捕捉条件信息,巧妙构造解题
时间:2022-04-06 08:14:33 浏览次数:次
有些数学问题,从常规的方法入手,往往比较烦琐,但若注意捕捉题目中的各种信息,构造一个数列、一个方程、一个函数或一个复数等,便可打破常规、另辟蹊径、弃繁就简,获得简捷、明快、精巧的解答。
一、构造特例,简化解题过程
因为一般性存在于所有特殊性之中,所以一般性问题可采用特例来处理,变抽象为具体,而且方法简单。
例1 已知a是公差不为零的等差数列,如果Sn是数列a的前n项的和,求。
分析:构造一个特殊数列进行计算,设等差数列为1,2,3,…,n,…,则
an=n,sn=。
所以====2。
例2 设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于( )
A.直线y=0对称B.直线x=0对称
C.直线y=1对称D.直线x=1对称
分析:构造一个特殊函数y=x2,显然y=f(x-1)=(x-1)2与y=f(1-x)=(1-x)2的图像关于直线x=1对称,故选(D)。
二、构造反例,轻松解题
我们知道,要肯定一个命题的正确性,仅靠举例是不行的,但要否定一个命题的正确性,只要举一个反例即可,可见反例作用之大。
例3 ∠A>∠B是sinA>sinB成立的什么条件?
分析:原命题,如果∠A>∠B,那么sinA>sinB这个命题显然不正确。以反例为证,如150°>60°,而sin150°
所以∠A>∠B即非sinA>sinB的充分条件又非必要条件。
三、观察题目结构特征,构造“定积”(“定和”)、对偶式、复数及三角形
例4 已知a,b∈(0,1),求证:
+++≥2。
分析:由题目中的根式联系复数的模,构造复数z1=a+bi,z2=a+(1-b)i,z3=(1-a)+bi,z4=(1-a)+(1-b)i,由模的性质得
左边=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|=|2+2i|=2
例5 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。
分析:联想到余弦定理的右边结构与所求式子结构相仿,构造三角形ABC求解。设∠A=120°,∠B=20°,∠C=40°,由正弦定理a=2Rsin120°,b=2Rsin20°,c=2Rsin40°,R是△ABC的外接圆半径,代入余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,化简得sin2120°=sin220°+sin240°+sin20°ain40°,所以sin220°+cos250°+sin20°cos50°=。
四、把握条件特征,构造方程解题
例6 已知+-1=0,b4+b2-1=0且ab2≠1(a,b∈R),求的值。
分析:通常解法是从两等式中求出a和b的值,再代入所求式求值,这样做运算烦琐,容易出错。细心观察条件等式的结构,则可构造方程x2+x-1=0。知,b2是方程的两个实根,由韦达定理得:+b=-1·b=-1易知<0,所以-b2<0。
例7 实数x,y满足x≥1,y≥1以及(logax)2+(logay)2=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0,a≠1),当a在(0,+∞)范围内变化时,求loga(xy)的取值范围。
分析:由条件得(logax)2+(logay)2=2logax+2logay+2,构造方程u2+v2=2u+2v+2,即(u-1)2+(v-1)2=4。
设u=logax≥0,v=logay≥0,又设u=1+2cosθv=1+2sinθ 得cosθ≥-1/2sinθ≥-1/2
所以k=loga(xy)=logax+logay=u+v=2+2sin(θ+)。当sin(θ+)=1时,kmax=2+2;当sinθ=-时,kmin=1+ ,故loga(xy)的取值范围是[1+,2+2]。
至此,我们看到用构造法处理数学问题时,“构造物”的表现形式可以多种多样,除上面所列各条目外,还常用到构造向量、几何图形、不等式、解几模型、辅助命题等。应用构造法解题,对于解题的进展、突破确实起着举足轻重的作用。但我们必须明白,“构造物”的选取需要开阔、敏捷的思维,来挖掘题设条件和所求的内涵特征,大胆地猜想解题思路。这一切都源于对数学“三基”的深刻理解和熟练驾驭,源于勤奋、刻苦,源于平时积累的丰富的数学经验,这样解题时才能做到不蹈常规,独具匠心。
(盐城纺织职业技术学院)
推荐访问: 解题 构造 巧妙 捕捉 条件[捕捉条件信息,巧妙构造解题]相关文章
- 地理选择题错因例析及解题建议
- 条件概率的定义及其在解题与案例分析中的应用
- 科学思想方法在“功能关系”解题中的应用
- 新课程下化归思想在解题中研究的反思
- 物体系平衡问题的解题技巧及注意事项
- 探索解题规律,规范答题要领
- 排列组合综合题的解题原则
- 物理解题基本方法之电路分析
- 提高学生解题能力的学术研讨
- 重视解题后的反思,提高数学课堂教学效果
- 巧用构造法计算特殊定积分
- 建筑构造课程理论与实践教学整合方法研究
- 巧妙避免IE记录网址
- 巧妙提问,激趣促思
- 最巧妙的仿生设计
- 试论在竞争条件下实现团队协作
- 论网络条件下的高校思想政治教育
- 1273K条件下铈铁砷的交互作用研究
- 突发事件条件下的铁路行车组织研究
- 基于操作条件反射的自主学习型智能系统
- 2023内退条件最新规定3篇(范例推荐)
- 上一篇:对数学课堂教学一般性设问的思考
- 下一篇:浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用