新课程下化归思想在解题中研究的反思

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法[1]”.而化归是解决数学问题常用的思想方法，它是许多其它数学思想方法的基础，所以数学教育家们常常把它称为数学中最基本的思想方法之一.化归的思路是“在解决数学问题的时候将这个问题通过一定的方式转变为另外的问题，通过对另外一个问题的求解来得到原问题的解答[2]”.它能够将一个原本困难的或复杂的数学问题转化成一个简单的或便于操作的数学问题，实现数学问题解决中的化难为易，化繁为简，有利于提高学生解决数学问题的能力.综上所述，笔者认为有必要对新课改十年来化归思想在解题中的研究进行反思，总结经验，思考不足，提升化归思想研究的水平.

关于化归思想方法的研究文献资料较多，本研究使用的文献源基本为中国知网期刊全文数据库.

1 国内化归思想在解题中的应用的研究

国内近些年来很多工作在一线的教师、学者和专家对化归思想在数学解题中的应用进行了研究，取得了一些成果.其研究大致可分为以下3类：化归思想在数学解题中的应用、应用在解题的化归思想的分类、运用化归思想解题的原则和策略.

1.1 化归思想在数学解题中的应用研究

由于小学生的思维以具体形象思维为主，所以小学数学化归思想的研究集中在学生的计算技巧与几何形状的变换.例如：有的学者提出“在小学阶段，对于新图形的认识，最好的办法就是将它转化为已经学过的图形[3]”.在初中阶段，学生的数学思维开始向逻辑思维发展，虽然“这时期还是以学生的实践经验为基础，倾向于经验型逻辑思维[4]”；而到了高中阶段，数学思维逐渐向理论型逻辑思维和辩证逻辑思维发展.所以，整个中学阶段化归思想研究的深度与广度都要强于小学阶段.有的学者对中考数学试题进行研究，提出了初中数学解题转化的新路径：“把问题元素转化到新图形中解决；把原问题转化为新定义型问题解决；把问题元素转化到全等图形中解决；把问题元素适当作二次转化解决[5]”还有的学者经过中学数学教学实验得出“化归的关键是夯实基础知识[6]”.大学阶段，学者们则从高等数学及专业数学课程的角度出发研究化归思想对大学数学学习的影响.有学者[7]阐述了在微分方程教学中渗透化归思想的价值，探究了在解具体的微分方程时如何使用化归方法及其意义，以及大学数学专业课的教学中进行化归思想方法渗透的心得与体会，提出在实际教学过程中教师应不断反思化归教学的路径.有工作在一线的大学数学教师[8]就极限、微分学以及积分学三个方面的问题讨论了化归思想在数学分析解题中的广泛应用.

1.2 应用在解题的化归思想分类研究

对在解题中的化归思想的分类，一类是根据题目的类型及特点进行分类，例如将其分为代数化归思想、几何化归思想和综合问题的化归思想等.有学者将其细化为“主客转化、方程与函数、对立转化、局部与整体、动静转化[9]”.另外一种分类方式是根据化归思想的本质及特点进行分类：任爽[10]提出了中学数学解题的化归思想分为三种形式：化大为小、化繁为简；等价转化思想；不等价的转化思想.陈欣龙[11]指出数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归：数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化——以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.

1.3 运用化归思想解题的原则和策略研究

首先，根据学生成长的特点与思维发展的阶段性特征，不同的学者针对不同年龄阶段的学生提出了不同的化归思想解题的原则与策略.沈涛[12]根据小学数学教育的特点提出了化归思想的解题策略如下：1.模式识别，化生为熟；2.探寻规律，以退为进；3.数形结合，化难为易.董秋霞[13]则指出：转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，寻求简单方法从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略.常见有五条基本原则：1.熟悉化原则；2.简单化原则；3.和谐统一性原则；4.形象化原则；5.正难则反原则.其次，根据化归思想掌握的程度及其在实际教学中的影响因素，不同的学者也提出了不同的化归思想解题的原则与策略.吴艳丽[14]提出了关于化归思想掌握的三个阶段的策略.潜意识阶段的教学策略：1.使初中生明确学习化归思想方法的意义；2.引入数学史，渗透化归思想方法；3.鼓励学生进行观察和联想，培养化归思维的灵活性.明朗化阶段的教学策略：1.根据初中生特点、数学学科特点和教材内容设计化归思想方法的教学；2.通过具体案例的教学揭露化归的过程，采用螺旋深入的方法掌握化归思想方法；3.采用螺旋深入的方法掌握化归思想方法，精心设计练习，提高化归能力.深刻化阶段的教学策略：1.反思问题本质，指导学生整理化归过程，寻找关键所在；2.重视知识间的联系和综合，不断提高知识的结构化和网络化水平；3.通过专题讲座的形式深化对化归思想方法的认识.杨文华[15]根据实际教学总结了具体的化归原则（熟悉化原则、简单化原则、和谐化原则、直观化原则、标准化原则、低层次化原则、正难则反原则等）和化归策略（化陌生为熟悉、化困难为容易、化未知为已知、数与形的转化、特殊与一般的转化、高维与低维的转化、整体化方法、进与退的转化、反客为主等）.

2 化归思想在解题中应用研究的几点思考

综观化归思想在解题中的应用的研究，取得了不少的成果，但是有些不足之处也值得思考.

其一，研究的局限性.一方面是视野面较窄.比如，新课改强调“从注重教法转向注重学法”和学生的因材施教，而国内关于化归思想在解题中的应用的研究主要集中在如何教学和题型的分类上，而对学生如何更好的学习化归思想在解题中的应用缺乏必要的探讨，对不同地区和不同类型的学生导致的化归思想在解题中的应用的差异性需要研究；国内许多老师和学者缺乏国际视角，尤其是国外化归思想在解题中的应用的研究与我国的相关研究的联系和启示缺乏分析与探讨.另一方面是研究的问题的层面较低.研究者所关心的是化归思想应用在哪些类型的题目上或是学生学习哪些内容或做的哪些题目体现了化归思想，而对学生在运用化归思想解题的过程（尤其是心理过程）和化归思想在解题中的应用的理论上缺乏有效的研究和深入的探讨；同时需要结合心理学进行研究数学化归能力与注意力、逻辑思维能力、空间想象能力、创新意识、还有自信心、意志力等非智力因素有什么关系、有多大关系？最后，就是研究内容的局限性.比如，缺乏对化归思想在解题中的反思的研究和化归思想在数学解题中应该注意的问题；化归思想在解题中的研究，无论小学、中学还是大学都有老师对其进行深入探讨，但是其化归思想在小学、中学、大学三个学生学习的阶段的不同和其衔接的问题却鲜有人对其研究；数学的思想方法有很多，比如数形结合、构造、数学归纳、几何变换、数学模型、极限等等，但是纵观所查阅的文献，当前国内的研究人员鲜有对多种思想方法在解题中相互之间的关系进行分析与研究.众所周知，在中学阶段，尤其是高年级，数学的许多题目都是综合性很强的，运用多种思想方法才能解决，所以对这个问题的研究有很强的现实意义[16].

其二，概念界定混乱.化归思想方法在不同的文章和专著中表述不统一，主要出现了以下几种：“化归思想”“转化与化归”“转化的思想”“化归方法”等.通过查阅相关的文献，少数人认为化归是一种方法，一部分人认为化归是一种思想，大部分人认为应该把化归当作一种思想方法.笔者认为，化归应更侧重于思想方面，即使是方法，也属于抽象度非常高的一种方法.不仅如此，化归还是一般的科学思维方法，小学时期学生形成了化归意识，就为形成良好的数学思维方法打下了基础.关于化归思想在原则上的研究大家基本得到了共识，基本原则如下：1.熟悉化原则；2.简单化原则；3.和谐统一性原则；4.形象化原则；5.正难则反原则.但是关于化归思想在解题中的策略缺乏有效的整合与归类，这是值得研究者深思的.

其三，研究方法单一.第一，很多教师根据自己多年的教学经验总结出了化归思想在教学中解题的题型、方法、策略等，缺乏有效的定量研究和思辨色彩，理论性不强.笔者认为对任何一个问题的研究都应该基于大量的资料上，一类是实验性资料，另一类是非实验性资料.我们对化归思想在数学解题中的研究应该综合以上两类资料，做出定量和定性的分析、判断.第二，现代信息技术的发展对各种研究化归思想在解题的研究所起的作用起到了深刻的影响，而纵观这几十篇相关的文献，发现很多作者缺乏运用相关的现代信息技术对课题进行分析与论证[17].例如；我们可以用计算机的SPSS程序来分析化归思想与解题的相关性分析及因素分析.

其四，研究者比较单一.国内专业研究“化归思想方法”这一问题的学者较少，专著也不是很多.很多书中对化归思想方法只是以一章的篇幅作以概括性的论述.研究者主要以一线教师为主，虽然一线教师对此问题论述较多，但都缺乏从理论上去认识这个问题，更多的是经验之谈.而且大多是以“化归的定义”加“例题”的模式展开，实为解题方法的介绍，缺乏系统性的研究.

其五，对化归思想方法在解题中作用的认识不全面.几乎所有文章中提到化归思想在数学解题中的积极意义，而回避了化归思想方法的消极面这个问题.马艳[18]系统性地提到了这一问题.化归思想方法在科学研究中取得了巨大成功，但这种成功恰恰掩盖了以旧方法处理新事物的化归思想在方法上的局限性和在观念上的保守性.在研究中如何认识化归思想方法的这种保守与创新，在问题解决中如何处理“化不归”的现象等等问题值得进一步思考.另外，我们为什么要在教学中渗透化归思想呢？那是因为化归思想在学生的后续学习和个人思维的发展方面起到了巨大的作用，所以我们对化归思想在解题中的研究应该高于解题的境界，从学生个人思维的发展、数学素养的提高来研究化归思想在解题中的作用.最后，笔者还想谈一谈化归的局限性.首先，并不是所有的问题都可以通过化归而得到解决.例如，所说的“由难到易，由繁到简”的化归，显然就不可能永远无限的继续下去，即化归不可能永无止境.其次，尽管化归最终主要表现为一种解决问题的方法，但是，它的成功应用是以“数学发现”为前提，化归以“先知”为基础的.过多地强调化归，不利于数学的发展.哲学上告诉我们，任何事物的推广与发展都需要掌握一个“度”的问题.如果我们过多过重地强调化归，不利于学生思维的创新，当然数学在未来也就难以发展了.因此，就数学思想与方法论的研究而言，我们也就不能停留于化归的分析，而必须去从事新的研究.

正如有的学者[19]提出，未来的化归思想研究将更加科学与多样，注重实践研究，立足本土，放眼世界，理论思辨加实践研究的充分结合，将促进新课程改革背景下数学化归思想的研究向更加深入、更加专业、更加科学的方向发展.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

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[4] 傅海伦.数学教育发展概论[M].北京：科学出版社，2001.

[5] 邱海敏.例析化归思想在解题中的运用[J].中学数学月刊，2008（9）：35-37.

[6] 杨光.化归思想在中学数学教学中运用的实验研究[D].天津师范大学，2012.

[7] 张亚图，王贝.常微分方程教学中化归思想的渗透[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2006（4）：53-55.

[8] 林远华.化归思想在数学分析解题中的应用[J].河池师专学报（自然科学版），

2002（2）：20-23.

[9] 杜景昌.化归与类比思想方法巧解试题[J].中学生数理化，2007（11）：56-57.

[10] 任爽.中学数学中化归思想的研究[D].天津师范大学，2009.

[11] 陈欣龙.转化与化归思想在数学解题中的应用[J].数理化研究，2009（8）：50-51.

[12] 沈涛.化归思想及解题策略[J].四川教育学院学报，2003（8）：46-48.

[13] 董秋霞.转化与化归思想的五个原则[J].语数外，2011（11）：34-37.

[14] 吴艳丽.初中数学化归思想方法的教学策略研究[D].天津师范大学，2009.

[15] 杨文华.化归思想方法在高中数学教学中的渗透[D].华中师范大学，2012.

[16] 于洋.新课程下“数列概念”的教材比较研究[J].中学数学杂志，2014（11）：10-14.

[17] 于洋.数学直觉思维三十年研究的反思[J].中学数学教学参考（下旬），2015（1-2）：170-172.

[18] 马艳.中学数学教学中化归思想方法的应用研究[D].西北师范大学，2009.

[19] 于洋，傅海伦，陈梅.对数学高考研究的再认识[J].教学与管理，2015（10）：77-79.

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