅读。这样的文本文档经多次修改后形成一篇数学小论文，文中除了写出问题的背景和解答外，还附上算例和程序，以及计算结果(及图形)。

同学在浏览后会深入思考，提出进一步的问题。例如，有人在研究“高速网络系统的流量”课题时，联想到信息自相似特性，与老师探讨分形的实际应用与理论研究。这已经超越了答疑，构成一种形式新颖的教学交流。

2、数学问题研究和整理

各种数学问题发现使数值分析课充满生机，这些问题不再局限于课本上习题或是习题集，而是长期教学中不断积累扩充、自然形成的教学资料。这些资料是教师和学生不断交流，思维碰撞产生火花的成果，是一种用于承前启后的学习资源。

由于“数值分析”联系面广，涉及问题多，将学生提出的各种问题在交流中整理，从数学上加以分类。从问题来源分类，可以是对“定理的扩充”，对“概念的理解”对“算法的理解”，对“习题的理解”，以及“面向实际应用”这几大类。

比较成熟的问题成为教师和学生交流和共同思考的资料。如“关于正交矩阵的注记”这篇短文讨论了三个问题：2－范数正交不变性，正交变换的角度，正交变换的方向。除文字外，还增加数值计算例子以及程序代码。这正是教师和学生通过网络平台上多次交流，课后深入讨论后所形成的成果。而“关于牛顿迭代法的注记”短文中讨论了四个问题：牛顿迭代法收敛的几种情况的几何解释，牛顿迭代法不收敛的反例，对于特例的高次代数方程牛顿迭代法的收敛区域图。

教师以注记的形式整理出的小论文，类似于数值分析释疑解难，由于学生直接参与讨论，使教学效果超越了一般的数学课答疑。作为对课程内容的诠释，从计算(或算法)角度去理解数学，是数值分析教学立体化的一部分。

三、数值分析课中的课程设计

在数值分析课的教学中，我们在完成正常的教学内容基础上，要求学生完成课程设计作业。在“数值分析”

课程教学中，培养硕士研究生的计算机数值计算能力和数据处理能力非常重要。通过“数值分析”课程设计的实施，达到这一教学目的。课程设计选择了数值分析中典型问题，设计数值实验题目，教师指导下让研究生独立动手解决数值实验的问题，并写出课程设计报告。

典型的课程设计题目有：

牛顿迭代法的收敛域的数值实验与图形显示；

三对角方程组的直接方法与迭代方法求解比较；

块三对角方程组的迭代算法实现与算法分析；

SOR迭代法的最佳松弛因子计算；

行星轨道数据拟合的最小二乘方法；

成都地区经纬度数据的GPS定位算法实现等。

课程设计报告是学生学习数值分析课过程中，对某一特定问题(包括纯数学问题和应用问题)的思考和求解过程所形成的文本文件，包含对问题的目标的思考、方法介绍和算法实验中程序的设计。优秀的课程设计报告往往从一个具体问题开始，历史背景和数学人物介绍，方法介绍，算法实现和数据结果分析，以及MATLAB程序代码。

选择问题可能是教师提供的，也可以自拟的。历史背景和人物介绍很多来自于因特网上的资料，算法实现以数学软件MATLAB为平台，所附的程序加上一些注释。

课程设计报告打破了仅仅针对课本作业解答的模式，在报告的写作中培养了学生处理数据和科技论文写作的能力。“数值分析”课程设计在创新中不断发展，在课程设计报告中展示出新颖的做题方法和深刻的数学思想。不少研究生在思考问题和做MATLAB的程序实现的过程中，动手能力大大提高，在研究生阶段做硕士毕业论文过程中受益。如，以数值计算方法实现电磁场计算中的数值模拟，亥姆霍兹方程的计算等。每一届研究生所用的课程设计题目在前一届的基础上有所完善和创新，优秀的课程设计报告中反映的数学思维和以实验数据的数学分析成分比例也不断提升。

无论是教师的教学注记文档或是学生的课程设计报告都体现了数值分析课在探究性教学方面不断前进，实现了对教材和教案的扩充，对数学概念的诠释，对数学历史的回顾，让学生有了选择性学习。

四、数值分析课与数学文化的传承

“数值分析”介绍的内容是包括冯·诺依曼教授在内的优秀数学家长期努力的科研成果。数值计算方法起源于实际数值计算问题，伴随计算工具发展而迅速发展。尽管计算机的历史只有几十年，但人类关于近似计算的种种思想萌芽早在几千年前就已经产生。课程同时也推荐网站和参考文献，介绍数学人物，传承数学文化。

数学是人类文化中的璀璨明珠，同时也具有非常厚重的历史，求解数学问题的算法体系是数学科学的一个重要部分。历史上阿基米德、欧拉、高斯、牛顿这四位伟大数学家都曾对算法研究有卓越贡献。我们在介绍各种经典的数值方法时，不能不涉及数学大师们的研究成果，以及数学史的介绍。

例如，离散数据拟合的最小二乘法起源于高斯对谷神星轨道的计算，而牛顿迭代法与最小二乘法的结合则可用于全球定位系统GPS的定位解算。将历史和现实联系，有很多的故事已经发生或将要发生，进一步的学习则是数学文献的浏览。

从数学思想方法的接受到数学文化的积累，是提升工科研究生的素养的重要方面。在研究生数学教学中，重在介绍数学的思想方法和思维模式，同时传播数学文化。对典型问题的介绍是希望通过对解题过程的实践，总结出方法和模式，这些方法和模式对以后的问题的解决会起到启发和指导作用。对数学家和数学史的介绍则是为了传承数学文化。

[责任编辑：文和平]

推荐访问： 数值 探究 课程 式教学 分析

---