条件概率的教学研究

摘 要：条件概率是概率论与数理统计课程中的一节内容，学生大多在高中阶段已经接触过。但是由于高考对于条件概率的要求不高，加之条件概率对于后续章节的内容学习又很重要，认真学习条件概率还是很有必要的。

关键词：条件概率；教学设计

在概率论与数理统计的选修课上，出现了学生怠学、教师怠教、教学效果差等诸多问题。为了克服这些问题，作为概率论与数理统计的教师，同时也是教学活动的主导，我们进行了如下的教学设计。

首先，条件概率的内容属于概率论范畴。并且就我们目光所及，现行的所有概率论教材都把条件概率安排在第一章，互斥事件之后，而对于学生而言，互斥事件和之前的内容，只有樣本空间和概率的严格定义，学生不太容易掌握，此外再无难点；其次，学生在学习条件概率的时候，大多刚刚开学，对于学习的热情还比较高涨；最后，在后续内容的学习过程中，比如全概率公式和贝叶斯公式的推导、指数分布的无记忆性的证明、条件分布的计算，都会再次利用到条件概率的定义和计算方法。有鉴于此，我们认为，设计有利于学生理解和掌握的教学思路和教学手段，是有助于学生的条件概率的学习的；同时，学生能够熟练掌握并应用条件概率的相关知识进行解题，是完全有可能的。

条件概率的内容多被安排在互斥事件的内容以后，学生在高中阶段已经接触过互斥事件的定义和性质甚至十分清楚互斥事件与对立事件的区别，况且互斥事件的理解也并不困难。为此，我们从互斥事件入手，先利用教材上的引例介绍条件概率的概念，而后考虑条件概率的掌握方法。

例1.[1]将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两次掷出同一面”。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。

这里，样本空间为S={HH，HT，TH，TT}，A={HH，HT，TH}，B={HH，TT}。易知此属古典概型问题。书籍事件A已发生，有了这一信息，知道TT不可能发生，即知试验所有可能结果所成的集合就是A。A中共有3个元素，其中HH属于B。于是，在事件A发生的条件下事件B发生的概率（记为P（B|A））为

P（B|A）=1/3。

由此可以引出条件概率的定义，即

定义条件概率设A，B是两个事件，P（A）>0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

假设两个事件A与B互斥，亦即A与B不能同时发生，用概率的语言描述，也就是A与B同时发生的概率为0。现在我们考虑，在事件A发生的条件之下，B发生的概率，即求P（B|A）。而P（B|A）=P（AB）/P（A），由于AB同时发生的概率为0，所以P（B|A）=0。

通过这段讲解，可以让学生认识到：第一，如果两个事件A与B互斥，则条件概率P（B|A）一定为0，当然了，P（B|A）也等于0；第二，条件概率与两个事件的积事件的概率有着密切的关系，那么怎么理解条件概率与两个事件的积事件的概率之间的区别呢？

两个事件的积事件发生的概率P（A∩B）与条件概率P（B|A）的区别。事实上，P（A∩B）≤P（B|A）；此外，P（A∩B）也可以看成是条件概率的一种特殊情况，即P（A∩B）=P（AB）/P（Ω），其中Ω表示必然事件，即P（Ω）=1。

考虑到高校大学生吸烟问题的普遍性，我们设计了这样的例题，使学生在练习条件概率性质的同时，从一定程度上认识到吸烟的危害。

例2.据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求吸烟者和不吸烟者患肺癌的概率分别是多少？

解：记C为事件“患肺癌”，A为事件“吸烟”，则P（C）=0.001，P（C）=0.20，则P（C|A）=0.004，P（C|-A）即为不吸烟者患肺癌的概率。

由全概率公式，

P（C）=P（C|A）P（A）+P（C|-A）P（-A），

即0.001=0.004*0.20+P（C|-A）*0.80。

所以P（C|-A）=0.00025。

这样，我们可以看到，吸烟者患肺癌的概率是0.004，不吸烟者患肺癌的概率是0.00025，也就是说，吸烟者患肺癌的概率是不吸烟者的16倍！

乘法定理

由于P（A|B）=P（AB）/P（B），所以P（AB）=P（B）P（A|B），而单独考虑这个式子，它又表示事件A和B同时发生的概率等于事件B发生的概率乘以在事件B发生的条件之下事件A发生的概率，这就是乘法定理或者乘法公式。

全概率公式和贝叶斯公式

如果考虑两个事件A和B，则事件A发生的同时，事件B可能发生，也可能不发生，也就是说事件A发生的概率可以作如下表示：

P（A）=P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C），

这里事件C是事件B的对立事件，即P（B）+P（C）=1，这就是全概率公式。

在全概率公式的基础上，我们可以推导出著名的后验概率公式，即贝叶斯公式。学生普遍对于贝叶斯公式的理解存在困难，这里选取了乘地铁还是汽车的习题，既贴近生活，又能让学生理解贝叶斯公式的后验性质，即，在此人已经到家以后，考虑他乘地铁还是汽车的概率。

例3.某人下午5：00下班，他所积累的资料表明此人到家的时间可分为5：35—5：39，5：40—5：44，5：45—5：49，5：50—5：54，迟于5：54六个时间段，并且此人在六个时间段内乘坐地铁回家的概率分别是0.1，0.25，0.45，0.15，0.05，乘坐汽车回家的概率分别是0.3，0.35，0.2，0.1，0.05。某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。

解：记M为事件“此人乘地铁回家”，-M为事件“此人乘汽车回家”。

A为事件“此人5：47到家”，则P（M|A）即为所求。

由条件概率的定义，

P（M|A）=P（MA）/P（A），

而P（A|M）P（M）=0.45*0.5=0.225，

由全概率公式，

P（A）=P（A|M）P（M）+P（A|-M）P（-M）=0.45*0.5+0.2*0.5=0.325，

所以，

P（M|A）=P（MA）/P（A）=9/13。

另外一个与贝叶斯公式相关的例题。

例4.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（A|C）0.95，P（-A|-C）=0.9，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P（C）=0.005，试求P（C|A）。

解：P（C|A）=P（AC）/P（A）

=P（A|C）P（C）/（P（A|C）P（C）+P（A|-C）P（-C））

=0.95*0.005/（0.95*0.005+0.05*0.995）

=0.087

这道题目本身并不难，但是题目所反映的结果却很惊人：试验结果为阳性，被诊断者患有癌症的概率仅为0.087！

结语：条件概率的核心是由于条件的附加使得样本空间范围缩小，从而所求事件概率发生变化。所以本节课教学重点就是在概率的背景下学习理解条件概率概念的本质，会运用条件概率的定义式求各种概率模型下的条件概率，体会公式的一般性。

参考文献

[1]浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2015.

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