一道物理高考选择题的解法探析

题目 一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角θ射入，穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃对红光的折射率为1．5。设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t1和t2，则在θ从0°逐渐增大至90°的过程中

A．t1始终大于t2。

B．t1始终小于t2。

C．t1先大于后小于t2。

D．t1先小于后大于t2。

分析 本题是2008年全国Ⅰ高考理科综合试卷第21题，是一道几何光学选择题。考察学生对光的折射定律、光的色散基础知识的掌握。解答此题的思路是正确推导出时间的表达式，并采用恰当的数学方法比较时间的大小。

设玻璃砖的厚度为d，折射角为r，红光折射率为n1，蓝光折射率为n2，光在真空中的速度为c。则：光穿过玻璃的时间

t=Sv=ndccosr

上式中有两个变量，红光的折射率比蓝光的小，即n1＜n2；而红光的折射角比蓝光大，即r1＞r2，可得：cosr1＜cosr2，于是无法比较t1、t2的大小。因此必须替代其中一个变量，推导出只有一个变量的表达式。由于有两个变量，因此就有两种思路。

解题思路1 替代变量cosr

由n=sinθ/si，si2+cos2r=1得：

cosr=1-sin2θn2=n2-sin2θn

则时间：t=n2dcn2-sin2θ

式中红、蓝两单色光的入射角θ是相等的，因此只要分析变量n。但由于分子、分母都有这个变量，仍然无法得出结论。不少考生就卡在此处了。

解法1 特殊值排除法

设θ=0°，则t=ndc得t1＜t2，排除AC选项。设θ=90°，则t=n2dcn2-1，已知n1=1.5可设n2=1.6代入表达式可得t1＜t2，排除D选项，最后得出答案选B。特殊值排除法用时少，但比较实用，是考生在考试中较多采用的一种方法。

解法2 数学函数分析法

t=n2dcn2-sin2θ=dc1n2-1n4sin2θ

设x=1n2，得出

t=dcx-x2sin2θ

构建二次函数

y=x-x2sin2θ

=-(xsinθ-12sinθ)2+14sin2θ

当x=x0=12sin2θ时，y为最大值；当y=

0时，x=0或x=x1=1sin2θ。且t＞0则y＞0。

画出函数图像如图1。

根据函数图像讨论：

（1）当x＜x0时，函数单调递增，即：1n2＜12sin2θ，得出sinθ＜n2，而题中的红光、蓝光的折射率都大于2，满足sinθ＜n2，所以函数y=x-x2sin2θ在此题情景下单调递增。那么：n1＜n2时x1＞x2，有y1＞y2，得t1＜t2。答案选B。

（2）当x＞x0时，函数单调递减，即：

1n2＞12sin2θ，

得：sinθ＞n2，此式不合题意，舍去。

数学函数分析法对考生的数学能力要求较高，适用于数学能力强，思维敏捷的考生。

解题思路2 替代变量n

由n=sinθ/si，得：

t=ndccosr=dsinθcsicosr=2dsinθcsin2r

式中红、蓝两单色光的入射角θ是相等的，因此只要分析变量r，且只有分母有这个变量，显然可以讨论得出结论。

当2r＜90°时，即r＜45°时，sin2r随r的增大而增大。而题中的红光、蓝光的折射率都大于2，则红光与蓝光的折射角r＜45°，所以可得：r1＞r2，即t1＜t2，答案选B。

解题思路2显然比解题思路1简单得多，但大部分的考生并没有采用，原因是认为n为已知量而不去替代，而下意识的去替代cosr。事实上，不管是n还是cosr，在表达式中都是变量，我们可以根据具体情况替代其中任意一个变量。

通过此题解析，提醒教师在习题课教学中，应注重学生思维训练，要注意引导学生从多方面、多角度对题目进行分析，找出解题的多种途径，这样有利于学生发散思维能力的培养，有利于基础知识、基本方法的巩固和提高。

(栏目编辑陈 洁)

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