“自动控制理论”教学内容发展历程与优化措施

摘要:本文简要地回顾了“自动控制理论”的产生与发展过程,指出了现阶段“自动控制理论”课程教学内容的缺陷。提出了“自动控制理论”作为控制理论与控制工程学科的重要内容,其教材体系以及教学内容都应该与时俱进,做出重大调整,以适应时代进步的需要。最后提出了一个新型的稳定性判据。

关键词:控制理论;控制工程;稳定性判据;课程教学;计算机辅助教学

作者简介:张晓江(1957-),男,上海人,合肥工业大学电气与自动化工程学院,副教授,主要研究方向:控制理论与控制工程、计算机控制;方敏(1950-),女,安徽安庆人,合肥工业大学电气与自动化工程学院,教授,主要研究方向:控制理论与控制工程、计算机控制。(安徽 合肥 230009)

基金项目:本文系安徽省省级精品课程与合肥工业大学校级精品课程“自动控制理论”资助项目的研究成果。

在设计或者分析一个控制系统时,其最重要的属性是该系统的稳定性。因为一个不稳定的系统是无法正常工作的。总体来说,“自动控制理论”就是一门研究自动控制系统稳定性的科学,是控制理论与控制工程学科的主要内容。控制理论与控制工程作为一门学科,研究并且提出有关自动控制系统设计和分析的理论与方法,用于指导工程实践。经典控制理论在研究控制系统稳定性时,主要是基于Laplace变化和传递函数。其方法包括时域分析法、根轨迹法和频率特性法等。而现代控制理论是基于状态空间模型的方法。这些方法共同奠定了“自动控制理论”的基础,为我们分析和设计控制系统提供了理论依据。

近30年来,随着数字计算机技术的飞速发展,计算机影响着我们生活的方方面面,改变我们的生活方式。同样,计算机为我们分析和设计控制系统提供了强大的工具。可以说,计算机的发展(包括计算机仿真技术的发展)不仅在技术层面,也在理论层面深刻地影响着控制理论与控制工程学科的发展。但是,目前“自动控制理论”的教学内容陈旧,严重落后于时代前进的步伐,亟需有所改变。

一、“自动控制理论”的发展历程及其缺陷

“自动控制理论”来源于工程实践,又反过来指导实践,指导人们对实际自动控制系统的设计与分析。在自动控制理论形成之前,人们就已对反馈的概念有了初步的认识,并且根据这一概念设计了一些装置和机器。例如,英国人James Watt发明了蒸汽机离心式速度控制器,在蒸汽压力于一定范围内波动的情况下使得蒸汽机的转速基本保持恒定。但是,在实际使用过程中,发现在某些条件下,蒸汽机的转速会自发地产生振荡。当时人们无法理解这种现象。1868年物理学家J.C.Maxwell对这种不稳定现象给予了解释(成功地通过数学符号语言解释工程现象,使得理论分析可以更加深入地发展,但是同时也造成科学界和工程界的数学符号崇拜现象,导致模糊控制理论提出时受到数学符号崇拜者的杯葛)。之后,数学家Routh和Hurwitz分别独立地提出了高阶代数方程根有无正实部的判据,可以用于判别高阶线性定常微分方程所描述的、较为复杂的系统稳定性。1892年俄罗斯数学家A.M.Lyapunov发表了论著《论运动稳定性的一般问题》,对于包括非线性系统和时变系统在内的一般性的控制系统的稳定性,提出了稳定性理论和方法,为控制理论奠定了坚实的基础。

1927年H.S.Black发明负反馈放大器。20世纪30年代,美国贝尔实验室建设一个长距离电话网,需要配置高质量的高增益放大器。在使用中,发现该放大器在一些条件下会变得不稳定,从而变为振荡器。1932年H.Nyquist针对Black的放大器稳定性提出了一个稳定性判据,即Nyquist稳定性判据。这是一个基于频率域的稳定性判据,它不仅可以判断系统是否稳定,而且还可以判断系统的稳定裕量。1940年H.W.Bode引入对数坐标系,将曲线转换为折线,使频率法更便于使用手工作图,因而更易于推广。1942年H.Harris引入了传递函数的概念。1948年W.R.Evans提出了根轨迹法。这些构成了经典控制理论的主要内容。经典控制理论是以单输入—单输出线性定常系统为主要研究对象,以传递函数为系统的基本数学模型描述,以频率法和根轨迹法(两者都是基于图形分析的方法)作为系统分析和设计的方法。

20世纪50年代随着航空航天领域的发展以及数字计算机的出现,最优控制理论出现了。具有代表性的是1956年前苏联科学家Pontryagin提出的极大值原理以及美国学者Bellman于1957年提出的动态规划法。1959年在美国达拉斯召开的第一次自动控制年会上,Kalman和Bertram介绍了如何使用基于状态变量的系统方程来描述系统,还讨论了自适应控制系统的问题,并且首次提出了现代控制理论。现代控制理论是以状态空间模型为基础,着重研究系统内部结构的关系,并且提出了能控性、能观测性等重要概念,提出了状态反馈控制以及状态观测器等设计方法。

上述的这些理论基本上都是在计算机飞速发展之前创立的。目前“自动控制理论”教学的内容基本上就是沿用了这些理论,但是在实际应用中有一定局限性。虽然“自动控制理论”教学内容要照顾到历史的传承,然而计算机硬件和软件在近30年来取得了突飞猛进的发展,计算机不仅在技术层面(作为控制器用于控制系统之中,或者作为分析和设计控制系统时的计算工具),同时在理论层面也深刻地影响着控制理论本身。而目前大学本科“自动控制理论”课程教学内容陈旧,不能适应今天科学技术日新月异发展的现实情况。正如现在的会计师都已经不再用算盘来算账而依赖于计算机那样,今天从事控制系统设计的工程师们也都在使用计算机来进行分析计算与设计,已经没有人单纯依赖纸和笔。

例如,Routh判据的基本思路是:以往的人们都是用手工试探法来求解高阶代数方程的根,耗时巨大,有些高阶代数方程根的精确解根本无法得到。因此,只能放弃求解高阶代数方程的根,转而根据Routh表的第一列的符号变化情况来判断高阶特征方程有没有在右半复平面的根,间接地判断系统的稳定性。在今天,我们可以很方便地在计算机上启动MATLAB软件之后,输入命令roots( ),就立即可以求出高阶代数方程的根,不仅知道在右半复平面是否有根,而且知道所有特征根的精确数值(即它们在复平面中的精确位置)。

另外,用频率法和根轨迹法分析和设计控制系统,也是因为在以往计算工具不发达,不得已而采用粗略的、近似的图解法来分析与设计控制系统。现在看来这些方法都是既费时费力又不精确,这些方法应该随着时代进步而逐渐被淘汰,正如同算盘已不再是人们所依赖的计算工具那样。

二、用计算机仿真技术改进自动控制系统设计方法的实践

以往计算机尚未发明,人们缺乏强大的计算工具。而由于历史传承的惯性以及人们的习惯性思维方式,即使计算机得到广泛应用,目前,仍有很多教师在教授“自动控制理论”教学内容时依然沿袭着手工作图求解和求取解析解的方式。

近30年来,特别是近10年来,计算机的硬件和软件都取得了巨大的、前所未有的发展。硬件配置不断提高、存储容量越来越大、计算速度越来越快、价格越来越低廉。在软件方面也出现了像MATLAB这样优秀的数值计算与模型仿真软件。采用数值计算方法和图形化的编程模式,使得编程更加方便,对控制系统稳定性分析以及各种动态性能指标和静态性能指标的分析更加方便、快捷、准确。

使用MATLAB及其附件Simulink,不仅可以取代劳斯判据,很方便地求高阶代数方程的根,而且绘制根轨迹、Nyquist曲线和Bode图,求解状态空间表达式也都十分方便,使“自动控制理论”的教学如虎添翼。

参考文献[1-4]中提出了一种基于数值计算和计算机仿真的新型的非线性定常(或者有界参数摄动)控制系统稳定性判据。其规范和简化了Lyapunov函数的选择办法,扩展了Lyapunov稳定性理论,将Lyapunov稳定性判据第二法(即直接法)中的有关局部稳定性的充分条件扩展成为充分必要条件。

非线性定常(或者有界参数摄动)控制系统在平衡点的某个邻域内有以下4种运动形态:(1)渐近稳定;(2)发散;(3)以极限环形式作自持振荡运动;(4)在非平衡点的某些状态上驻留。[1]

1.定理

对于非线性系统(定常非线性系统或者参数在有界范围内摄动的非线性系统)X=f(x)(其中X=[X1,X2...Xn]T为状态向量)。设:(1) 该系统的平衡点为状态空间原点(如果平衡点不在原点,则通过变量代换坐标平移可以将平衡点平移至状态空间原点而不影响系统稳定性[1]);(2)当X(t0)=Bε(其中Bε为状态空间原点的半径为ε的邻域),t≥t0时,X(t)为有界。则该系统为局部一致渐近稳定的充分必要条件是:通过仿真或数值计算,在充分长时间之后,各状态分量的平方和函数趋向于零,即。

2.证明

(1)充分性。显然当t时,,则状态向量的所有分量Xi→0(其中i=1,2...n)。而状态向量的所有分量Xi→0,则 X→0。即表明:该系统在平衡点 处为一致渐近稳定。

(2)必要性(采用反证法)。如果当t 时有某一个状态分量Xi不趋近于零,则表示X不趋近于平衡点0,该系统在平衡点X=0处不是一致渐近稳定的。这种情况下也不会趋近于零,与本定理条件不符。因此,如果该系统在平衡点X=0处为一致渐近稳定,则必有当t时,Vss=(X1+X2+...Xn)→0。

换言之,当且仅当Vss=(X1+X2+...Xn)→0时(当t),非线性系统X=f(x)在平衡点X=0处是一致渐近稳定的。

根据以上定理,对于非线性定常系统以及参数在有界范围内摄动的非线性系统来说,不必花很多时间去寻找Lyapunov函数,只要通过数值计算绘制出其各状态分量平方和函数随时间变化曲线(在原点的某个邻域内选择初始状态),如果它收敛于零,则该系统在状态空间原点的某一邻域内为局部一致渐近稳定。否则,该系统就不是渐近稳定的。Lyapunov稳定性理论的条件是充分条件,而本文提出的定理将Lyapunov稳定性理论的条件放宽成为充分必要条件。计算机技术的不断进步为这种新型的稳定性分析方法提供了物质条件。

3.说明

(1)说明1。在Lyapunov第二法中,条件“V为正定V且 为负定”可以确保得出结论:“当 时Vss ,则系统大范围渐近稳定。[1]然而,本文提出的定理却不能得出大范围稳定性这一结论。局部渐近稳定的状态空间原点邻域范围(即Bε的半径),要通过仿真时设置多个不同的初始条件来确定。这是本文提出的稳定性判据的主要缺点。在Lyapunov第一法(线性化法)和经典控制理论的线性化方法(小偏差法)中,如果得出系统稳定的结论,那也只是在系统平衡状态的一个邻域内局部渐近稳定,而不是大范围渐近稳定。[5]

(2)说明2。采用传统的Lyapunov稳定性理论来判断系统稳定性时,其可信度取决于系统数学模型与真实系统的接近程度。而本文提出的稳定性判据的可信度则取决于所建立的系统仿真模型与真实系统的接近程度。在MATLAB/Simulink环境下,系统仿真模型就是依据系统数学模型建立的,如果恰当地选择算法和步长,则两者并无显著差别。可见,两种判据的可信度是相当的。

(3)说明3。传统的Lyapunov稳定性理论的基本思路是:为了判别某个控制系统的稳定性,不去求它的解析解(对于许多非线性系统来说,无法得出解析解),转而去确定广义能量函数及其一阶导数的正定性,通过间接的方法来判别系统的稳定性。本文提出的稳定性判据的基本思路是:使用数字计算机解出控制系统的数值解,通过判断状态变量平方和函数是否收敛,就可以判断系统的稳定性。它是一种基于数值解的稳定性判据。今天,计算机技术的发展为这种新型稳定性判据提供了条件。而像MATLAB/Simulink这类图形化的计算机仿真软件,极大地简化了控制系统的建模与数值计算的编程过程。事实上,这类软件通过其后台编译程序将图形化输入的控制系统模型转换成所设定计算机步长与算法的可执行程序代码,其可靠性是有保证的。

(4)说明4。在不同的学科中,对于定理正确性的判断标准往往是不同的。在数学学科领域,是以某些公理为基础,通过完备而严密的推理过程来证明定理的正确性。而在工程领域,判断标准则是依据实验结果(以数学家的眼光来看,这也许是不完备的)。在社会科学领域则强调实践是检验真理的唯一标准。

三、展望

近30年来,计算机硬件和软件的发展突飞猛进、日新月异。而计算机技术的发展(包括计算机仿真技术的发展)不仅在技术层面,更在理论层面都深刻地影响着控制理论与控制工程学科的发展。相信在未来,计算机技术将更加深刻地改变着控制系统设计与分析的理论和方法。控制理论与控制工程学科需要与时俱进,才能不断发展。而“自动控制理论”教学内容也应该跟上时代发展的步伐。

参考文献:

[1]张晓江,黄云志.自动控制系统计算机仿真[M].北京:机械工业出版社,2009.

[2]张晓江.基于计算机仿真的控制系统新型稳定性判据[J].系统仿真学报,2008,20(13).

[3]Zhang Xiaojiang,Wang Huaqiang.Application of New Stability Criterion on Hydropower Generator Control System[C].Beijing:Proceedings of 2009 9th IEEE Conference on Electronic Measurement and Instrumentation,2009.

[4]Zhang Xiaojiang,Man Zhihong.A New Stability Criterion and its Application on Process Control Systems with Time-delay[C].Singapore:Proceedings of 2008 3rd IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications,2008.

[5]王孝武.现代控制理论基础(第2版)[M].北京:机械工业出版社,2006.

[6]张晓江.MATLAB仿真应用于自动化专业教学的实践与思考[J].中国电力教育,2008,(2).

(责任编辑:刘辉)

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