改进课堂教学　提高教学质量

摘 要：《离散数学》的教学应既注重基础知识的传授，又重视学生能力的培养。要增强教学的趣味性、思想性、激发学生的教学热情。

关键词：离散数学；教学；知识；能力

随着计算机科学和信息科学的高速发展，许多数学内容，甚至有些是很古典的数学内容获得了新的生命和新的自身价值。

离散数学作为有利的数学工具，对计算机的发展、计算机科学的研究起着重大的作用。包括数据结构、自动机理论、可计算性理论，人工智能、形式语言及语法分析、开关理论、信息管理与检索、高级程序设计语言等许多分支领域的各种理论问题，离散数学的作用越来越大。计算机科学中普遍的采用离散数学中的一些基础概念、基本思想、基本方法，使得计算机科学越趋完善与成熟。离散数学是了解和学习计算机科学、掌握和研究计算机科学的必需的理论基础，在现代计算机科学中，如果不了解离散数学的基本内容，简直是寸步难行。

离散数学是数学中的一个分支，他以离散量作为其主要研究对象，故一切以离散现象作为其研究对象或作为其研究对象之一的数学均可属于离散数学。他们包括代数结构、关系代数、数理逻辑、图论、自动机理论、组合数学、数论、离散概率的诸多方面。由于教材中一定深度的数学理论与学生残缺不全的知识基础之间的差距，以及庞杂的教学内容与有限的教学时数之间的多种矛盾，使得这门课的教学任务尤为艰巨，在担任这门课的几年教学工作中，笔者作了一些尝试和努力，取得了一定的效果。

1.重视基础知识教学和基本功训练，提高学生的数学素质

按照《离散数学》课程中不同章节和论题的不同研究方法和特色，采用相应的教学方法，使学生掌握各部分的基本概念、基本理论和基本方法是这门课程教学的基本目的。提高学生的数学素质，培养学生分析问题和解决问题的能力，则是贯穿全课程教学活动最根本的目的。在本课程中学生的能力是否得到训练和提高，将直接影响到今后能否运用本课程理论知识去解决后继课程中的实际问题。

在教学中发现，非数学专业的学生认为数学概念抽象、定理繁多、枯燥无味，因而学起来劲头不大，往往是不求甚解，满足于一知半解。对于比较浅显得题目要么糊弄应付，要么干脆不做；对于稍难的题目要么束手无策，要么乱写一气，盲目性很大。任何一门科学都是由浅入深的，学习数学知识也必须循序渐进。针对这一情况，在授课和讲评作业时，对一些最基本的概念和方法，采取了反复强调、演示证明等强化训练的手段。如多次板演集合恒等证明中常用的双向包含证法；阐述数学种推理证明命题成立和举反例说明命题不成立两类不同推断的区别；通过有关代数系统的习题讲评，归纳证题过程中首先分析已知条件、明确求证目标然后探索证题步骤的基本方法等等。这些看似简单的机械方法，却是学生掌握最基本证题方法的第一步。

2.注重知识的渗透，传授学生离而不散的知识结构

通过对数学内容的全面分析，在明确各章节的重点难点及其特色的基础上，用进一步研究了各个章节之间的联系，列出具有共同性和相互渗透性的内容，在授课时，前后呼应，力求使学生形成一种离而不散的知识结构。

如集合论部分是这个课程的基础，用集合来描述概念的思想方法可渗透到各个章节中。关系是笛卡尔积的子集，映射是特殊的二元关系。各种代数系统都是具有某些运算的非空集合，子代数则是保留运算及其性质的子集；图是由边集和子集所构成，各种子图都是其子集；集合代数和逻辑代数属于同构的布尔代数。掌握了集合的基本运算规律，也就掌握了命题逻辑的基本等价式和基本蕴含式。

类似这种相互渗透的内容还有许多，有限的关系可用矩阵和图来表示；命题的逻辑结果和蕴含只是着眼点不同的同一概念；同态和同构是保持运算的不同映射等。在教学中及时渗透这些知识和观点，不仅可以使学生灵活的理解掌握教学内容，同时可使学生融会贯通，领悟数学内在的统一性，形成离而不散的知识结构。

3.趣味性数学，调动学生的学习积极性

在本课程的教学实践中，针对学生学习积极性不高的状况，为激发学生的学习热情，采取了一些趣味性教学方法。由于离散数学的研究对象及方法与普通数学有较大差异，不少初学者感到困难，这一方面是由于历来学习普通数学所养成的固定的一套观念和思维方法“束缚”，另一方面是由于许多离散量问题的广泛性与深邃性和方法的巧妙与无规律性所致。为了使学生更多的了解这门课的实质和思维方式，教学中穿插一些有趣味的、典型的或具有历史渊源的问题的分析、解答，引导学生漫游这奥妙的数学世界，开启新观念，体会灵感、思维之美。

比如，在讲解完集合论部分，讲这样一个故事让大家讨论：在一个小镇上，有一个理发师公开宣布，他给而且只给小镇上所有不给自己理发的人理发。现在要问：这位理发师的头由谁来理？大家就议论，如果理发师的头由别人给他理，即理发师自己不给自己理发，那么按规定这位理发师的头应由自己理。如果理发师的头由他自己理，按规定他只给那些不给自己理发的人理发，那么理发师的头不能由他自己理，即理发师的头应该由别人给他理。这就产生了矛盾：理发师的头既不能由别人理，也不能由他自己理，这位理发师的规定是一个悖论。

这是罗素悖论的通俗表示通过“理发师的头由谁来理”这个故事，引出罗素悖论，不但开阔了大家的视野、传授了知识，又活跃了课堂气氛，极大的激发了学生的学习热情。

讲到数论部分，给大家穿插“费马大定理”的故事，讲到图论部分中的邮路问题、一笔画问题，用历史上有名的数学难题“哥尼斯堡七桥问题”引入，这是一个典型的用抽象思维解决实际问题的例子；还有“四色问题”的证明等，让学生在轻松的氛围中接受一些有名的数学问题，这些问题许多都是课本外的知识，需要耗费较多的时间和精力去准备，但却提高了学生兴趣、调动了学生学习的积极性，在不知不觉中提高了学生的数学素质。

总之，在离散数学教学过程中，培养学生的学习兴趣，教师是关键。教师应悉心钻研，认真备课，从学生的实际出发，运用适合学生特点的教学方法，多渠道的调动学生学习的积极性、使学生通过努力较好的掌握所学内容，获得成功的喜悦。学生才能对数学产生浓厚的兴趣，变被动学习为主动学习，提高教学效果。

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