“韩信点兵”问题的一种新解法探索

摘 要：通过研究韩信点兵问题得到关于中国剩余问题的一般解法，加深了对数论中一次同余式的认识，有助于中学生解决数学竞赛问题以及学习算法。

关键词：剩余问题 同余 解法

中图分类号：O141.2 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）06（b）-0255-02

Abstract：Now by studying the question of”Han Xin Calculate the Sum Total of Soldiers”，we can get the general solution of the Chinese surplus theorem and the new method has deepened our knowledge of congruences in member theory， It also helps high school students to slove the problems about math competition and learning algorithm.

Keywords：Chinese Surplus Theorem； Congruence；Solution

已知某个正整数分别被一些小于该数的正整数除所得的余数求原数，这就是我国从古至今流传很广的“余数问题”[1]或中国剩余问题。它是一类同余问题。这类问题在古代有不少有趣味的名称，“韩信点兵”也是其中之一[2]。“一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来……，韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。”[3]。这种解法也可以应用于其它类似的问题，如《孙子算经》中的物不知数问题[4]。这类问题和解法，一般也称它为孙子定理，外国人称其为“中国剩余定理”。剩余是数论中的重要概念，剩余类与剩余系及其性质是一种解决数论问题的重要工具[5]。中国剩余问题不但是中国古代数学中的著名问题，也是现在中学数学竞赛中一个重要内容。对其解法的一般性研究，不但加深对数论中一次同余方程组的认识，也便于高中生学习算法、编写程序以及利用研究中提出的定理来解决一些竞赛数学上的问题。

参考文献

[1]彭月英.求解“韩信点兵”问题的算法研究[J].广西师范学院学报，1997，14（2）：43-48.

[2]张兴华.由“韩信点兵”引发的思考[J].数学教育研究，2008（3）：17.

[3]奚建萍.“韩信点兵”之疑[J].数学之友，2010（20）：65.

[4]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2005：89-90

[5]邹明.剩余类与剩余系在竞赛中的应用[J].中等数学，2011（10）：6-10.

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