考研高等数学中概率统计试题分析

摘 要： 本文分析了概率论与数理统计的内容和题型，对其难度系数进行了打分；通过对难度系数的剖析，说明了概率论与数理统计部分的解答题（22分）常考的范围，便于考生复习时抓住重点，对于考研的同学有一定的指导作用.

关键词： 概率论与数理统计 研究生考试 高等数学

在考研的高等数学中，满分是150分，概率论与数理统计的内容，34分，占大约22.7%，其中选择题8分（两小题），填空题4分（一小题），解答题22分（两大题）；本文对于概率论与数理统计的内容，根据公式（或概念）的难度，将其难度划分为若干等级，进行打分；对于题型，根据解题时所用的知识点的多少，也将其难度划分为若干等级，进行打分.最后，根据这两个等级，对难度系数进行综合打分.具体解释如下：

对于公式，根据其难度，分为三个等级，其难度系数分布赋予1、1.5、2.比如，古典概型的公式，P（A）=，其中n为事件A的样本点数，n为样本点总数，该公式很简单，难度系数定义为1；再比如，全概率公式，比较复杂，难度系数定义为1.5；至于连续型随机变量（简记为r.v）的条件密度公式f（y|x）=，其中f（x，y）是连续型随机变量（随机变量简记为r.v）（X，Y）的联合密度函数，f（x）为（X，Y）关于X的边缘密度函数，即使f（x，y）和f（x）都求出了，用条件密度公式f（y|x）=时，还需要考虑两者的公共定义域，因此难度系数规定为2.

对于有关概念，也根据其难度，分为三个等级，其难度系数也分布赋予1、1.5、2.比如：独立性概念，比较简单，难度系数定义为1；再比如，t-分布的定义，涉及一个标准正态分布和一个？掊-分布，且还要求独立，涉及的内容较多，难度系数规定为1.5；至于极大似然估计的概念，比较难理解，且离散时和连续时，其似然函数还不一样，故难度系数规定为2.

对于题型，根据其解题时所用到的知识点的多少，对其难度进行打分.所用的知识点多，难度系数就高，比如：古典概型的计算；一般只用到排列与组合的知识，难度系数定义为1；再比如：涉及极大似然估计的题，解题时要用到求导数的知识，解方程的知识，故难度系数定义为2，有时还需验证无偏性，因此难度系数定义为≥2.

对于所用的知识点，也根据知识的难易和运算量进行打分，比如：对于一般的积分，难度系数规定为1；对于积分且需要讨论的，难度系数规定为1.5；对于在一个题目中，多次用积分运算的，比如：对于连续型r.v方差的计算，其难度系数也定义为1.5.

下面我们分析概率论与数理统计的主要内容和题型，对其综合难度系数进行如下分析.

难度系数表

近年来，研究生考试中，解答题22分（两大题），基本上是考查学生综合运用知识的能力，这类考题其综合难度系数一般，下面针对近年来的试题作具体分析：（下面的1—10题，见文献[1].11—12题，见文献[2]）.

1.（2007年数学一、三（23），11分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=2-x-y，0

（1）求P{X>2Y}；（2）求Z=X+Y的概率密度f（z）.

难度分析：求概率，用积分，难度系数为1；求二维随机变量的函数的密度函数，公式难度系数1.5；再用积分计算，且涉及讨论，难度系数为1.本大题的难度系数为3.5.

2.（2007年数学一、三（24），11分）设总体的概率密度为

f（x；θ），0

其中参数θ（0<θ<1）未知，X，X，...X是来自总体的简单随机样本，是样本均值.

（Ⅰ）求参数θ的矩估计量；

（Ⅱ）判断4是否为θ的无偏估计量，并说明理由.

难度分析：求矩估计量，难度系数为3.5，再验证无偏性，难度系数1，本大题综合难度系数为4.5.

3.（2008年数学一、三（22），11分）设随机变量与相互独立，X概率分布为P{X=i}=（i=-1，0，1），Y的概率密度为f（y）=1，0≤y≤10，其他，记Z=X+Y

（1）求P{Z≤|X=0}；

（2）求Z的概率密度.

难度分析：求条件概率，难度系数为2.5；求随机变量函数的分布，难度系数为3，综合难度系数为5..5.

4.（2008年数学一、三（23），11分）X，X，...X是总体为N（μ，σ）的简单随机样本.记=X，S=（X-），T=-S，

（1）证T是的无偏估计量；

（2）当μ=0时σ=1时，求DT.

难度分析：证明无偏性，需要求期望，难度系数为3，再求方差，难度系数为1，综合难度系数为4.

5.（2009年数学三（22），11分）（22）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=e，0

（I）求条件概率密度f（y|x）；

（II）求条件概率P=[X≤|Y≤1].

难度分析：求条件密度，难度系数为3；再求条件概率，用积分，难度系数为1，综合难度系数为4.

6.（2009年数学一、三（23），11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球的红、黑、白球的个数.

（Ⅰ）求P{X=1|Z=0}；

（Ⅱ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布.

难度分析：求条件概率，难度系数为2.5；求联合概率分布，难度系数为1，综合难度系数为3.5.

7.（2010年数学一、三（22），11分）设二维随机变量的概率密度为

f（x，y）=Ae，-∞

求常数A及条件概率密度f（y|x）.

难度分析：求常数，用积分，难度系数为1；再用积分求边缘密度，难度系数为0.5；最后求条件概率密度，难度系数为2.综合难度系数为3.5.

8.（2010年数学三（23），11分）箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个.现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数.

（1）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；

（2）求Cov（X，Y）.

难度分析：求二维随机变量（X，Y）的概率分布，难度系数为2；求Cov（X，Y），公式难度系数为1.5；综合难度系数为3.5.

9.（2011年数学一、三（22），11分）设与的概率分布分别为

且P（X=Y）=1.求：

（1）（X，Y）的分布；

（2）Z=XY的分布；

（3）X与Y的相关系数ρ.

难度分析：求（X，Y）联合分布律，难度系数为2；求随机变量函数的分布律，难度系数为2；求相关系数，难度系数为1.5；综合难度系数为5.5.

10.（2011年数学三（23），11分） 设在G上服从均匀分布，G由x-y=0，x+y=2与y=0围成.

（1）求边缘密度f（x）；

（2）求f（x|y）.

难度分析：求连续型随机变量（X，Y）的条件概率密度，综合难度系数为4.

11.（2013年数学三（22），11分）设（X，Y）是二维随机变量，X的边缘概率密度为f（x）=3x，0

在给定X=x（0

（1）求（X，Y）的概率密度f（x，y）；

（2）求Y边缘概率密度f（y）；

（3）求P（X>2Y）.

难度分析：已知边缘密度f（x）和条件密度f（y|x），求（X，Y）的概率密度f（x，y），难度系数为1；求边缘概率密度，用积分且讨论，难度系数为1，5；求概率，难度系数为1.综合难度系数为3.5.

12.（2013年数学三（23），11分）设总体X的概率密度为f（x，θ）=e，x>00，其他，

其中θ为未知参数且大于零.X，...X为来自总体X的简单随机样本.

（1）求θ的矩估计量；

（2）求θ的极大似然估计量.

难度分析：求的矩估计量，难度系数为3.5；求的极大似然估计量，难度系数为3.5.综合难度系数为7.

从上面的分析可见，解答题的试题都是出现在难度系数≥3.5的部分.因此，同学们在考研复习时，要重点复习难度系数表中综合难度系数≥3.5的内容.至于填空题和选择题，主要考查同学们对基本概念的理解及一定的综合运算能力，只要按照大纲给定的内容认真进行复习就可以了.

参考文献：

[1]王松桂，张忠占，程维虎等人.概率论与数理统计（第三版）[M].科学出版社，2011：238-240.

[2]2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题.中国教育在线..cn/qkpdf/wjlt/wjlt201319/wjlt20131902-1.pdf" style="color:red" target="_blank">原版全文 推荐访问： 概率 高等数学 试题 考研 统计