用数学之美培育学习数学的兴趣

【摘要】兴趣是最好的老师,是成功的起点和动力。而美能使人兴趣盎然,诱发强烈的求知欲望,爱美是人们从事某种活动的力量源泉。就此,笔者浅谈如何利用数学美培育学习数学兴趣的一点体会。

【关键词】数学美;兴趣;求知欲;源泉;培育

引言

数学作为自然科学的基础,其本身就具有许多美的特征,它们是形象、生动而具体的。把数学中美的现象展示出来,再从美学角度重新认识,这不仅是对人们观念的一种启迪,同时可帮助人们去思维、探索、研究、发掘。数学美学研究的主要内容也包括探求数学中的现实美、美感和美的创造。数学美是一种科学美,它有着丰富多彩的美的因素。一些学生对数学感到枯燥乏味,激不起兴趣,原因之一在于教师没有充分发掘蕴涵于数学中的美,因而学生没有享受到数学美给他们带来的乐趣。

兴趣是个体以特定的事物、活动及人为对象,所产生的积极的和带有倾向性、选择性的态度和情绪。每个人都会对他感兴趣的事物给予优先注意和积极地探索,并表现出心驰神往。兴趣不只是对事物的表面的关心,任何一种兴趣都是由于获得这方面的知识或参与这种活动,使人体验到情绪上的满足而产生的。在数学教学中充分发掘蕴涵于数学中的美,让学生从多方面、多层次地去感受数学美,培养学生学习数学的浓厚兴趣,充分发挥其学习的主动性,激发学生学习的兴趣,使其全身心的投入,以达到预期的教学目标。本文从几方面浅谈了以数学之美激发、培育学生学习数学的兴趣的一点体会。

1.用简洁美育趣

兴趣是后天形成的,它需要诱发。数学具有高度的抽象性,总在不同的范围内呈现出许多初始的、简单的形态。这些朴实的美的因素,更接近学生的情感,易引起爱数学的倾向,能克服学生认为数学繁和难的心理障碍,诱发强烈的兴趣。这兴趣是后天形成的,它需要诱发。例如“两点确定一条直线”准确而精练地刻划了直线的基本性质,学生易理解、能接受,自然就会有兴趣。简洁本身就是一种美,而数学的首要特点在于它的简洁。数学家莫德尔说:“在数学里美的各个属性中,首先要推崇的大概是简单性了”。

人们对于数学中的简洁的追求是永无止境的:建立公理体系,人们试图找出最少的几条(摈弃任何多余的赘物);命题的证明,人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题证明不断的改进);计算的方法,尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新)。数学拒绝繁冗。正如R·G牛顿所说:“数学家不但更容易接受漂亮的结果,不喜欢丑陋的结论,而且他们也非常推崇优美与雅致的证明,而不喜欢笨拙与繁复的推理”。

数学具有抽象性和统一性,因而数学形式应是简洁的。实现数学的简洁性(抽象、统一)的重要手段是使用了数学符号。如行列式简洁、整齐、便于记忆,这些特点往往使某些数学方程变得漂亮。

比如平面上过点的直线方程可用下式表示:

数学的简洁美,还体现于对困难和复杂问题的简洁解答。追求数学的简洁美,能克服学生认为数学繁和难的心理障碍,诱发和培育出强烈的学习兴趣。

2.用对称美育趣

著名德国数学家、物理学家魏尔说:“美和对称紧密联系。”对称通常指图形或物体对某个点,直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一对应关系。在数学中,对称的概念略有拓广(常把某些具有关连或对立的概念视为对称),这样对称美便成了数学美中一个重要组成部分,同时也为人们学习和研究数学提供了某些启示。

数学中有许多对称性素材(对称式、对称图形、对称结构、对称变换)都会给我们美的感受,从而增添研究它们各自特性的欲望。但是兴趣的一条重要源泉就是对知识的运用,因此,教师不能只停留在让学生感受对称美的层次上,更重要是要让学生置身于运用对称性质来解决某些问题,使学生在尝试和显示自己才能的活动中开拓和培育兴趣。

数学家外尔(H.weyl)说:对称是一个广阔的主题,在艺术和自然两方面意义都很重大。数学就是它的根本,并且很难再找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。对称在数学上的表现是普遍的。几何平面上的情形有直线对称(轴对称)和点对称(中心对称),空间的情形除了直线和点对称外,还有平面对称。见图1:

引用对称可以使一些问题变得简单,可以使某些题变得简单易懂,更接近学生的思维,更容易让学生接受。

3.用相似美育趣

苏联著名教育家苏霍姆林斯基认为:认识本身就能激起浓厚的兴趣。即是说兴趣的源泉蕴涵于学生亲自探索和发现知识本质的脑力劳动之中。探索和发现新知识的方法之一就是以旧引新,以旧解新。旧与新的相似或相近的因素,是架起由旧通向新的桥梁。

数学中的数式相似,图形相似,命题结构相似、方法相似等具体内容和形式之间的相似或相近现象构成了数学的相似美。相似的因素、相似的条件能够产生相似的关系或相似的结果。有了数学的相似性,人们才能在旧有的认知结构基础上,通过联想、类比、归纳、猜想等思想方法去拓广原命题,发现和解决新命题。

在这里简单的通过几个定理进行说明:

大约公元1世纪,亚历山大的巴普士发现了下面的几何定理:

若是直线上的三点,是直线上的三点,则AB’与、BC’与、AC’与之交点共线。

17世纪初法国的帕斯卡发现又一个定理:

圆内接六边形,每两条对边延长线交点共线。

同时,这个结论可以推广到一般的圆锥曲线的情形,即对内接于圆锥曲线的六边形定理也成立。

17世纪法国建筑师迪沙格发现了立体几何上的一个重要定理,这个定理也是“射影几何”中一个重要的奠基性的结论(它的逆定理也成立)。

与所在平面不平行,其对应顶点连线交于一点,则它们对应边延长线交点共线。

20世纪中叶,美国科内大学的工程系教授斯威特(Sweit)曾借助于立体几何中的结论巧妙地证明了: 平面上三个不等圆的两两外公切线交点共线。

他是把圆视为空间中的球;把直线视为空间两平面的交线,而得证的。见图2:

类似的例子还有许多,但是上面的几个结论都是十分有名的。在这里指出一点,它们不仅貌似,而且相互间也有微妙的联系,我们可依据数学上的结论,找出它们共通的实质上的东西,揭示产生它们的背景并加以论证。

4.用和谐美育趣

相似美主要能使我们解决相似或相近的一类问题,并且随着这一类问题的解决,学生会形成爱好某一方面的兴趣中心。而数学的和谐美却能使学生的兴趣衍生,使学习数学的兴趣的广度不断扩大,发展成为对数学各个分支学科的爱好。

美是和谐的。和谐性也是数学美的特征之一,和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。所谓“数学的和谐”,不仅是宇宙的特点,原子的特点,也是生命的特点,人的特点(高尔泰语)。数学的和谐美表现在各种形式和层次上的高度统一和协调。各种形式之间在本质上的和谐与统一,是变换和化归的依据。因此,问题的条件和结论通过映射、分解、叠加等等价或不等价的手段,可使其在新的协调形式下相互沟通,达到问题的解决。

数学的和谐还表现在它能为自然界的和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐找到最佳的现证。从另一个角度讲,数学不仅能验证自然界的和谐,还能解释它甚至能为人类所利用。比如对人口增长规律的计算得到人口大抵30年而加一倍,从而提出控制人口增长的速度,落实到计划生育的实施,否则后果不堪设想。

5.用奇异美育趣

奇异性是数学美的另一个重要特性。奇异性包括两个方面:一是奇妙,二是变异。数学中不少结论巧妙无比,令人赞叹,正是因为这一点数学才有无穷的魅力。数学的奇异美是指数学中的和谐性或统一性在一定条件下的破坏,是数学中的新思想、新理论、新方法、新概念对原有的习惯法则和统一格局的突破。其特征是新颖、奇特、出乎意料,有悖于人们的想象与期望,因此就更引起人们的关注与好奇。构造反例,寻求特例,采取反证递推途径或极端化手法,顺难则逆向思维,正难则反向思维等是奇异美的表现形式。

英国哲人培根(R.Bacon)说过:“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特。”他又说:“美在于奇特而令人惊异。”奇异中不仅蕴涵着奥妙与魅力,奇异中也隐藏着道理与规律。如果说运用数学的基本知识和基本方法解决问题能使学生对数学的直观兴趣深化为自觉兴趣,再由自觉兴趣深化为对数学的潜在兴趣,那么,灵活多变的技巧、奇异新颖的思维角度和方法则能使学生对数学的自觉兴趣和潜在兴趣等这些持久兴趣得到巩固和发展,学生就会自始至终以饱满的学习热情去主动获得系统而深刻的数学知识。

数学中的奇异美还有另一种含义:当人们没有认清它而做出错误的判断、结论或给出不尽完美的方法时,将会出现一些“反例”(这是数学自身严格性的必然)。要证明一个结论,须考虑全部情形和所有情况,然而要推翻一个结论,只须举出一个反例即可。我们有理由这样说:数学中那些最美妙、最另人意想不到的反例,从另一个角度说却是数学的一种奇异美,而且反例的美学价值与数学价值同样重要。

需要强调的是,用数学美的五个方面培育学生学习数学的兴趣是相互结合的,是不可分割的。只有这样,学生对数学美才会有较为全面、深刻的体会,从而真正的喜欢数学、喜欢数学思维。

6.总结

人们常说:“成功的教学给人以一种美的享受”。数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程,而且是在教师指导下的一种特殊审美过程。因此,数学教师在教学中,应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生揭示出来,使学生认识到数学的内容是美的,从而培育其学习数学的兴趣。本文从数学美的几个角度论述了在数学教学中,通过对学生进行数学美的渗透,使学生掌握数学美的规律,培养学生的数学美感和数学兴趣,使学生养成用数学美的思想解决问题的习惯。因此,在数学教学中要经常采用“实践——认识——再实践”的认识规律去审美,去欣赏美,去发现美,形成对数学美的规律性认识,再用这些规律去猜想、去探索、去发现、去分析解决数学问题,培育和激发学生学习数学的兴趣。

参考文献

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[5]G.波利亚.实现与猜想[M].北京:科学出版社,1984.

[6]徐本顺.数学中的美学方法[M].南京:江苏教育出版社,1990.

作者简介:王成理(1974—),男,四川彭州人,西华大学数学与计算机学院讲师,主要从事数学教育工作。

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