数学美赏析

［摘要］在数学的发展中，数学的美学观曾对数学家的思想和数学理论的发展产生过重要影响，许多著名的数学家都对数学发表过有关美学方面的论述。爱美之心人人有之，数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。

［关键词］ 数学美 赏析 多角度

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在数学的发展中，数学的美学观曾对数学家的思想和数学理论的发展产生过重要影响，许多著名的数学家都对数学发表过有关美学方面的论述。爱美之心人人有之，数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来赏析数学美。

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一、数学的简洁美

我们所说的数学简洁美是指数学的表达形式和数学理论体系的结构简洁，不是指数学的内容本身简单（其实就数学内容本身来说相当复杂）。

多面体的欧拉公式：V-E+F=2，堪称“简洁美”的典范。世间的多面体有多少？相信没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。例如，数学上用“∫f(x)dx”这样一个简单的符号，就表达了积分概念的丰富的思想内涵。初等数学中，用y=ax²+bx+c就表示了抛物线运动的各种形式的一般规律。世界通行的阿拉伯数字符号0~9，仅运用这10个有限的符号就能记出无数多个数字；客观世界中四大基本数量关系可以用最简单的四个运算符号“＋，－，×，÷”表现出来。

数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希尔伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。

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二、数学的对称美

对称美是数学的一种表现形式，作为研究现实世界空间形式、数量关系及人们想象形式的数学，自然地表现出自然界和思维过程的对称，而这些都会通过数学符号准确地表现出来。几何图形的对称往往以点、线、面的对称。古希腊毕达格拉斯学派指出：一切平面图形中最美的是圆。任何一个圆都是以它的圆心为对称点的对称图形，同时又以任意一条直径为对称轴。圆是完美的，没有缺陷的。它既是轴对称图形又是中心对称图形。同一命题的充分条件和必要条件也渗透了一个完美命题的对称美。在数学中函数与反函数的图像关于直线y=x对称，多项式中虚根成对出现等等都表现出对称美。从数学变换的角度看，对称只不过是具有对称性的图形在对称变换下仍变为本身的一种特殊变换。如轴对称、中心对称、镜面对称等等，都会通过数学符号准确地表现出来。中国古代的杨辉三角对二项式展开的系数表示，同样也表现了数学的对称美。

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三、数学的统一美

法国著名数学家庞加莱认为，数学的美在于它的“雅致”，这种雅致实质表现的是数学的统一性，这种雅致是不同部分的和谐、均衡、统一，是最优化、对称、巧妙的协调。

例如给人以赏心悦目的黄金分割。所谓“黄金分割”，实际上是一个比例的问题，符合这样的比例，人们就看着顺眼、舒服。爱神雅典娜的雕像下身长与全身长之比是0.618。人体的自然美也遵循黄金分割，人的肚脐，是人的身长的黄金分割点，你如果用从头到肚脐的长度去除以人的身高，接近0.618,一般讲是比较好看的黄金身段。而膝盖又是人体肚脐以下部分的黄金分割点，这方面的例子很多。

统一性是数学结构美的一个重要组成部分，数学会把看起来不相干的概念、公理、定理、法则、公式等等统一到一起。例如在集合论还没有提出来之前，代数中的“运算”，几何中的“变换”，分析中的“函数”代表了数学领域中三个不同的概念，但是集合论问世之后，用“映射”的观念把他们的内涵都统一到一个更高的抽象层次。大数学家欧拉把指数函数与三角函数巧妙地统一到了一起：e^iθ=cos^θ+isin^θ,当θ=π时，有e^iθ+1=0。获得了“最美的数学定理”的称号。由此得到两个公式cos^θ=（e^iθ+e^-iθ）/2，sin^θ=（e^iθ-e^-iθ）／2更是让人惊叹“天作之合”。数论大师美国数学家赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：π／4=1-1／3+1／5-…，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出π，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。

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四、数学的奇异美

数学美的奇异性是指数学研究的形式、表述的结果，无法用任何现有理论给予解释。它表现了数学形式、数学结论的奇异，同样也表现了人们对数学成果所感到的奇异。

全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数ab/bc，不合理地把b约去得到a/c，结果却是对的？

经过一种简单计算，可以找到四个

分数：16/64,26/65,19/95,49/98。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。

当人们计算事物时，从来不会相信他计算过的数目中的一部分会和整体一样多，有这样的想法是荒唐的。但数学的结论却告诉你：全体正偶数与自然数的个数一样多，你可能会惊奇也觉得好笑，但当你读懂了这个数学理论的内容，当你明白了无限的理论，你就会由最初的惊奇而感到数学理性的奇异美，也许从此会引发你投身数学的冲动。

数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。

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