医院就医排队问题的解决

摘 要：就医排队是人们在医院中经常遇到的现象，众多形式诸如挂号、门诊、划价、取药、打针等，都需要排队。本文运用理论研究、数据分析和模型估测相结合的方法，以排队论为基础，着重对医院挂号排队系统的相关数据予以分析，归纳。从队长、等待时间、忙时等运行指标方面予以阐述，并运用有关医院系统的排队问题数学模型，以期找到门诊窗口所需最佳排队数量。以利于减少患者等待时间，提高医务人员工作效率，提升医院服务形象。

关键词：排队论；医院挂号排队系统；数学模型

人的一生，疾病总会或早或迟地来到，入院就医是不可避免的一种社会现象。然而，目前，我国医疗资源在质与量上的不对称性，人口分布的不均衡以及大医院情节的普遍存在性等诸多原因，使得部分医院往往承受着巨大的服务压力，而患者也深受扎堆就医，看病等候时间过长等问题的困扰。而在构成门诊流程首尾连接的众多单环节点譬如挂号、就诊、检查、治疗、划价、交费、取药等中，排队挂号显得尤为重要与突出，挂号是患者接受服务的第一站，挂号窗口的服务直接影响患者的心情。挂号窗口的数目直接影响到患者的等待时间。如何合理有效地运行医院排队挂号系统，这是值得深思的问题。患者的需求虽然迥异，且随机性很大，但却不是毫无规律可寻，因而通过实地搜集的相关数据的分析整合，构建模型，我们可以深入洞悉医院排队挂号系统呈现出的规律性，为医院排队系统效率提升提供有力数据模型支撑，为医院排队长问题的解决提出针对性意见建议。医院排队挂号系统是整个医院医疗系统的重要组成部分之一，基于排队论的排队挂号系统研究，能够很好地丰富完善医疗系统的相关分析理论与方法；而作为医院就诊的首发系统，排队挂号系统的研究与相关模型的构建，将无疑利于医院就挂号窗口及工作人员的安排进行最优化和最优运营，提出科学有效的整改意见，以增加预见性，减少盲目性；有助于就节省患者和家属等待时间，提高看病效率和病人满意度.同时也有效地降低窗口服务人员的工作强度。

排队论是通过研究各种服务系统在排队等待现象中的概率特性，从而解决服务系统最优设计与最优控制的一门学科[1]。它被广泛地应用于各类型诸如交通、计算机存储和生产管理等多类型系统，以解决各种有形无形的排队问题。关于排队论的理论研究，国内外均有不同程度的研究，而国外研究历史久远且相对比较成熟。1910年，丹麦电话工程师爱尔朗在解决自动电话设计问题时形成的话务理论[2]标志着经典排队论的诞生。W.Feller 在20世纪30年代中期引进了生灭过程，排队论被数学界承认为一门重要的学科。在第二次世界大战期间及以后，排队论在运筹学这个新领域中成为了一个重要的内容，人们对排队问题的理论研究也不断取得新的进展。约在1950年初期，英国数学家D.G.肯德尔提出的嵌入马尔可夫链理论则为排队论奠定了理论基础[3]。70年代以来，随着经典排队论在实践应用中的诸多弊端的出现，Levy与Yechialih[4]提出休假排队系统论，排队论得以进一步发展。80年代以后，人们对于排队论的研究则更多地趋于对于实践的应用。1971年Gupta I，Zoreda J，Kramer，N[5]将排队论的方法和模型应用到医院管理中，开启了排队论在医疗服务系统中应用的先河。1999年Tucker J B [6]等以医院病人等待时间和医院成本支出等相关数据分析为基就美国一家医院的手术室人员配置优化引入排队论模型，得出医院当减少一组备用人员以实现最优化。Trapman[7]于2009年将排队论理论应用公共卫生领域的研究，医院的个体机构过渡到多个机构，实现了排队论从更广范围的应用。2010年 Palvannan R K，Teow K L[8，9]等人则从 M/G/1，M/M/c 等多个模型的角度，对健康领域排队论的应用进行了相关研究。国内对于排队论的理论研究，始于20世纪90年代，开始已经有学术研究，并随之逐步运用到各种实践中。2003年陈庆宏，温渤[10]运用排队论的相关理论就生产过程时间组织中的具体问题进行了相关研究。2007年高金华，李洁[11]则将随机过程、排队论的基础知识，及爱尔朗排队模型的运用相结合，为航站楼值机大厅的旅客组织和面积设计提供相关理论依据。随之，国内排队论在医疗服务系统中的应用研究也逐步发展[12]。但相对于国外这方面的研究而言，则显得略为单薄，具体的文献并不太多，而仅有的本分文献则多在介绍简单的单一模型与实例，研究的完整性、系统性有待加强。2005年，赵军宽，彭迎春[13，14]等利用排队论对门诊挂号、收费、内科等部门的服务流程效率予以了测量，并积极肯定了排队论的理论与方法在门诊服务流程效率评价过程中的可行性，同时也指出其有待需要在实践中改善之处。2007年朱勤忠[15]，应向华等采用排队论模拟、计算平均等待时间和空闲时间等指标，意在对区域大型医疗设备配置规划的相关问题提出合理化建议。

一、排队系统的介绍

（一）排队系统的基本组成

排队系统过程是指顾客由顾客源出发排队等候至接受服务机构服务，继而离开的完整过程，具体而言，排队系统一般由三个基本部分组成：

1、输入过程指顾客到以怎樣的规律到达排队系统。顾客总体（顾客源）指可能到达服务机构的顾客总数。顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。顾客到达的方式指顾客的到达是单个的还是成批的。顾客相继到达的时间间隔分布可以是是确定型的，也可以是随机型的。

在一定的时间间隔内，系统内到达顾客数的概率分布常见的有两种：定长分布，即顾客相继到达的时间间隔是确定的；泊松分布，即顾客单个到来且相互独立，一定时间到达的个数服务参数为λ的泊松分布，则顾客到达系统的时间间隔服从参数为的指数分布。假定输入过程是平稳的，也就是说顾客相继到达的时间间隔分布及所含参数是不随时间的变化而变化的、是与时间无关的。时间的分布则也假定为平稳的。

2、排队规则指顾客接受服务的规则，是排队系统的一个重要的组成部分。主要分为三种情况。（1）随即离去并假定永远不再回来的称为即时制或称损失制。（2）顾客不离开、排队等候的称为等待制。对于等待制，为顾客进行服务又主要分为：先到先服务、先到后服务、随机服务和优先权服务。（3）混合制，即损失制与等待制的混合，分为队长有限的混合制系统，等待时间有限的混合制系统，以及逗留时间有限的混合制。

3、服务机构有三个参数：（1）服务时间是指顾客从开始接受服务到服务完成所花费的时间。服务时间是一个随机变量，因为每个顾客要办理的业务不一定是一样的，存在很多影响服务机构服务时间的随机因素。可用顾客服务时间的概率分布描述，主要形式有定长分布与指数分布。（2）服务台数量一般分为单台还是多台，多服务台时服务台可以是平行排列（并列），也可以是前后排列（串联），亦可以是混合的。排列方式有单队——单服务台、多队——多服务台（并列）、单队——多服务台（并列）、多服务台（串联）、多服务台（混合）等情形。（3）系统容量是指在排队系统中等候人数和正在服务的顾客数的总数。

（二）排队系统的主要数量指标

我们求解排队问题就是计算排队系统各项基本数量指标的过程，而各排队系统的数量指标是我们，对系统的运行效率进行分析，系统的服务状况进行估计，系统特征量的最优值予以确定的数据基础；也是我们实现系统最优设计、最优运营或最优控制的定量依据。据调查，从顾客与服务机构兩方面利益出发而言，队长、等待时间、服务台的忙期等三方面则成为衡量一个排队系统的好坏主要标准。而根据系统状态特征是否随时间t的变化而变化，数量指标可分为瞬时性能指标与稳定性能指标。为了更好地进行研究，我们往往采用稳定性能指标。从队长、等待时间、服务台的忙期等三面出发我们主要采用以下稳定性能指标对医院排队挂号系统予以分析。

1、队长，即顾客数。在此我们采用排队的平均顾客数（排队长）和系统中的平均顾客数（队列长）两大指标予以分析，Lq、Ls分别进行表示，且后者为前者与正在被服务的顾客数之和。2、等待时间指顾客自进入系统到接受服务而花费的时间。衡量“等待时间”我们也采取三种稳定性能指标：排队上的平均等待时间（等待时间）；系统里的平均逗留时间（逗留时间），系统等待概率。逗留时间为等待时间与被服务平均时间之和。以Wq为排队上的平均等待时间，Ws系统里的平均逗留时间。系统等待概率指顾客到达系统得不到服务，必须排队等待服务的概率，用Pw表示。3、忙时指服务机构连续繁忙的时间长度，即顾客从到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次空闲止的这段时间，是个随机变量。基于此，我们此处从相反方向考虑相关指标，即闲时概率：系统中没有顾客，服务设施均空闲的概率，用P0表示。

（三）排队系统模型

排队系统模型是为了研究系统的相关特性，基于收集、处理、分析有关排队相关数据，提取相关数量指标，而建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。与排队系统三大主要特征“输入过程、排队规则和服务机构”的不同，排队系统模型可分为多种。英国数学家D.GKendall提出的“Kendall记号”法被广泛采用，其一般表达格式为：X/Y/Z/A/B/C。其中：X—顾客相继到达的间隔时间的分布；Y—服务时间的分布；Z—服务台个数；A—系统容量限制（即可容纳的最多顾客数，包括正在服务和排队等待的顾客，默认为∞）；B—顾客源数目（默认为∞）；C—服务规则（默认为先到先服务 FCFS）。对于X、Y而言，有多种概率分布形式的存在，我们一般默认M表示负指数分布；D为确定型分布；Ek为k阶爱尔兰分布；G为一般分布；Gl为一般独立的分布；G-则为一般随机分布。不同模型适应不同的条件与场合。

二、医院挂号排队系统的数据采集以及统计分析

被调查医院共有3个挂号窗口，顾客到达医院时会登记到达医院时间，并选取一个窗口排队挂号，构成“多队——多服务台”（并列）的情形。所需获取的单位时间内到达的顾客数和顾客的服务时间等数据是随机的。且我们假定该两种数据分布平稳。

（一）原始数据的采集

1、医院挂号排队系统“单位时间内到达的顾客数”。收集了2012年12月中旬两个星期，从周一到周五共10天该医院门诊挂号病人的到达情况。该医院每天挂号时间为早上8点到下午4点。以到达医院服务台登记等待挂号为进入排队系统标志，结束服务离开为终止标志。在此过程中，我们以2分钟为1个时间单位，记录该时间单位内到达的顾客数，并随机调查了204个样本。该样本数据的统计分布，具体见表1（所有样本之和为1017）：

2、医院挂号排队系统“每位顾客的服务时间”。我们随机调查了182位病人挂号的服务时间，并对该182个样本数据的分布做了概率分布图，见图1。

3、顾客到达过程形成Poisson流的检验。Poisson过程的定义：设 为时间 内到达系统的顾客数，如果满足下面三个条件，则称 为Poisson过程。（1）平稳性 内有一个顾客到达的概率为 ；（2）独立性，任意两个不想交区间内顾客到达情况相互独立；（3）普通性，在 内多于一个顾客到达的概率为 。

， 是分析的组数， 是自变量个数，很明显， 。从拒绝域可认为单位时间内到达的顾客数服从Poisson分布，即顾客的到达过程形成强度为 的Poisson流。

4、顾客服务时间满足双参数指数分布的检验。图2和来自指数分布总体的数据直方图有相似的地方。但图2和来自指数分布总体的数据的频率直方图有明显的差异，则猜想每位顾客的服务时间 服从双参数指数分布 ，其概率密度函数定义为： （当 时双参数指数分布 退化为指数分布 ）。下面采用 拟合检验对猜想进行验证，参数估计： （秒）（ 是所有样本中最小的那个）。 （秒） 。检验统计量： 。取显著性水平为 ，得到检验的拒绝域为： ， 是分析的组数， 是自变量个数，很明显， 。从拒绝域可认为每位顾客的服务时间服从双参数指数分布。

（二）医院挂号排队系统模型的确定

由上面的拟合检验结果可以判定，该医院挂号排队系统符合排队论中的 个 型排队模型 。该排队模型相对应的排队系统的三大特征为：输入过程——顾客源数量有限，且顾客到达呈相互独立分布，而一定时间内顾客到达数则服从“Poisson”分布；排队规则——多队并列且队长无限制，先到先服务；服务机构——多服务台并列，各服务台的服务时间是相互独立且服从相同的分布，各服务台工作相互独立且平均服务率相同。

1、模型的描述。在“ 个 ”型排队模型 中，相应的描述数量指标具体如下表示：我们令 为顾客到达率； 为单个服务台的服务率（假设固定不变）， 为服务时间标准差； 为单个服务台的顾客到达率（假设顾客被分流）。则有：服务强度密度 ；单个窗口空闲概率 ； 为系统窗口均空闲的概率；顾客到达系统，得不到及时服务须等待的时间 ；顾客到达系统，无需等待即可接收服务的时间 ；单个窗口前的平均排队顾客数 ；系统中的平均排队顾客数 ；单个窗口的平均顾客数 ，系统平均顾客数 ；顾客平均排队时间 ；顾客在系统中的平均逗留时间 。

2、模型的相关数量指标的测算。对于医院挂号窗口系统而言，系统的顾客到达率 ；系统每个服务台的服务率 ；服务时间的标准差 。利用表3计算由于 的变化造成排队系统各指标的变化，结果见表4。当 时，服务强度 均不小于1，这样会造成无限长的列队。从当有3个售票窗口时，顾客到达系统得不到及时服务、必须排队等候的概率为0.2310。此时每个窗口前的平均顾客数为2.6383人；每个窗口前的平均排队的顾客数为1.7140人；一個顾客在系统里平均逗留时间为190.7221秒、一位顾客花在排队论上的平均时间分别为123.9034秒。当挂号窗口由3个增加到4个时，顾客到达系统得不到及时服务、必须排队等候的概率突然降低至0.2310，而相应的每个窗口前的平均顾客数、每个窗口前的平均排队的顾客数降至0.9311人、0.2378人；一个顾客在系统里平均逗留时间、一位顾客花在排队论上的平均时间降至89.7344秒、22.9246秒。可以看出，挂号窗口数由3个增加到4个使系统排队指标的变化是相当大的。

当挂号窗口数由4个增加到5个时， 、 、 、 、 虽有所下降，但下降的幅度不是很迅猛。从表4中 、 、 、 、 的绝对值可以看出来，绝对值越大，表明由于增加窗口造成的指标变化越迅猛。当窗口数继续增加时， 、 、 、 、 都随之下降，但下降的速度是缓慢和平的。增加窗口数会使服务强度降低，即服务机构的平均利用率降低，这在无形中使服务机构的资源产生了浪费；同时增加售票窗口数还会产生新的费用，诸如新窗口的设备费用、员工费用、维护费用等，这也会增加整个服务系统的开支。综上所述，选取 是比较合适的选择。系统的窗口数从3个增加到4个时系统的数量指标变化最为峻猛，既提高了服务系统的效率，又使由于增加售票窗口的开支较小。

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（作者单位：广西大学）

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