例析电磁学中的等效处理

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在一些物理问题中，一个过程的发展，一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这些因素中，若某些因素所起的作用和物理学中另一个因素所起的作用相同，则这些因素与这一个因素是等效的，它们便可以互相代替，且对过程的发展或状态的确定，最后结果并不受影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法.

等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中的规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解.

实际上，高中物理课本中在很多地方都采用了这种方法.如力的合成和分解、运动的合成和分解、复杂电路的简化等，都采用了等效思维法.下面举例分析用等效法处理电磁学中的一些常见问题.

例1 氢原子的核外电子质量为m，带电量为e，最小的轨道半径为r，试计算电子在轨道上运动的等效电流强度.

解析 氢原子的核外电子在库仑力作用下绕核做匀速圆周运动，其定向移动形成的电流可等效为环形电流.要求电子运动的电流强度，根据电流强度定义式知，只要求出单位时间内通过某一截面的电量即可.氢原子的核外电子在一个周期内，旋转一周，设周期为T，则

T=2πrv

①

又因为电子绕核旋转所需的向心力为库仑力，则有

ke2r2=mv2r

②

由①②式解得：

v=ke2mr=ekmr

由此可得电流强度

I=eT=e22πrkmr.

图1例2 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图1所示.珠子所受电场力是重力的34倍.将珠子从环上最低位置A点由静止释放，则：

（1）珠子所能获得的最大动能是多少？

（2）珠子对圆环的最大压力是多少？

图2解析 珠子从A点静止释放后，在电场力和重力作用下向右运动，如果按常规方法直接求珠子获得的最大动能及对圆环的最大压力，比较麻烦.为此，可把珠子受到恒定的电场力与重力的合力求出，作为珠子处在等效重力场中的等效重力G′，如图2甲所示，其等效重力为G′=（mg）2+（34mg）2=54mg，等效重力加速度g′=G′m=54g.与竖直方向的夹角θ=37°.

所以B点为等效重力场中圆周的最高点，C为最低点.如图2乙所示.珠子做圆周运动时相当于只受等效重力和环对它的弹力作用.由此可知，珠子在C点时获得的动能最大，相应的压力最大.

（1）在等效重力场中应用能量守恒定律得：珠子获得的最大动能为：

Ekm=mg′r（1-cosθ）=54mgr（1-cos37°）

=14mgr.

（2）在C点由牛顿第二定律得：

Nm-mg′=mv2r，Nm=54mg+12mg=74mg

由牛顿第三定律可知，珠子对圆环的压力为74mg.

例3 如图3所示，R1、R2、R3为定值电阻，但阻值未知，Rx为电阻箱.当Rx为Rx1=10Ω时，通过它的电流Ix1=1A；当Rx2=18Ω时，通过它的电流Ix2=0.6A，则当Ix3=0.1A时，求电阻Rx3.

图3 图4解析 电源电动势E、内阻r，电阻R1、R2、R3均未知，按题目给的电路模型列式求解，方程数将少于未知数.于是可采取变换电路结构的方法，作等效处理.

把图中Rx左边部分的整个电路看成新的电源，则等效电路如图4所示，设此时新电原电动势为E′、内电阻为r′，根据电学知识，新电路不改变Rx和Ix的对应关系，有

E′=Ix1（Rx1+r′）

①

E′=Ix2（Rx2+r′）

②

E′=Ix3（Rx3+r′）

③

由①②两式得：

E′=12V，r′=2Ω.

代入（3）式可得：

Rx3=118Ω.

例4 如图5所示，把轻质线圈用细线挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直于线圈平面.当线圈内通过图示方向的电流时，线圈怎样运动？

图5 图6解析 如果直接画出磁铁产生的磁场，然后研究线圈的受力情况，必须采用微元分析法，较麻烦.为此可将线圈等效为一个条形磁铁，如图6所示，再由磁极间的相互作用判断出相互吸引.所以线圈将向磁铁方向运动.

图7例5 在竖直放置的光滑、绝缘圆环上，有一带负电、可以滑动的小球m套在环的顶端，整个装置放在如图7所示的正交匀强电、磁场中，磁场与环的圆面垂直.若小球所受的电场力和重力的大小相等，则当小球沿环相对于圆心滑过多大角度时，它所受的洛仑兹力最大（ ）.

A.π4 B.π2 C. 3π4 D. π

解析 小球从A点开始，在重力和电场力作用下向左运动.要使它所受洛仑兹力最大，速度必为最大，但要讨论小球运动到什么位置时速度最大，比较麻烦.为此，可把小球受到不变的重力和电场力的合力求出，作为等效重力G′，其方向与竖直方向成45°角斜向左下方，如图8甲所示，其做圆周运动的等效最高点和等效最低点分别为C和D，如图8乙所示.由动能定理知小球在D点速度达到最大.即小球从最高点A逆时针运动到D点时，所受洛仑兹力最大，滑过的角度为3π4.故C正确.

图8例6 如图9所示表示置于同一水平面内的两平行长直导轨相距L=0.3m，两导轨间接有一固定电阻R=5Ω和一个内阻为零、电动势E1=6V的电原，两导轨间还有如图示的竖直方向的匀强磁场.两导轨上置有一根导体棒MN，棒与导轨间的滑动摩擦力大小为f=0.1N，棒及导轨电阻均不计.当接通开关S时，棒由静止开始在导轨上滑动直至获得稳定速度v.为使v最大，磁场的磁感应强度B应为多大？此时v值为多少？

图9 图10解析 接通开关S时，棒中通有从M至N方向的电流，受水平向右的安培力作用，向右做加速

运动.同时MN切割磁感线又产生感应电动势，其电路可等效为图10所示，随着速度v增大，感应电动势E增大，电流减小，安培力减小，当棒MN做匀速运动时，棒MN的速度v最大，若将R作为电源E1的内阻看待，等效为一个新的电源，当MN中速度最大时，动能最大，则等效电源有最大的输出功率.即fvm=E214R.最大速度vm=E214Rf=18m/s.根据直流电路的输出功率最大时，内外电压相等得E12=BLvm，此时磁感应强度B=E12Lvm=59T.

例7 如图11甲所示的直流电通过图11乙中的电阻R，则交变电流表的示数为多少？

解析 当图11甲的电流通过图11乙时，直流电的大小是变化的，它不属于恒定电流，而交流电流表的示数为电流的有效值，但这个电流有效值不是52A.显然应从电流有效值定义来求解.

图11图11甲中的i-t图象是正弦曲线，在半个周期内，它的有效值与正弦交变电流的有效值相同，再根据直流电在一个周期内所做的功和其有效值做功等效的关系，就可以求出通过电流表的示数.由图11甲知Im=5A，

I=12Im=2.52A.

由I2R·T2=I2ART 得IA=I2=2.5 A.

所以电流表的示数为2.5A.

（收稿日期：2015-05-16）

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