创新教学方法提高研究生《数理方程与数值解》课程教学质量

摘要：根据我校研究生《数理方程与数值解》课程课时少、内容多以及该课程本身难度大等特点，特别是近几年来我校研究生生源情况复杂，在课程教学过程中，从教学内容，讲授方法，教材建设，辅助手段等方面进行了创新，取得了一定的效果和成绩。

关键词：数学物理方程；偏微分方程数值解；课程改革

一、课程概况

我校自1992年开始招收硕士研究生，2002年以前，《数理方程与数值解》是作为研究生学位课程《应用数学基础》的一部分教学内容，通过几年的教学实践以及不同领域研究生的基础差异、专业特点，从2002年以后将《应用数学基础》分解为《数值计算方法》、《数理方程与数值解》、《泛函分析》、《矩阵论》和《随机过程》等5门课时分别是50学时的学位课程进行选修。本人自1997年以来一直主讲《数理方程与数值解》课程。从所涉及的内容及应用范围来看，《数理方程与数值解》这门课程对研究生将来从事科学研究和实践工作都有重要的作用。它不仅提供了具体的数学方法，也培养了抽象思维方式和计算能力。

然而，从以往的教学经验以及研究生的反馈情况分析，在教学过程中存在诸多突出的问题，如课程内容多、学时数少，难度大等，给师生的教和学都带来一定困难。为此，近年来我们着重从以下几个方面进行改革：合理安排教学内容，改进授课方式，在有限的学时数下，尽量保持教学内容的系统性和完整性；加强教材及配套教辅材料的建设工作；引进现代化教学辅助手段，改进教学效果；紧密结合工程实际情况，增加课程的工程背景及实用性，激发学生的学习兴趣。

二、课程改革的具体做法

（一）合理安排教学内容，改进授课方式

《数理方程与数值解》这门课程包括两部分内容：数学物理方程与偏微分方程数值解。数学物理方程主要研究物理或工程问题中所涉及的各种偏微分方程和积分方程。它只研究偏微分方程，内容包括方程的导出，求解和对解的物理分析。即在一定的条件下将物理问题简化（忽略一些次要因素），应用物理学的基本规律将它翻译成数学问题，求解之后，分析所得解的物理图象，意义和适用范围等。它所提供的方法在经典物理，近代物理和工程技术中都有极广泛的应用。偏微分方程数值解主要研究如何利用有限差分方法、有限元、边界元等数值求解方法求解数学物理方程。

对于数学物理方程部分的教改思路是：突出主线，强化主要方法，力求学以致用。数学物理方程包括三部分内容，即方程和定解条件的导出，定解问题的求解以及解的物理分析。第一、三两部分课时数较少，但我们在讲解时并没有淡化这两部分内容。实际上，正是通过这两部分内容学生获得一些直观的物理图象，深化感性认识，避免被求解过程的复杂计算所迷惑，所以我们总是力求将物理分析渗透在整个教学过程中。第二部分即定解问题的求解是数学物理方程部分的主要内容，我们主要对这部分的侧重、编排上作一些尝试。首先，我们讲解二阶线性偏微分方程的分类，其目的主要是向学生阐明在实际工作中所遇到的二阶线性偏微分方程都可以通过变换化简为定解问题中的波动方程、热传导方程、泊松方程三种标准型。因此，求解方法的重点应该是如何求解三种标准型方程。

在具体求解方法讲授中，（1）先讲授空间无界区域波动方程的求解。针对齐次方程，非齐次初始条件，仔细讲授一维无界弦的达朗贝尔公式；利用冲量原理，讲授一维波动非齐次方程的定界问题；利用延拓或先求通解再求特解的方法，讲授半无界弦的波动（反射波）问题，最后讲解二维及三维无界弦的波动问题。本章主要向学生要交代清楚行波法的要领是什么，它能解决那些问题，如何才能从无界到半无界，如何将三维波动问题转化为二维波动问题，而又如何将二维波动问题转化为一维波动问题。（2）对于半无界区域（包括无界区域）上三类方程的求解方法——积分变换法，包括Fourier变换和Laplace变换两种。讲解时，侧重Fourier变换的分析和求解过程。因为所有积分变换法的精神都是一样的，只是计算的技术不同而已。（3）关于空间有界区域上三类方程的求解方法——分离变量法，我们不惮重复以利于强化。事实上，我们在所编写的讲义中共花去四节的篇幅，分别用分离变量法，对四个典型方程——具有两个自变量的齐次方程定解问题，进行了详细的推导和求解。这四个典型方程分别是一维波动方程（第一类齐次边界条件），一维热传导方程（第二类齐次边界条件），矩形区域上的Laplace方程（混合齐次边界条件），平面极坐标下的Laplace方程（周期性边界条件）。当然，在课堂讲授上，矩形区域上的Laplace方程一节可以只作简略介绍。（4）Green函数法部分，我们只讲授稳定场方程的Green函数，而含时的Green函数则列为选读内容。在Green函数的制作方面，只讲授镜像法。这样做的目的是让同学集中精力了解Green函数法的整个思路，并掌握一种方法解决问题。（5）另外，保角变换法的适用面也相当狭窄，所以在讲授中，针对石油工业中的一些具体问题，讲授如何利用保角变换法求解水平井的产量公式以及圆形井排和直线井排的产量公式，其目的是加强教学效果的针对性。

在偏微分方程数值解求解部分，我们重点是讲解偏微分方程的有限差分方法的求解方法，对其他的数值求解方法只作了初步介绍。

（二）加强教材及配套教辅材料的建设工作

教材及配套教辅材料的建设是教学改革的一项主要任务。同时由于研究生教材只是参考书，而不是标准教科书。虽然同行教师对主要内容会有共识，但不同的教材在侧重点、编排顺序以及具体问题的讲法等都会有所不同，教师在讲课的时候也会有类似的问题。如果能根据本校甚或某些专业的特点，任课教师自己编写的教材或讲义，则可以免去学生大量记笔记或少数学生跟不上听讲等问题，改善学习效果。鉴于此，我们编写了该门课程的讲义材料。在条件成熟时，将进一步编写该门课程的教材。

同时由于该门课程是一门公认的难度较大的课程，特别是学生对于解答该门课程中的某些习题，往往有一种难于下手的感觉，为了使该门课程变为一门易教、易学、易懂的课程，为了使学生将该门课程的理论内容和方法有机结合起来用于解决实际的数学物理问题，我们从每一章的基本要求、内容提要、思考题、例题分析、习题解答五个方面入手，编写了该门课程的配套教辅材料《数理方程与数值解学习指导》。

（三）引进现代化教学辅助手段，改进教学效果

1.加强与学生的交流。从2004级研究生开始，除了正常的教学辅导和答疑时间外，为弥补任课教师与学生接触机会少的问题，我们开通了专用的电子邮箱，方便学生随时提出问题，并尽量及时答复。对于难以在电子邮件中予以答复的问题，则在答疑时给予解答；对于具有普遍性的问题则在课堂上进行讲解。这一做法已实行了4届，效果良好。

2.为了增加课堂教学信息量，便于学生学习、复习，我们利用现代计算机技术，制作了该门课程的多媒体课件，使以往比较沉闷的课堂气氛变得生动活泼，激发了学生的学习兴趣，也提高了学习效率。

3.改进考试方式。《数理方程与数值解》以往的考试主要是以笔试为主，从2004级研究生开始，我们尝试在行波法、数值求解方法以及Laplace变换的数值反演等内容中设计一定数量的计算机实习，并根据实习作业质量的好坏作为平时成绩，提高了研究生学习该门课程的积极性和主动性。

（四）紧密结合工程实际，激发学生的学习兴趣

由于我校是以石油和石化为特色，毕业研究生中的大多数要解决石油和石化企业的工程实际问题。所以，在教学过程中，为增加该门课程的工程背景及实用性，激发学生的学习兴趣，在定解问题、定解条件以及解的物理分析等教学过程中，针对石油钻杆在钻井过程中振动问题、有杆抽油机在抽油过程中抽油杆的振动问题等，详细讲授波动方程的导出及如何写出定解条件；针对地下油气水的渗流问题以及为提高石油采收率所采取的热力采油方法、注聚合物方法等，讲授压力传导方程（热传导方程、浓度扩散方程）的导出及如何写出定解条件；根据稳定渗流问题等，讲授泊松方程的导出及其如何写出其定解条件。特别是在数值求解方法中，以油藏数值模拟技术为工程背景，重点讲解如何应用有限差分方法求解描述地下油气水流动的偏微分方程，得到地下压力分布以及含油、气、水的饱和度分布。通过以上有针对性的讲授，使学生的抽象思维能力和分析问题、解决问题能力得到明显提高。这一点可以从学生的毕业论文及毕业研究生工作情况反馈信息中得到肯定答复。

通过对研究生《数理方程与数值解》课程的一些改革措施，取得了一定的效果和成绩。有不对之处望同行及研究生们斧正。

参考文献：

[1]姚端正，等.数学物理方法[M].武汉：武汉大学出版社，2001.

[2]姚端正.数学物理方法学习指导[M].科学出版社，2003.

[3]熊洪允，等.应用数学基础（下）[M].天津：天津大学出版社，1996.

[4]李荣华.偏微分方程数值解[M].北京：高等教育出版社，2005.

作者简介：陈军斌（1963-），男，博士，教授，主要从事石油与天然气工程领域的教学与科研工作。

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