关注数学教育的普适价值

摘 要：罗懋康教授给本科生做的一个题为《数学应该是什么》的报告，对数学的功用、数学知识、数学与逻辑的关系、数学的定义、数学的客观性、数学的应用、数学方法、数学的艺术与乐趣、学习数学可以干什么、数学之长与数学之短，表达了丰富的观点，进行了精辟的论述。它对数学教育的启示有：对数学怀有敬畏之心；关注数学教育的普适价值，即提高文化素养和训练理性思维；采用通识教育或科普教育、专才教育、英才教育等不同方式，让不同的学生得到不同的发展；不过分夸大和强调数学的作用，而注意学生的全面发展。

关键词：数学家报告 敬畏数学 教育价值 因材施教 全面发展

教育部长江学者特聘教授、国家杰出青年基金获得者、中国数学会副理事长、国际模糊系统协会副主席、四川大学教授罗懋康不仅对基础数学（纯粹数学或纯数学）和应用数学有深入的研究，而且对数学的本质、数学教育和数学学习有深刻的认识和独到的见解。罗教授给本科生做的一个题为《数学应该是什么》的报告，蕴涵丰富的观点、精辟的论述，包括“数学应该是什么”“学了数学干什么”“数学之长是什么”“数学之短是什么”“现在怎样学数学”“将来怎样用数学”几个部分。这一报告的思想不仅对学生学习数学、应用数学和研究数学等颇有帮助，而且对教师树立正确的数学观和教学观、认识数学的本质、了解数学思维的特点和理解数学教学等富有启发性，对澄清新课改实施过程中出现的一些片面的认识也大有裨益。

一、《数学应该是什么》报告的要点及简单评述

（一）数学的功用

罗教授认为：“数学至少具有四个功用：数学是知识，是方法，是艺术，是乐趣。”也可以说，数学兼具知识性、方法性、艺术性、趣味性等功能和作用。有人把数学知识系统看成科学，把数学方法序列看成技术，把数学审美立美看成艺术。科学在于求“真”，技术在于求“善”，艺术在于求“美”。因此，数学兼有科学、技术、艺术的特点。从而，数学具有“真”“善”“美”的功用。在数学教学中，要发挥好数学“真”“善”“美”的功用——这与“立德树人”的根本教育目标是一致的。

（二）数学知识

罗教授认为：“知识是对思维对象或行为对象的性质或规律的认识或经验。”他把数学知识分为两类：一类是描述某种思维框架的内涵的知识，另一类是描述或作用于某些客观实际的知识。这里，第一类知识是纯粹数学知识，第二类知识是有实际背景的数学知识。纯粹数学必须是逻辑自洽的。有实际背景的数学知识除了要求逻辑自洽，还要求符合实际。因此，“任何知识首先的一个要求就是逻辑自洽”，也就是说，“按照自身的逻辑推演，自己可以证明自己至少不是矛盾或者错误的”。

（三）数学与逻辑的关系

罗教授认为，“逻辑是正确有效地进行理性思维的最基本的规则”，“逻辑是人类几千年符合实践的经验的总结”。理性思维是指以概念、判断、推理的方式进行逻辑思考，从而得出概念清晰、逻辑严密的结论。概念（定义）、判断（命题）、推理（归纳、类比、演绎）是逻辑思维的三大基本形式，因此，理性思维就是逻辑思维。逻辑对于理性思维具有极端的重要性和必要性，逻辑规则就是理性思维必须遵守的规则。逻辑可以分为形式逻辑和辩证逻辑。“在形式逻辑中，最基本的规律是同一律、矛盾律、排中律、充足理由律以及充足理由律的反面，即因果律。”“同一律是说在给概念下定义时同一个名词的含义必须保持不变，一个命题在论证的过程中必须保持稳定；矛盾律就是论证过程中不能自相矛盾；排中律就是性质或者范畴的划分必须明确；充足理由律就是前提必须成立，并且前提要包含结论；而因果律就是把充足理由律反過来，即每一个结论必须有一个前提。”因果律在很多数学书里是没有的，这里罗教授把因果律加进来，主要是为了说明五种基本的不确定性，即随机性、模糊性、不稳定性、不完全性、不一致性，这五种不确定性分别是因果律、排中律、同一律、充足理由律以及矛盾律的否定。

“逻辑和数学之间的联系是异常紧密的”，但它们又不是概念中所讲的同一关系（或全同关系），也不是一个包含另一个的关系。“数学和逻辑建立在抽象的两个不同的方向上。逻辑在处理内容上是最具有一般性的东西，而数学是形式关系和形式性质的最一般理论。”罗教授认为：“在数学中逻辑最基本的表现就是公理，形式逻辑的数学表达就是数理逻辑。”逻辑早于数学出现。在数学史上，最早是把数学当成逻辑的一个研究分支（方向），后来才把数学从逻辑学中独立出来。这也可以看出，逻辑是数学的核心基础。换句话说，逻辑是数学的上位概念。在数学中，不论是定义概念，还是证明命题，都必须遵守形式逻辑的基本规律；若违背了同一律、矛盾律、排中律、充足理由律中的任意一条，就必然犯逻辑错误。

（四）数学的定义

法国著名的布尔巴基学派把“数学”定义为“研究抽象结构的科学”，并把数学结构分为序结构、拓扑结构、代数结构。这一定义虽然从数学科学的角度来看比较严谨，但是对于中小学学生来说并不容易理解。罗教授可能借鉴了布尔巴基学派的“结构说”观点，给出了一个新的定义：“数学就是针对结构、关系及其变化细化后的逻辑。”简言之，数学即逻辑。罗教授的定义对于中小学学生来说也不容易理解，但是突出了数学与逻辑的实质性联系。这一定义把“逻辑”作为“数学”的上位概念（属概念），符合逻辑和数学发展的历史。

有人会说，罗教授的定义没有“科学”二字，不如“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学”“数学是思维的科学”“数学是研究‘演’‘算’的科学”等。需要说明的是，“逻辑是研究思维及其规律的科学”，所以“科学”是“逻辑”的属概念。对于“数学”来说，“逻辑”是比“科学”是更邻近的属概念。由“属+种差”定义理论可知，罗教授的定义更为精确。由此，从本质上讲，数学主要是理性思维，即逻辑思维。还有人会说，计算在数学中是很重要的，但是计算与逻辑关系不大。其实不然：计算公式（法则）的得到一靠发现，二靠演绎（证明），一般是从基本概念和符号出发，由逻辑推导出来的，所以计算公式（法则）一般都是基于逻辑的。

（五）数学的客观性

有人认为，数学知识不需要实际的检验，是“数学家心灵的自由创造物”。罗教授并不完全认同这种观点，他对数学的客观性做了精辟的论述：“逻辑是人类数千年历史中已无数次验证过的对客观世界进行思考的正确方法和理论，反映了客观世界最基本的关系、最本质的内在结构。而数学建立在这一客观现实意义非常明显的规则基础上。由此进行演绎，其过程无论多么抽象深奥，其结果与现实需要的距离无论多么遥远，但由于实际上这一切都是包含在最初的规则中的，因而也仍然是某种客观存在的形式反映。数学所反映的并不一定是什么具体的物理性质、化学性质，但它反映出的是结构、关系、变化。”也就是说，逻辑作为思维规律的反映，具有客观性和相对真理性，从而数学也具有客观性和相对真理性。恩格斯对数学的客观性曾有精辟论述：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。”

进而，罗教授认为：“数学要告诉我们的是‘若如何，则如何’，也就是，在前提符合要求的情况下，一定会有怎样的结果发生。这种‘一定’的客观正确性由逻辑的客观正确性保证。但是，这里并没有保证前提的存在性，也正因为如此，数学才有了可以不联系实际的可能。数学家不关心前提是否现实存在，那是物理学家、工程师、生物学家、医生等关心的事；数学家只负责保证所有此种结构、关系及其变化方面的因果关系。因此，数学要告诉我们的是一种客观规律，尽管可能不是已经在现实中表现出来的，而只是先验地存在、随时可能以某种现实的形式实现的。这也就是为什么数学家的工作不能叫发明，只能叫发现的原因。”既然“数学有不联系实际的可能”，那么数学新课的引入情境也就没有必要非用实际生活背景不可。其实，从数学自身的内部矛盾（即数学情境）出发是最有效的新课引入方式之一。

（六）数学的应用

应用的广泛性是数学的基本特征之一。罗教授认为：“搞应用数学的人应该是从实际中获得问题，用数学方法解决后再回到实际中去。与基础数学不同，应用数学的职责主要是关注应用实际中产生的数学问题，并最终必须回到应用实际中。”罗教授长期做应用数学研究，对应用数学还要求“符合实际”有切实的体会，他举例说：“在工程技术、社会科学、军事科技等领域，仅仅要求知识能自圆其说是不够的，必须还要符合实际，否则要出问题，甚至致命的后果。”因此，搞应用数学，不仅要具有“严密、精确、深入”的数学思维，而且要具有“思维的灵活性、容错性和广泛性”，当然，还需要熟悉其他学科的知识。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）把“数学建模”作为六个核心素养之一，意在培养学生的数学抽象能力、发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。“数学建模”对培养学生应用数学的能力无疑是重要的，但“数学建模”的教学现实却不太理想。张淑梅等调查（测试）发现，在六个数学核心素养中，学生掌握得最不好的就是“数学建模”，绝大部分学生都处于最低水平，平均得分远低于其他五个核心素养。做应用数学有时比研究基础数学更难，“数学建模”则是数学教学中的一大难点，是数学教学特别需要加强的地方之一。

（七）数学方法

罗教授认为：“数学方法和数学知识是两个不同的范畴。”“从方法的普适性考虑，数学当然给我们提供了处理对象的结构、关系及其变化规律的方法，但还不仅如此，当我们进行理性思维时，提炼最主要的性质和关系，暂时排除冗余信息，显然是提高思维效率的必要方式。因为如果要考虑结构、关系及其变化，第一步就是提炼。比如问你1个苹果加上2个梨子是几个水果，结果是3个水果，得到这个结果的方法就是‘提炼’，提炼的结果就是‘加法’，提炼出来的东西就是‘关系’。所以要利用数学中的思维方法的话，第一步就是提炼。”罗教授把“提炼”看成数学思维的一种方法。笔者认为，这里说的“提炼”即为“抽象”“概括”之意。由于“抽象”“概括”是逻辑思维的基本方法，当然也是数学思维的基本方法。

需要说明的是，仅从数学中“加法”定义的角度来看，1个苹果和2个梨子是不能相加的，必须把“1个苹果”抽象为“1个水果”，“2个梨子”抽象为“2个水果”，从而把问题抽象为“1个水果”加上“2个水果”。当然，继续追究的话，“1个水果”和“2个水果”还是不能相加，因为水果有大小之分、酸甜之别等。因此，还要进一步抽象，即把“1个水果”抽象为自然数“1”，“2个水果”抽象为自然数“2”，此时就可以把数学中的自然数“1”和自然数“2”用加法法则加起来了。

罗教授认为，数学还给我们提供了提高理性思维效率的模式，比如微积分给我们提供了“局部和整体、有限和无限之间的变化关系”的思维模式。由此可见，数学方法实质上是一种思维模式。

（八）數学艺术与乐趣

罗教授认为：“所谓艺术，就是为人们所需（理性）或所悦（感性）的某一方面能力的具有独创性、难以重复的极致表现。”“数学作为艺术，是指其对人类抽象思维能力的具有独创性、难以重复的极致表现。”比如，欧拉公式eiπ+1=0，多么简单、和谐，多么美；费马大定理xn+yn=zn（n∈N，n≥3）没有正整数解，看上去多么简单，其证明又多么困难；任意三角形的三条高相交于一点，这一性质看起来多么不可思议。

罗教授认为：“数学（主要是纯粹数学）作为几乎完全依赖于纯粹的抽象思维的体系（更为抽象的哲学尚有部分‘符合实际’的要求），有着非常纯粹的结构美。此外，人们都希望自己聪明，而数学这种思维的纯粹很符合人们心目中‘检验、提高聪明程度’的印象，因此，思考数学问题也是一种乐趣。”菲尔兹奖得主沃沃斯基曾说：“数学的美丽使得研究数学成为一种乐趣。”

艺术的本质在于求美。数学作为一种理性思维的艺术，还包含着美和乐趣。著名数学家庞加莱说过：“能够做出数学发现的人是具有能够感受到所谓数学美的这种感性的人。”高明的数学教师善于帮助学生了解数学美，欣赏数学美，感受数学美，创造数学美。

（九）学习数学可以干什么

从作用（价值）的角度看，数学可以分为文化素养的数学（把数学当成文化），研究发现的数学（把数学当成科学），技术应用的数学（把数学当成技术或工具），锻炼思维的数学（把数学当成思维或逻辑）。数学的普适价值在于提高文化素养和训练理性思维，对于专门科学技术人员（如工程师）的价值在于提供量化分析的通用模式、计算公式和计算方法，对于数学家的价值则在于提供发现（创造）数学最新成果的平台。

罗教授认为，学习数学可以干四种事：一是增长数学文化知识；二是研究、发展基础数学与应用数学；三是运用数学解决实际问题；四是发展数学化的逻辑思维。增长数学文化知识，包括认识理性思维与客观世界在结构、关系及其变化层次上的规律，理解数学知识，熟悉数学方法（包括数学思维方法），是把数学当成文化；研究、发展基础数学与应用数学，是把数学当成科学；运用数学解决实际问题，包括工程技术、经济金融、商业贸易、军事科技等方面的问题，是把数学当成技术或工具；发展数学化的逻辑思维，能够培养理性精神，是把数学当作思维的体操。

（十）数学之长与数学之短

罗教授指出：“数学有助于理性的、抽象的、严密的、逻辑的思维，有助于摒弃冗余的信息、把握问题的本质，能最大限度地保证在分析、演绎的‘过程’阶段不出错误，有助于提炼观点、结论、思路和方法。”“已有的无数事实证明了数学对科学技术的重大推动，对自然规律的深刻揭示。”可见，数学之长在于理性（思维），在于精确（计算）。古希腊先哲们的理性主义，在文艺复兴之后的欧洲被发扬光大，在科学上表现出来的成果，如牛顿—莱布尼兹的微积分、笛卡儿的解析几何、罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何等，都是理性主义的伟大胜利。因此，数学教育应该把培养学生的理性思维放在重要位置。

当下，很多数学教育专家几乎一致认为，数学太有用了，做什么都需要数学。但是，罗教授指出“学了数学的人易有之短”：“实际情况中所需要的思维特性，除了严密、精确、深入之外，同样需要灵活、容差、广泛，而这些是数学（经典数学）本身并不能直接提供给我们的。例如，工程技术、经济贸易、军事对抗、政治决策、行政领导……”“数学不能保证你的动机（起点）和目的（终点）是否正确，它只提供正确的手段（过程）。”也就是说，很多其他领域往往需要一些数学提供不了的思维方式；对于动机、态度、情感、意志、性格等非认知因素，数学一般也是管不了的。因此，数学教育不能过分夸大和强调数学的作用。

二、《数学应该是什么》报告对数学教育的启示

（一）对数学怀有敬畏之心

敬畏之心实质上是一种态度。“敬”即崇尚、喜欢，“畏”即害怕、抗拒。作为一门抽象、难懂的学科，数学既有培养兴趣的一面，也有压抑兴趣的一面；既可以给数学家带来发现的快乐，也可以给更多人带来学习上的痛苦。新浪网的一项调查显示，70%以上的网友坦承被数学“伤害”过，希望数学“滚出高考”。2007年国际数学和科学评测趋势TIMSS数据库资料显示，东亚地区学生的数学学习态度远低于世界平均水平，约58%的学生认为数学枯燥，不喜欢学数学。因此，数学教师应该怀有敬畏之心，针对具体的数学内容，分析学生畏惧、痛恨数学的原因，帮助学生改善对数学的态度。下面以“数学的定义”“数学知识”为例，分析教师应该怀有的敬畏之心。

对“数学的定义”怀有敬畏之心。事实上，给数学下一个定义是很困难的，因为数学的本质不容易弄清楚。正因为此，罗教授不是直接讲“数学是什么”或“什么叫数学”，而是讲“数学应该是什么”——由此足见罗教授对数学的敬畏之心。既然数学的本质不容易弄清楚，那么教师就要热爱数学，努力学习数学，不断思考和认识数学的本质。现在很多数学课缺少“数学味”，因为教师不知道“数学应该是什么”。而判断一堂课有没有“数学味”需要一个标准，这个标准就是“数学的定义”。

对“数学知识”怀有敬畏之心。按照罗教授的观点，数学知识在逻辑上应是自洽（严谨）的。我国高考大纲对數学知识做了明确界定：数学知识是指数学教材中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理，以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能。显然，这里所说的数学知识是人类社会普遍认可的客观性知识（相对真理），能代表主流社会的知识范式，在逻辑上是严谨的，具有准确性、明确性、普适性、可言传性等特点。与之相对应，有人提出了“主观性数学知识”的概念：“数学知识不仅包括‘客观性知识’，即那些不因地域和学习者而改变的数学事实，而且包括从属于学生自己的‘主观性知识’，即带有鲜明个体认知特征的个人知识和数学活动经验……它是经验性的、不那么严格的、可错的。”那么，“主观性数学知识”就不满足知识应有的“逻辑自洽”。这就构成了知识理解上的矛盾。笔者认为，“主观性数学知识”是违背常识的、不科学的概念，容易给教学造成混乱。中小学学生主要学习的数学知识属于经典数学，偏向纯粹数学，应该满足逻辑自洽，这体现了数学逻辑严密的特征。

（二）关注数学教育的普适价值

90%左右的学生不会以数学为职业，也不会从事专门的科学技术工作（如工程师和技术员等）。他们当中的很多人不仅觉得数学无趣，不喜欢学数学，而且觉得数学特别难学，不太容易掌握大量的数学知识和方法。对这些学生的“关照”是数学教师的基本职责和重要使命。当然，数学教师通过分析学生学习数学困难的原因，帮助学生改进学习方法，也能在一定程度上使得部分学生较好地掌握数学知识和方法。但是，数学教师更应关注数学教育的普适价值，即提高文化素养和训练理性思维，从而适当调整教学目标和教学内容。

董君武认为：“数学知识固然重要，但是中学毕业以后真正研究数学，经常用到数学知识的人其实并不多，反而用得多的是在学习过程中所感受到的、体验到的数学思想方法。”董老师还举了用数学思想方法和数学思维方式，解决“在生活和工作中，要求在一定条件下完成一件事情”问题的例子。但是需要注意，数学思想方法比数学“双基”具有更高的概括性，因而更难学习和掌握。而很多学生连数学“双基”都过不了关，又怎么能学好数学思想方法呢？笔者建议，对这部分学生的数学教育，可以把重点放在提高文化素养上，采用通识教育或科普教育的方式，即“五个一点”：教学目标低一点，教学内容少一点，教学进度慢一点，教学时间少一点，考试要求低一点。

（三）讓不同的学生得到不同的发展

理想的中学数学教育是因材施教，让不同的学生得到不同的发展。具体来说，就是对大多数不太喜欢和擅长数学的学生，采用数学通识教育或科普教育，重视数学文化；对将来想从事非数学专业的工程技术、经济类工作的学生，采用专才教育，重视数学应用（包括数学建模）；对于将来想从事数学研究工作或以数学为职业的学生，采用英才教育，重视数学知识体系的研究和发现。

对当下的中学数学教育，很多教师、学生、家长都不满意。原因很多，有社会功利（应试）、《课标》定位、教材质量、教师水平等方面的。但是笔者认为，当下的中学数学教育最大的问题是区分度不够。具体而言，让大多数不太喜欢和擅长数学的学生学习较多、较难的数学，让少数喜欢并擅长数学的学生学习偏少、偏易的数学。

这里特别需要指出的是，多年来我国高中数学教育缺乏对数学尖子生教育的研究与实践——并且几乎没有适合精英教育的教材内容（乃至教材本身）。可能有人认为，数学竞赛培训就是精英教育。但是笔者认为，我国的数学竞赛培训一般采用短期强化训练的方式，这与让运动员吃兴奋剂没有本质区别，从总体上讲，不是教育而是摧残，不是有益的而是有害的。其实，针对少数数学尖子生的精英教育，可以考虑建构具有宏伟目标、系统规划、长期实施、协同培养的新模式：宏伟目标是指瞄准菲尔兹奖。系统规划是指对“中学—本科—硕士—博士”的数学课程做系统安排。长期实施是指用15～18年的时间实施新的培养方案。协同培养是指由数学家领衔并有中学教师、高校教授（博士）共同参与的培养形式——尤其要让数学家走进中学课堂，主持编写饱含当代数学思想方法的精英数学教材（可以借鉴亚洲第一位菲尔兹奖得主、同时也是沃尔夫奖得主的日本著名数学家小平邦彦编写的高中数学教材）。

（四）注意学生的全面发展

众所周知，数学的应用极其广泛，教育价值很大。但是我们也应该注意到，数学不是万能的，“数学远远不能包打天下”。数学的研究对象主要是“数”和“形”，或者是“结构”“关系”“变化”“逻辑”等，这就决定了数学是有局限性的。事实上，有很多问题不适合用数学解决，有更多问题无法用数学解决。此外，数学素养的提升，也不能直接解决情感、态度、信念等方面的问题。因为数学素养主要属于认知的范畴，而情感、态度、信念等属于非认知的范畴，认知和非认知虽然会相互影响，但是不能相互决定，无法相互代替。

《课标》在“课程性质”中明确要求：“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。”“三会”的目标无疑是崇高的，甚至是伟大的，但是，能够实现吗？容易实现吗？这里所说的世界不外乎客观世界和主观世界。在客观世界里，如果有一个人的腿断了，那么如何用数学眼光、数学思维、数学语言去观察、思考、表达呢？这能够帮助他治好腿伤，减少痛苦吗？这个人的腿伤和痛苦是数学家能够解决的吗？治疗是医生的职责，而且，治疗断腿必须找骨科医生或外科医生，其他医生恐怕也无能为力。痛苦是情感的问题，减少痛苦可以找心理医生。这个事例充分说明，术业有专攻。

因此，数学教师不能过分夸大和强调数学的作用，这是不全面的，对学生的全面发展不利。如，大文豪钱钟书高考数学仅考了15分，国学大师季羡林高考数学仅考了5分。他们如果十分重视数学，恐怕就不会成为大文豪和国学大师了。我想，没有人会认为计算机科学、物理学、化学、生物学、天文学、工程技术、农学、医学、哲学、历史学、文学、艺术学、经济学等不重要。一个和谐的社会需要各个方面的人才。数学教师应该树立“行行出状元”的观念，善于发现学生是否具有良好的数学天赋和基础，并且把具有良好数学天赋和基础的学生培养好，同时鼓励数学天赋和基础不佳的学生把其他学科学好，把其他事情做好，在其他方面得到比较好的发展。

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