利用概率的统计定义解决实际问题

摘 要 本文针对概率的统计定义，从热点经济适用房摇号的实际问题出发，通过学生少量实验，自己体会实验的过程，亲手得到实验的数据，然后教师宏观调控，通过计算机模拟大量实验，分析算法，展示实验过程，分析实验数据，让学生从直观上理解定义。

关键词 概率 统计定义 算法

中图分类号：O211.9 文献标识码：A

概率是研究随机现象的发生可能性的一门学科，它最早起源于数学家对赌博问题的思考。这门学科从十七世纪出现就为随机现象的数据研究和整理提供了强有力数学依据。尤其对随机现象提供的大量数据处理有其明显的优势。随着社会经济的不断发展，概率论在生产、生活中的应用也更加的广泛。综合各方面的因素，只在大学教材上活跃的概率论开始进入的高中生的数学课本。这是近几年来高中数学教学内容改革的重大举措，也是数学教学生活化的重要体现。概率的某些知识纳入高中课堂教学将更好的为学生展示数学的服务性，也是对学生应用数学的相关知识解决实际问题的能力的更高层次的要求。

1概率的统计定义

在高中的教材上主要介绍了概率的古典定义和统计定义.用这两种方法来诠释概率都有其利弊。古典定义简单直观，但是对随机事件的要求比较高，生活中出现的面比较窄.在古典概型下，伯努利证实了一点，即“当试验次数愈来愈大时，随机事件发生的频率将接近概率”，由此引出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率。统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，它只是利用概率的稳定性给出了一个估计概率大小的方法，而且它需要大量的实验数据做支撑，但是它没有了古典定义里面对随机事件的诸多要求，在解决实际问题的时候它的适应力更强，适用的面更广。统计定义能比较直观的给学生展示，相对来说是比较容易接受的。但是如果要很好的说明统计定义的由来所涉及的知识是比较深奥的，我们在处理这一块的时候重在直观感受，淡化理论证明。

2实际应用

正是因为概率问题在生活中随处可见，所以学生对这一章节的内容很有兴趣。教学时可以充分利用这一特点，将知识点的授课和实际问题紧密联系起来，着眼于实际问题的处理和分析，特别是与学生以后生活密切相关的问题的分析，善于和学生一起发现和挖掘熟悉的有意义的问题。比如：彩票、摇号、决策、竞赛输赢、考试等问题。因为在利用统计定义解决问题的过程中将涉及到实验，老师可以充分利用这一特点培养学生的动手能力，让学生亲自得到第一手数据，这种直观和直接的实验感受将是任何教师的语言也比拟不了的。但是实验的次数是“大量”到底是大量到多少就需要老师有很好的专业素养能从宏观上去把握。同时在对数据处理的时候教师往往要借助计算机进行分析处理。

2.1问题的来源

经济适用房摇号事件一直在网上闹的沸沸扬扬的。2009年，武汉市5141名困难家庭市民参与一个经适房小区公开摇号。结果摇中的124名市民中，有6人的购房资格证明编号是连号。同年湖北老河口市第二期经适房公开摇号，从1138名申请人中摇出了514名住户，市民发现这514户中出现了“14连号”的现象。市民怀疑资格审查及摇号过程中存在舞弊，但当地房管局和司法局公证处均表示此次摇号过程及结果无任何问题，摇号软件合格。针对上述问题很多人都提出了自己的计算方法，其中比较权威的是华中师范大学一位数学博士的计算5141名困难家庭市民参与公开摇号摇中124人，其中6人连号结果是：千万亿分之一。华中科技大学概率统计系副主任王湘君计算从1138名申请人中摇出了514名住户出现14连号的概率约为百分之一。

2.2解决的原理

引导学生分组实验10人次摇号中4人，其中3连号的几率是多大呢？让学生感受到实验的乐趣和真实性后，老师强调大量重复的实验我们的时间和精力是不允许的，所以我们应该很好地借助现代化工具。通过计算机模拟实验能够比较直观的给学生展示结果的形成过程。

现在以“从1138名申请人中摇出了514名住户出现14连号”的问题进行计算机求法分析。对于该问题我们可以抽象为：从1到n取出m个数其中出现k个数是连续的数的概率问题，如果直接对该问题进行求解，我们可以分为几个部分进行求解，一是如果只有k个连续的，而不考虑k个以上的，二是包含k个及其以上的的概率问题，对于问题一我们要解决的是如何从n个取出k个连续的数，然后再取m-k个数。在这里我们要考虑的是这m-k个数有没有k个连续的数因而考虑起来比较麻烦，同理对问题二还要考虑重复计算的问题，因而讨论起来很复杂，也比较容易出错，而且C（514，1138）超过了10308，这种思维的方式比较复杂，也超过了一般计算机的计数能力，因而我们考虑用概率的统计定义进行求解。生活中的实际问题和我们教材上给定练习的例题还是有很大的区别。教材上给定练习的例题是精挑细选生活中的实际问题然后根据学生的思维和计算能力精心改编而成，一般重在思维方式的培养，然后考察一定的计算能力。但现实生活中的实际问题是没有经过任何改编的，所以学生面临的挑战将更大。本案例如果采用统计定义进行计算将涉及大量的实验，而且实验中实验的次数和实验的数据都是比较大的，所以直接要学生直接进行模拟操作获取数据不具有可行性。

从新教材内容的改革我们可以看到合理利用信息花手段解决数学问题已经得到了高度的重视。教材也给我们提供了很多计算的软件和编程的技巧。在每个章节的后面几乎都有信息技术的应用环节。巧用现代化技术解决数学问题将为学生腾出更多的时间去思考和理解更本质的方面，学会提出问题和抽象概括，更加注重现实问题的解决能力。

现用计算机来解决这一问题，其原理是：对问题进行大量的实验，那么事件发生的概率就约等于该事件发生的次数num1与总的实验次数num2的比值即：

P（A）≈ =

当实验次数的趋近于无穷大时，比值可以无限接近P（A）

（1）算法步骤：

步骤0：num1=0

步骤1：从1到n中随机抽取m个数

步骤2：对这m个数进行排序

步骤3：考察是否有k个数是连续的，如果有：则发生次数num1=num1+1

（对于问题二要包含k个及以上的情况）

步骤4：重复步骤1，2，3 num2次

步骤5：输出num1/num2

（2）计算实例与结论

为了使结果更精确，对每一种情况进行了10次实验，取平均值作为结果

（3）结果分析

从数据中可以看出当试验次数增大时得到的概率值越来越稳定特别是当试验次数达到1000000次的时候，10次的结果几乎一样的，因而其问题一的概率为0.82%，问题二的概率为0.83%。

教师可以顺势引导学生发现利用计算机计算这类概率问题具有算法简单，结果误差小的优点，同时我们也很容易推广到其他同类型的问题，模拟实验时只需对程序作数据的修改。

学生自己在计算机上分组模拟实验“从1138名申请人中摇出了514名住户，市民发现这514户中出现14人连号” 的概率有多大？结果发现我们试验次数达到1000000次的时候，没有一次出现6连号。

总之，由于概率问题在我们的生活中是大量存在的，所以在教学中利用概率的相关知识解决实际问题将能更好的体现数学这门工具学科的实用性和趣味性。利用统计定义教学的过程中通过计算机模拟实验将能更好的体现概率统计定义的形成过程，将概率与频率这两个学生易混淆的概念较轻易的区分开来。

参考文献

[1] 程述汉，葛家麒.概率论与数理统计[M].中国农业出版社，2004.

[2] 王沫然.Malab与科学计算[M].电子工业出版社，2003.

推荐访问： 概率 解决实际问题 定义 利用 统计

---