伽玛函数和贝塔函数在大学数学中的应用

摘要本文首先给出伽玛函数和贝塔函数的定义及性质;然后将其应用到定积分,广义反常积分计算以及概率统计中。通过灵活运用它们可以简化我们的运算和证明。

关键词伽玛函数 贝塔函数 定积分 广义积分

中图分类号:O174文献标识码:A

1 引言

在高等数学及概率统计中,经常会看到伽玛函数和贝塔函数这两个熟悉的名字,但是关于这两个函数性质及详细的应用却很少提及,然而这两个函数在积分运算中经常起到意想不到的简便效果。虽也有一些文献讨论它们在积分运算和概率统计中的应用,但是篇幅太少,并没有详细的介绍。本文将对这两个函数在积分运算以及概率统计中的应用给出详细的介绍并推导出一些有用的结论。

首先我们给出这两个函数的定义:

定义1:称函数(a)=xa-1e-1dx为伽玛函数,其中参数a>0称函数B(a,b)=xa-1(1-x)b-1dx为贝塔函数,其中参数a>0,b>0这两个函数是欧拉提出的,因此又常称为欧拉积分。

引理1.1 伽玛函数具有如下性质:

(1)(n+1)=n!(n∈N) ;(2)(a+1)=a(a);(3)(1/2)=;(4)(a)=x-1e-xdx;(5)(a)=x-1(-lnx)-1。证明:关于前三个结论的证明参见文献[1]。下面我们证明结论(4)(a)= x-1e-xdx=-1y-1e-ydy(这里换元:y=x)=y-1e-ydy=x-1e-xdx(这里应用积分与积分变量无关的性质,最后我们证明性质(5)(a)=xa-1e-xdx=(-lnz)a-1z(-)dz (这里换元:y=e-) =-1z(-lnz)-1dz = x-1(-lnx)-1dx(这里应用积分与积分变量无关的性质)。

引理1.2贝塔函数具有如下性质:

(1)B(a,b)=B(b,a);(2)贝塔函数与伽玛函数的关系:B(a,b)=;(3)B(a,1-a)=(a>0)。通过借用这两个积分,可以经常简化我们的积分运算。

2 在定积分中的应用

2.1 在定积分计算中的应用

例 1 计算定积分(1-x2)ndx,其中n∈N

解 设t=x2,dx=t-dt有: (1-x2)ndx=2(1-x2)ndx(因(1-x2)n为偶函数)

例2对正数a,b有:

证明令t=sinx,则x=arcsint,dx=dt则

2.2 在利用定积分求平面图形的面积中的应用

例3 求曲线所围成的平面图形的面积

解:由于区域边界曲线的对称性质,区域面积:

注:上面第二个等号应用了例2的结论。

例4求麦克劳林正弦螺线Pn=ancos(n)所围成的平面图形的面积。

解:该曲线每一支所界定的区域面积是

注:第二个等号应用换元:t=n;第三个等号应用例2结论。

3 在广义积分中的应用

例5 计算广义积分dx(其中b>a)

解:令x=a+(b-a),0<≤1,

例6计算积分I=xn-1lnmxdx,其中m为自然数

解令t = lnx,则x = e-t,dx = -e-tdt,那么

4 在概率统计中的应用

引理4.1若随机变量服从正态分布,则:

(1)随机变量的k阶中心矩;

(2)数学期望EX=; (3)方差Var(X)=2

证明 首先计算随机变量的k阶中心矩

做变量代换 = t有:当k是奇数时,因为被积函数是奇函数,所以积分等于0,这时我们得到:k(X)=0,k=1,3,5…当k是偶函数时,因为被积函数是偶函数,所以有:做变量代换t2=2,得k=2,4,6…特别的:k=1时, 有1(X)=E(X-)=0,从而数学期望EX=当K=2时,得到方差Var(X)=2(X)=(2-1)!!2=2

引理4.2设随机变量X服从拉普拉斯分布分布,

若其密度函数为:f(x)=e-|x|,-∞

则;数学期望EX=0;Var(X)=2

证明注意到,当k是奇数时,因为被积函数是奇函数,所以积分等于0,这时我们得到:EXk=0,k=1,3,5…当k是偶函数时,因为被积函数是偶函数,且广义积分xke-|x|dx绝对收敛,所以有:

k=2,4,6…

引理4.3设随机变量X服从参数为的麦克斯韦(Maxwell)分布,若其概率密度函数为:

其中>0为常数则数学期望 EX=

证明

做变量代换=t得

引理4.4 设随机变量 X服从参数为>0 ,>0的伽玛分布Gamma(,):

证明:

特别的,当k=1时,我们有数学期望:

注:(1)当=1时,随机变量X服从参数为的指数分布E(),其数学期望为:EX=,方差为:Var(X),矩:EXk=

(2)当=,=时,随机变量X服从自由度为n的卡方分布2(n)。而一般的概率统计教材通常采用如下的定义:若随机变量X1,…,Xn相互独立,都服从正态分布N(0,1),则Y=X12+…+Xn2服从自由度为n的卡方分布2(n)有了上面我们的结论,我们不但可以知道卡方分布2(n)的密度函数:

而且,可以知道它的数学期望EX=n;方差:Var(X)=2n

引理4.5设随机变量X1,…,Xn独立同分布,同服从参数为和2的正态分布N(,2),

试证明:S不是的无偏估计。

证明:我们知道随机变量Y=服从自由度为n的卡方分布2(n-1),而由引理1.6的注中我们知道:

2(n-1)=Gamma(,)故

上式最后一个等号应用了引理1.2的4)。从而

故结论得证。

参考文献

[1]胡淑荣.函数及应用[J].哈尔滨师范大学学报,2002.18(4):12~15

[2]成龙生.函数及一类积分公式在概率统计中的应用[J].南京理工大学学报,2003(27):84~89

[3]谭琳.函数札记[M].杭州:浙江大学出版社,1999.

[4]盛骤,谢式千,等. 概率论与数理统计(第2版) [M].北京:高等教育出版社,1989.

[5]胡春华.利用函数求积分[J].高等数学研究,2005.8(4):31~32.

[6]沈恒范.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2003.

[7]肖筱南编.新编概率论与数理统计[M].北京:北京大学出版社,2002.

[8]王松桂,程维虎,高旅端编.概率论与数理统[M].北京:科学出版社,2003.

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