成人高等教育《近世代数》课程中蕴含的数学美

摘要：本文从近世代数中的几个重要系统出发，以近世代数的建立与扩展、系统建构的逻辑基础为切入口，探讨《近世代数》课程中所蕴含的代数结构的简单美、代数理论的结构美和现实美、代数系统的和谐美、近世代数的抽象美和自由美等，从而揭示《近世代数》的臻美取向与人文底蕴。

关键词：近世代数数学美和谐美

.

近世代数是以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科，它不仅是现代数学的重要基础，也是许多其他现代科学的基础，已成为数学专业成人高等教育学生的重要专业必修课程之一。近世代数中的等价、划分、同态、同构等思想方法，不仅是最重要的数学方法之一，而且也是观察和研究自然和社会的普遍采用的方法。随着科技的不断发展与实际应用的需要，近世代数的基本理论与基本思想逐渐渗透到编码与信息安全等领域。本文将以近世代数中几个重要而又典型的代数系统为切入点，探讨近世代数中蕴涵的数学美，从而揭示其臻美取向和人文底蕴。

一、代数结构的简单美

在最基本的逻辑层次——集合和映射基础上抽象而成的各大代数系统，由于其抽象出的概念不再是客观事物原本的形象，从抽象概念逐级演绎出的推理论证的方法，排除了自由、价值、人文等生活中的终极意义的信念，完全置身于抽象的世界之中。要还原抽象系统的物理及其本质属性，需要利用多种方法对其本身结构加以认识，找出系统间的结构关系，实现系统的同构、同态等等。下面仅通过同构进行研究和分析上面所提到的代数系统。

同构也称同构映射，是现代数学一个很重要的基本概念。同构关系是一种等价关系，等价的两个代数系统具有完全相同的代数性质和数学构造，在代数性质上可以视为同等的。继群之后逐步建立的其他代数系统结构研究，常常也会使用同构和同态等工具。比如，向量空间的扩展就是模。又如，对于很多域的研究可以转化为本身的同构群，进而使研究变得更清晰易懂。竭力找出系统间的结构关系，实现同构、同态等意义下的简单形态，这是研究代数系统的方法论准则。

二、代数理论的结构美

无论系统结构在深度和广度上如何扩展，系统最基本的属性就是集合，而由代数运算和公理条件所限定的结构，将本来彼此独立的各元素密切的联系起来，使得元素之间有了远近关系、大小之分及运算，使得系统有了架构。因此，代数系统的逻辑起点是一致的，集合和映射以及必要的公理条件是所有系统都具备的要素。不同的系统有着统一的逻辑起点，统一的系统又会有差异，差异中有统一、统一中又存在差异，这正是近世代数建构美的本质所在。代数系统的建立都是希望用统一的、抽象的方法来整体考察，并不去考虑独立的元素。近世代数建立的理性美体现在：逻辑一致、统一协调、整体把握。

.我们认识近世代数建立与扩展中逻辑基础的简单一致，以及为了研究系统之间的结构关系，实现同态、同构等意义下的简单形态的理性思维，就是从共性上把握对象间的本质，品味数学表达与分析中的质朴、和谐、涵盖美的数学内在美，体验数学的联系带来的深刻美学价值。.

三、代数理论的现实美

数学和其他任何学科都面临着同一个问题：它能派在什么用场？就是说它的实实际意义或价值是什么。数学能发展到高度抽象的近现代数学时期，使得逻辑抽象实现的纯数学领域更渴望找到其本身存在的直接或间接的实际意义，尽管数学家纯粹的思维实现的只是数学体系内部逻辑发展的必然性，这样必然走向理论先行的、超验的道路上，而现代物理学在寻求本身发展的同时找到了其必需的工具——数学，意外的为数学找到了存在的意义，回归了价值美。

比如，群论的产生最初是在探讨高次方程的求解时，发现了方程的根的对称性和平等性是解决全部问题的关键。随着科学的发展，近世代数的研究成果和方法已逐步被应用到工程技术中，如代数编码学、语言代数学、代数自动化理论等领域，并对组合数学的突起和发展产生了重要影响。

四、代数系统的和谐美

数学美之根源在于统一和和谐统一性，源于对事物的本质认识和科学抽象，如在解决五次或者五次以上代数方程的根式解问题时，阿贝尔和伽罗华引入了置换群的理论之后，人们慢慢发现，对于这一理论中大多数的本质问题来说，用以构成群的特殊材料——置换并不是最主要的，重要的只是在于对任意集合里所规定的代数性质的研究，这样就把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去，把群的研究建立在公理化的基础上，使他的理论变得更加严谨和清晰。这种和谐统一将特殊问题化为一般讨论，是科学抽象的典型应用。

在近世代数中，除了研究某种代数系统如群环域等自身的内部结构之外，考虑代数系统间的联系也是具有重大的意义，这种联系往往以某种代数系统在另一种代数系统上的作用来实现。譬如模就是具有环作用的交换群。许多在表面上看来差异很大的代数系统，如交换群环理想线性空间，在模的语言下都统一了起来。

五、近世代数的抽象美和自由美

从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。从伽罗瓦和阿贝尔开创以来，近世代数以绝对抽象的代数系统的结构为研究中心，实体化的公理转变成了形式化的公理，数学的公理化方法所体现的理论简单性更加复杂了。近世代数中所处理的概念，比如，群、环、域、模等及其理论是抽象的，脱离了具体事物内容，它们当中都蕴含着抽象美和自由美。

总之，近世代数的教学是一个伴随着研究和创新的过程，它需要掌握一定的数学方法。在近世代数的教学中，通过挖掘其中所蕴涵的数学美和数学思想方法，有助于揭示数学知识的精神实质，可以让学生掌握近世代数的精髓，有利于培养学生的抽象思维能力和审美能力，有利于培养学生的综合素质和创新意识。

参考文献：

[1] 数学辞海（第二卷） [ Z]. 北京：中国科学技术出版社，2002.

[2] 张禾瑞. 近世代数基础 [M]. 北京：高等教育出版社，1985.

[3] M. 克莱茵. 数学与知识的探求 [M]. 刘志勇译. 上海：复旦大学出版社， 2005.

[4] 吴品三.近世代数[M].北京： 高等教育出版社， 1979： 61-63.

[5] 郭华光， 徐祥， 裴定一. 近世代数课程教学内容的改革与实践[J]. 广州大学学报（自然科学版）， 2003， （6） .

[6]王建功.《近世代数》课程远程教学改革与实践[J]. 陕西广播电视大学学报（ 综合版）， 2005， 7（ 4） ： 15-17.[FL）

推荐访问： 近世 代数 高等教育 蕴含 成人

---