研究数学公约、主题、计算、类比，第2版

“研究数学”这本书讨论数学家和数学物理学家的某些研究方法，以及他们所揭示和创新的题材内容。他们的习惯，他们界定的题材范围，他们对物理世界能够证明和计算的内容，以及他们发现和运用的模拟，所有这些都依赖数学。作者采用的案例包括统计学中的中心极限定理、代数和拓扑学之间的联系，以及关于物质稳定性的系列性的严格证明。

把铁磁性的二维伊辛模型（Ising model）的许多不同的解答当作一个总体来看就可以看出，它们是以下不同领域中一些理论解之间的比拟，即：Richard Dedekind在1880年发表的黎曼函数理论的代数化；数论中的Robert Langlands纲领（将数论和群论之间建立新的联系）；以及在一维量子力学和二维经典统计力学之间的比拟等等。实际上，我们开始看到了“一个流形多个剖面的同一性”，这是现象学家喜欢采用的语言。

本书深入讨论了一些特例；它描述了数学严格性的实际作用；它对于数学家怎么理解数学的哲学思维提出了建议；以及它表述了，一个“丑陋的”最早的证明或推导内含了基本的特性，仅当经过随后的多次证明，才阐明了这些本质。自然科学家和数学家之间把物理模型和抽象对象进行改造以适应他们的需要，从而发现新的规律，譬如最近的案例有，Painlevé超越函数、TracyWidom分布，以及Toeplitz行列式等。最后，数学已经为描述现实世界，如城市的结构，或上帝的无限，提供了模型和比拟，提供了常规的语言。

本书共分6章：1.引言；2.习惯（Convention）：均值和方差是如何按照统计学来确立的；3.题材内容（Subject）：拓扑学的领域；附录：铁磁性的二维伊辛模型（Ising model）；4.计算：应用经典分析方法中的战略、结构和策略；5.比拟：数学中的研究程序和物理中的研究程序之间的朔望（Syzygy）；6.具体化：数学的城市；附录：4篇有关Ising模型、原子的基态能量、太空拓扑等的参考资料。

作者Martin Krieger从教于美国加州大学（伯克莱）、明尼苏达州立大学、MIT和密执安大学（Ann Arbor）。他是行为科学高级研究中心（The Center for Advanced Study in the Behavioral Sciences）和国力人文科学中心（The National Humanities Center）的资深会员。

谈庆明，研究员

（中国科学院力学研究所）

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