一类离散型随机变量的期望与方差的简单解法

摘 要 在计算离散型随机变量的期望与方差的过程中，使用定义计算往往比较困难，本文介绍了两种简单方法：将随机变量进行分解、利用离散型随机变量分布律的性质。这两种方法大大简化了计算，对随机变量的期望与方差的学习具有一定的启发和价值。

关键词 数学期望 方差 离散型随机变量 概率分布

中图分类号：O211.5 文献标识码：A

A Simple Way of Computing the Mathematical Expectation

and Variance of Discrete Random Variables

ZHAO Lei

（The College of Post and Telecommunication of WIT， Wuhan， Hubei 430074）

Abstract It"s usually difficult to compute the mathematical expectation and variance of discrete random variables by definition. This paper proposes two simple methods as resolving the random variable and using the probability distribution of discrete random variable. Results show that the two methods can simplify calculations， which have great enlightening significance and reference value to study of the mathematical expectation and variance of discrete random variables.

Key words mathematical expectation； variance； discrete random variables； probability distributions

数学期望体现了随机变量取值的平均水平，而方差则是随机变量取值的离散程度的一种度量，数学期望和方差是随机变量的两个重要的数字特征。对于离散型随机变量，我们往往通过定义，先求出它的分布律（ = ） = ， = 1，2，…，再计算（）及（），则方差（） = （）[（）]2。但有些时候，使用定义计算比较困难，因此，掌握求数学期望与方差的技巧及一些简化方法是非常重要的。本文提出了两种计算离散型随机变量的期望与方差的简单方法：将随机变量进行分解、利用离散型随机变量分布律的性质。下面结合具体问题，介绍这两种方法的使用过程。

1 将随机变量进行分解

通过将随机变量进行分解，将它拆分成若干个随机变量的和，可以达到简化计算的目的。

例1①② 设随机变量服从二项分布 （），求（）、（）。

解法一： （），则的分布律为 = （ = ） = ， = 0，1，2，…，则

（） = = ， （） = = + ，则方差（） = （）[（）]2 =

从以上解法中可以看出，计算量是比较大的，有些学生可能算不出来。如果我们考虑将随机变量进行分解，则可以使计算过程大大简化。

解法二： （），设事件发生的概率为，（） = ，则就可以看作重伯努利实验中事件发生的次数。

令

则 = ，且，…，相互独立同分布，的概率分布为（ = 1） = ，（ = 0） = 1，故（） = ，（） = ， = 1，2，…。因为，…，相互独立，故（） = （） = （） = （） = （） = （） = 。

显然，解法二将随机变量分解成个随机变量的和，使得计算过程简便易算。

2 利用离散型随机变量分布律的性质

某些情况下，已知离散型随机变量的概率分布，可以构造随机变量，赋予其实际意义，再利用分布律的性质， = 1，推导出一系列求和公式，在计算过程中，达到简化的目的。

例2③ 已知随机变量的分布律是（ = ） = ， = ，，…求随机变量的数学期望和方差。

解：按照离散型随机变量期望的计算公式

（） = ·（ = ） = ·，

（） = ·（ = ） = ·，

（） = （）[（）]2

容易发现，直接求（）和（）是比较困难的，如果我们考察随机变量的实际意义，并利用分布律的性质来求级数（）和（），则将简化计算。

2.1 构造随机变量，推导出求和公式

在伯努利实验中，事件成功的概率是，得到次成功所需要的试验次数用随机变量来表示，则刚好有

（ = ） = ， = ，，…

于是 = 1 （1）

更一般地，得到 +1次成功所需要的试验次数用随机变量表示，则有（ = + 1） = ， = ，，… 那么

= 1 （2）

得到 +2次成功所需要的试验次数用随机变量表示，则有（ = + 2） = · = ， = ，，…

则 = 1 （3）

2.2 利用求和公式进行随机变量的期望与方差的简化计算

按照数学期望的计算公式：

（） = ·（ = ） = ·

= =

= =

利用（2）式，得到（） = ，考虑到（）直接求解比较困难，我们先计算（（ + 1））

（（ + 1）） = ·（ + 1）·（ = ）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

=

根据（3）式，可以得到

（（ + 1）） = （） + （） = 故方差（）= （）[（）]2 = =

3 结论

以上我们提出了求解离散型随机变量数字特征的两种简单方法，其思想新颖、巧妙，在求解过程中大大简化计算，对随机变量的期望与方差的学习具有一定的启发和价值。 这两种方法的思想不同，都建立在对随机变量的深刻认识的基础之上，特别是利用离散型随机变量分布律的性质，它是概率论与高等数学（级数）相结合的一种实践，可以用这种思想来求解更多类似问题。

注释

① 叶鹰，李萍，刘小茂.概率论与数理统计[M].武汉：华中科技大学出版社，2004：84-99.

② 韩明，罗明安，林孔容.概率论与数理统计[M].上海：同济大学出版社，2010：70-83.

③ 熊德之，张志军，罗进.概率论与数理统计及其应用[M].北京：科学出版社，2009：69-92.

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