浅谈高等数学教学中的素质教育

[摘 要] 高等数学教学是学习数学知识,提高学生素质的一门学科。素质教育的核心是培养创新人才,创新人才的创新活动是在相应的创新思维的支配下,所进行的一种积极的能动的活动，创新思维是一切创新活动的灵魂。在高等数学教学过程中，不但要传授学生数学知识,更重要的是培养学生的创新思维,尤其是创新意识和创造精神,提高基本素质。具体来说，可以通过高等数学教学培养学生的类比思维、发散思维、归纳思维、逆向思维和推断猜想等五个方面的创新思维能力。

[关键词] 高等数学 素质教育 高等数学教学

一、类比思维

类比是根据两个(或多个)对象内部属性、关系的某些方面相似,而推出它们在其他方面也可能相似的推理。类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造”的天地,使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式,从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。

日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出:“类比是一种创造性思维的形式。”哲学家康德指出:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往往能指引我们前进。”天文学家、数学家开普勒说:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然的奥秘……。”著名数学家、教育学家波利亚说:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”

多元函数与单元函数。

在学习多元函数的微分学和积分学时,应注意与已经学习过的一元函数的微积分相应的概念、理论、方法进行类比。如在讲完了积分学后,应引导学生将定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分进行类比,包括它们的定义、性质、计算方法、物理意义等。通过类比,看到这几种积分的定义都是按“分割”、“求近似和”、“取极限”3个步骤引出的。

实践证明,在学习过程中,将新内容与自己已经熟悉的知识进行类比,不但易于接受、理解,掌握新知识,更重要的是培养、锻炼了自己的类比思维,有利于开发自己的创造力。

类比思维是教学中不可缺少的思维方式,特别是在高等数学教学中尤为重要。高等数学的概念、性质、定理、定义、计算公式等很多是通过类比总结出来的,在教学过程中,应着重培养学生类比的思维方式和思维习惯。

二、发散思维

所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变,求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维,即围绕某一问题,沿着不同方向去思考探索,重组眼前的信息和记忆中的信息,产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此,也把发散思维称为求异思维,它是一种重要的创造性思维。用“一题多解”、“一题多变”等方式,发散式地思考问题。

高斯被誉为“能从九霄云外的高度按某种观点掌握星空和深奥数学的天才”和“数学王子”。特别是高斯非常重视培养自己的发散思维,并且善于运用发散思维,他非常重视“一题多解”、“一题多变”。例如:他对“代数基本定理”,先后给出了4种不同的证明;他对数论中的“二次互反律”,先后给出了8种不同的证明(高斯称“二次互反律”是数论中的一块宝石,数论的酵母是黄金定理)。第1个证明是用归纳法；第2个证明是用二次型理论；第3个和第5个证明是用高斯引理;第4个证明是用高斯和；第6个和第7个证明是用分圆理论；第8个证明是用高次幂剩余理论。

他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其后19世纪多位数论大家,如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给出了新的证明,并发展了该理论。有人曾问高斯:“你为什么能对数学作出那样多的发现?”高斯答道:“假如别人和我一样深刻和持久地思考数学真理,他也会作出同样的发现。”高斯还说:“绝对不能以为获得一个证明以后,研究便告结束,或把另外的证明当作多余的奢侈品。”“有时候一开始你没有得到最简单和最美妙的证明,但恰恰在寻求这样的证明中才能深入到真理的奇妙联想中去。这正是吸引我去继续研究的主动力,并且最能使我们有所发现。”高斯这些言行,很值得我们学习和深思。因此,我们在高等数学教学中,应利用一题多解、一题多变来培养训练学生的发散思维。

一题多解。

发散思维是一种超越性的思维方式,培养学生利用发散思维处理信息,途径灵活多变,求结果丰富多样。围绕某一问题,沿着不同方向去思考探索,重组眼前的信息和记忆中的信息,产生新的信息并获得解决问题的多种方案。

三、归纳思维

归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。数学家高斯曾说:“我的许多发现都是靠归纳取得的。”分析自然哲学中许多重大的发现都归功于归纳方法,牛顿二项式定理和万有引力原理,就是归纳方法的成果。在数学里,发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。

数学家沃利斯说:“我把(不完全的)归纳和类比当作一种很好的考察方法,因为这种方法的确使我很容易发现一般规律。”归纳是在通过多种手段(观察、实验、分析……)对许多个别事物的经验认识的基础上发现其规律,总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性,而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说,归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。也可以说:归纳是在相似中发现规律,由个别中发现一般。

从数学的发展可以看出,许多新的数学概念、定理、法则……的形成,都经历过积累经验的过程,从大量观察、计算……然后归纳出其共性和本质的东西。例如:哥德巴赫猜想,费马猜想,素数定理,等等。

我们看到3+7=10,3+17=20,13+17=30；3,7,13,17都是奇素数;10,20,30都是偶数。是否两个奇素数之和都是偶数呢,这是显然的。但是(逆向思维)任何一个偶数,都能分解为两个奇素数之和。

6=3+3,8=3+5,

10=3+7,12=5+7,

14=3+11=7+7,16=3+13=5+11,

……

这样下去总是对的吗,任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和吗?

大于4的偶数=奇素数+奇素数?(哥德巴赫猜想)哥德巴赫观察到一些具体例子,然后归纳出:“任何大于2的数都是两个素数的和。”(1742.06.07写信给欧拉,并附上一些他观察到的例子)欧拉(1742.06.30)回信進一步明确为:“每一偶数是两个素数的和。”并说:“我认为它正确,但给不出证明。”这一猜想历200多年至今仍悬而未决,这是数学向人类智慧的挑战。但对此猜想的证明过程,极大地推动了解析数论的发展(特别是筛法,圆法)。

二项式定理。

利用归纳法得出结论。

在高等数学中,许多重要结果的得出,都用到了归纳思维。

又如:从一阶、二阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其求解方法,可以归纳出n阶常系数线性齐次方程通解的结构及其求解方法。

再如:多元函数求条件极值的拉格朗日乘数法,从两个自变量一个约束条件,推广到n个自变量m个约束条件,也是用归纳的方法得出的。

例如:等式1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,1+3+5+7+9=?,1+3+5+7+9+11=?

在教学过程中,通过例题讲解,培养学生归纳思维的方法、技巧、习惯,提高其基本素质。

四、逆向思维

逆向思维(又称反向思维)是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考问题。它对解放思想,开阔思路,解决某些难题和开创新的方向能起到积极的作用。

(1)如果遇到某些问题顺推不行,可以考虑逆推;

(2)如果遇到某些问题直接解决困难,想法间接解决;

(3)正命题研究过后,研究逆命题;

(4)探讨可能性发生困难时,转而探讨不可能性。

下面举高等数学中的例子:

探讨可能性发生困难时,转而探讨不可能性。我们列举数学史上最著名的问题:关于五次及五次以上代数方程根式求解问题。在16世纪之前,数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。

那么,一般五次及五次以上的代数方程是否也存在根式解法呢？这个问题吸引着众多的数学家,他们相信这种解法一定存在,包括卡当、韦达、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日,等等。但相继经历了两百多年的努力都未能找到解法。经过无数次的失败之后,直到19世纪初,一些数学家产生了逆向思维,首先是鲁非尼和拉格朗日,接着是阿贝尔,把问题的提法倒了过来,去思考它的反问题:一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。阿贝尔从这种逆向思维出发,终于严格地证明了一般五次及五次以上的方程不能用根式求解,不但彻底解决了这桩历史悬案,并且进而开创了近世代数方程的研究道路,包括群论和方程的超越函数解法。

逆向思维是一种创新性思维,在教学过程中教育学生如何利用逆向思维去解决问题,往往能起到扭转乾坤的作用。

五、推断猜想

推断猜想是指依据某些已知事实和数学知识对未知量及关系所作出的一种似真的推断,它是数学研究的一种常用的科学方法,又是数学发展的一种重要思维形式,而且是科学假说在数学中的具体表现。数学猜想作为一种数学潜形态,它常常是数学理论(定理)的萌芽和胚胎,是数学发展到积累了大量资料,需要进行理论整理,探索其理论内部的矛盾规律这一阶段上产生出来的,数学的创造过程与其他知识的创造过程一样,你先得把观察到结果加以归纳、类比,通过猜想有所发现。牛顿说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”波利亚说:“要想成为一个好的数学家,你必须是一个好的猜想家。”

猜想培养人的创新意识,创造性思维,走前人没走过的路,创造出前人没能创造的奇迹。在高等数学教学中,要充分利用数学美去思维、归纳、类比、猜想、创新、发现,培养高素质人才。

参 考 文 獻

[1]张奠宙.数学史选讲[M].上海:科学出版社,1997.

[2]徐利治,王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M].北京:高等教育出版社,1984.

[3]朱永娥.谈数学美对人的素质的影响[J].洛阳师专学报,1998,(2):35.

[4]朱永娥.高等数学教学改革与实践[J].平原大学学报,2006,(3):72-73.■

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