试论概率论与数理统计在日常生活中的应用

【摘 要】概率论与数理统计知识是数学知识体系中的重要分支，对日常生活有着广泛的理论指导。基于此，本文首先介绍了概率论与数理统计的主要学科知识，其次对于概率论与数理统计知识在日常生活中的应用，从等概率问题、序列概率问题、几何概率模型问题、统计模型、常识性统计几个方面，进行具体的研究与分析，最后对概率与数理统计的应用做出展望。

【关键词】概率论；数理统计；日常生活、等概率问题；几何概率

概率论和数理统计是高等数学中的重要组成部分。在自然界和人们的日常生活中，随机现象与随机事件非常普遍，概率论和数理统计是对某一事件可能结果的客观分析和理性判断。只要我们细心研究就会发现，概率论和数理统计在日常生活中有着多方面的应用。

一、概率论与数理统计知识

概率论（Probability Theory）是研究随机现象数量规律的数学分支，数理统计（Mathematics Statistics）是以概率论为基础，研究人类社会和自然界中的随机现象变化规律的一种数学模型[1]。概率论与数理统计知识主要包含事件间关系的确定、概率的计算、概率计算模型、概率计算公式、相关性分析、参数估计、假设检验与回归分析、随机变量知识、中心极限定理等等[2]。概率论与数理统计来源与生活，是对生活中的多种随机现象的逻辑分析与抽象总结。在日常生活中，也能找到多种应用概率论与数理统计知识的具体体现。

二、概率论与数理统计在日常生活中的具体应用体现

（一）概率论与数理统计在等概率事件中的应用

等概率事件是指每一个随机事件发生的概率都是相同的，等概率问题是生活中常见的问题，小到我们玩狼人杀时的身份抽取、值日生分组中的“抓阄”分组，大到工厂的货物质检、食品安全部门的卫生抽检，都能应用到概率论与数理统计的相关知识。

例1：一个罐头生产厂将密封不严、颜色不达标、微生物超標的罐头列为次品。该工厂每月生产十五批货。一批货的次品率是1/20，数量很大，有几万个，现在随机取9个。问9个里面次品数量大于2个（包括2个）的概率有多少？

解：P（B1）代表9个产品中次品数量大于2的概率

P（B2）代表9个里面次品数量小于1个（包括1个）的概率，也相当于只有一个次品的概率+没有次品的概率

P（B2）=9*（1/20）*（19/20）8 +（19/20）9

=10*（19/20）9

=0.9288

P（B1）=1-P（B2）=1-0.9288=0.0712

在这次检验中，每个罐头是次品的概率都是相同的，我们从相识生活的经验可知，整批次上万个罐头逐一检验确定产品的次品率，在时间上、成本上都是不现实的。这样的等概率计算可以保障工厂，在只抽检9个罐头产品的情况下，对该批次上万个罐头的产品质量进行估计，大大节省了质量检验的时间，同时，一定程度上保障了质量检验的科学性。

（二）概率论与数理统计在密码问题中的应用

密码问题也是我们生活中的常见问题，当下，每个人都拥有多种电子设备芯片存储卡，为了保障电子设备和卡片的安全性，我们常常设置不同的密码，但往往会在使用中忘记完整的密码，以及具体的密码和设备与卡片之间的搭配。应用概率论与数理统计的知识，我们可以将琐碎的密码信息进行随机排列组合，有计划的进行密码尝试，破解被我们忘记的密码。

例2：丹丹为母亲李女士购买了一台新型智能手机，李女士岁手机进行密码设置之后，不慎将密码遗忘，只记得密码的四个数字是5，8，6，3，丹丹进行解锁尝试，有多大的可能一次就将密码解开？（正确密码为3，5，6，8）

解：事件A为丹丹一次尝试解锁就可以将设备解开

3，5，6，8出现在设备锁中的第1，2，3，4位置为事件A1A2A3A4，

P（A）=P（A1A2A3A4）

=P（A1）P（A2/A1）P（A3/A1A2）P（A4/A1A2A3）

=1/4*1/3*1/2*1

=1/24

所以，丹丹一次尝试就能成功解开手机的概率为1/24。丹丹在经过概率计算之后再进行设备解锁，可以在解锁中平心静气，认真记录每次解锁的数值，坚定解锁过程的信心，按照不同的数字组合顺序依次解锁，避免解锁中的重复尝试造成的时间精力的浪费，更快找到正确的密码。

（三）概率论与数理统计在时效性问题中的应用

时效性问题是生产生活中常见的问题，例如我们与朋友相约见面、生产中多种原料的综合投产、多种药品同时服用的相互影响作用、护肤产品的保质期限与使用间隔时间等问题，都属于时效性问题。应用几何概率模型，能够有效的帮助我们解决生活中遇到的时效性问题，帮助我们更加科学合理的安排与计划时间，增加对物料使用的利用效率。

例3：同学甲和同学乙约定上午9时到11时在南湖公园一起玩耍，不论谁先到都在公园门口等对方30分钟，如果30分钟后对方仍没有来，就先进入公园，按照公园的游览路线独自游览，在这样的情况下，二人在南湖公园门口见面的几率有多大？

解：假设甲同学到达南湖公园的时间为x，乙同学到达公园的时间为y，两人在南湖公园门口见面为事件A，那么事件A实现的条件为|x-y|≤30

P（A）=（120*120-90*90）/120*120

=0.4375

由计算分析可知，两个同学在南湖公园门口碰面的概率为0.4375，两个同学在知晓概率结果之后，可以更好的安排自己的时间，由于见面的几率较小，所以二人应该在见面前加强联系，尽量缩短约定的时间间隔，并且尽可能的为见面安排预备方案，例如，十点整在公园内摩天轮处汇合等。在不破坏各自的路线规划的情况下，增加见面的几率，提升游玩过程的愉悦程度。

（四）假设检验在日常生活中的应用

假设检验是根据假设条件的状态，从样本推断整体的一种数理统计方法。根据事件成立或满足条件的显著性水平，对一只样本数据进行检验。假设检验主要包含u—检验法、t检验法、χ2检验法（卡方检验）、F—检验法，秩和检验等[3]。实际生活中的人口结构估算、工厂生产设备状态判断、医疗药品的临床应用效果检验等，都经常用到假设检验的数理统计方法。

例4：A市第六中学人口结构研究一小组，在项目报告中称老年人口比重为15.9%，王明同学参加的课题组为了一小组的统计是否可靠，在王明同学所在的社区内选择了200名常住居民，发现其中有32名居民为老年人，请问这项调查研究结果是否支持一小组的报告研究数据？（0.05）

解答这类问题的要点要注意以下几个问题：首先要提出合适的假设，选择适当的檢验统计量，其次要确定统计量的分布，确定统计量的临界值，最后要根据统计量的计算结果，选择假设检验的检验标准，最后根据假设检验的结果对事件进行决策，对支持假设和拒绝假设进行解释说明。

（五）贝叶斯公式在日常生活中的应用

贝叶斯公式（Bayes Rule），主要表达式为P（A|B）=P（B|A）*P（A）/P（B），是由数学家Thomas Bayes在1763年提出的、用来阐述两个条件概率之间关系的概率论原理。指分析样本无限大，直至接近总体时，样本中事件发生的概率与总体中事件发生的概率将非常接近。贝叶斯公式对于人们日常生活中的多种行为决策，都有一定的指导作用。尤其是医疗过程中的疾病诊断、临床医学实验、市场行为预测与分析、现代电子邮箱信息过滤处理技术的发展中，多处运用到贝叶斯公式。贝叶斯公式在解决日常生活中的多种问题的核心步骤是：第一，理清因果链条，哪个是假设，哪个是证据。第二，给出所有可能假设，即假设空间。第三，给出先验概率。第四，根据贝叶斯概率公式求解后验概率，得到假设空间的后验概率分布。第五，利用后验概率求解条件期望，得到条件期望最大值对应的行为[4]。

例5，A医院研发了一台新设备，对于患有肝癌的病人的检测设备的检测灵敏度是95%，对于没有换肝癌疾病的病人，这台设备的检测准确率为99%。这台设备的研发之后，在征询医生意见的时候，遭到医学专家的强烈反对，请问专家的统计学理由是什么？

解：事件A为{病人确诊为患肝癌}，事件B为{一个人患有肝癌}，从已知条件的分析可知

P（B）=0.001，P（A|B）=0.95，P（A）=0.001*0.95+0.999*0.01=0.01094

P（B|A）=0.001*0.95/0.0109≈0.087

从检测的结果来看，被检测患有肝癌疾病、而此人确实患有肝癌疾病的概率仅为0.087，因此，这种设备的检验结果的代表性并不高，所以专家一致反对。

患肝癌或其他严重疾病，在人群中属于小概率事件，生活中对于这样的事件的检验，由于很难获得足够数量的样本，因而检验的结果与人们的常识很有可能不一致，在这种情况下，要尤其重视先验概率与后验概率在贝叶斯公式应用中的作用。例如，在使用新药的情况下，即使取得了100个患者之中，有80个病情好转的漂亮数据，如果其“对照组”，即没有使用新药的那组患者中，100个患者中有70个病情也好转了，那么这个新药即使算是有效，但其效果也只能说是很微弱。这就是为什么在设计一个方案，来评估某种新药的疗效或某种新的治疗手段的有效性的时候，一定要设立对照组的原因。同样评估一个教育方案的有效性，评估一项新技术的效果，分析一项员工激励措施的效果时，我们都不要忽略先验概率。

（六）概率论与数理统计在日常生活中的其他应用

布朗运动是指一种没有相关性的随机运动，分数布朗运动（fractional Brownian motion，FBM）模型具有自相似性、非平稳性两个重要性质，在日常生活中有着多方面的应用，例如金融市场中的股价计算，证券期货价格的随机性分析等。布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。回归分析（Regression Analysis）能够解决变量之间是否相关、相关关系强弱、相关方向等问题，被广泛应用在财务、审计、管理与决策分析当中。

结论：

综上所述，概率论和数理统计与日常生活联系紧密，在生活中有着多方面的应用。从本文的分析可知，研究概率论和数理统计在日常生活中的应用，有助于我们加深对概率论和数理统计知识的理解，提高对概率论和数理统计知识的学习兴趣，增强我们应用数学知识解决实际问题的能力，因而，我们要在生活与实践中注意观察，加强对知识运用的灵活性。

【参考文献】

[1]姜权.概率论与数理统计在大数据分析中的应用策略[J].山东农业工程学院学报，2018（12）：10-11.

[2]孙芳，赵玉环.基于问题导向的经济类概率论与数理统计教学探讨[J].数学学习与研究，2018（22）：3-4.

[3]张家溢，王乐迪.概率论与数理统计方法在经济管理中的重要性[J].环渤海经济瞭望，2018（11）：174.

[4]刘素兵，张华.概率论与数理统计教学融入数学建模思想的研究与实践[J].科技风，2018（31）：205.

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