高维复杂系统的非线性动力学问题研究进展

摘要：随着社会经济和科学技术的发展，人们越来越重视非线性科学和技术，而非线性力学则是其中的一个重要方面。本文主要对于高维复杂系统的非线性动力学问题相关研究内容进行分析，对于提高相关工程技术应用具有一定帮助。

关键词：高维复杂系统，非线性动力学，振动问题

目前，非线性动力学已从以经典的摄动和渐近分析方法为基础对低维、弱非线性、弱耦合进行研究的阶段，进入到用近代的动力系统方法对高维、复杂系统开展深入研究的阶段[1]。根据上面所提及的对非线性的国内外研究现状和发展趋势，下面从三个方面展望非线性动力学在本世纪的动向，探讨一下在理论和应用研究中面临的一些新的重大问题。

1、高维非线性系统的组合振动和全局分析

几十年来，对单自由度简单振动和低维映射系统的非线性动力学的研究已取得一系列重要成果，研究的中心问题是分岔和混沌。人们通过对一些典型的非线性范例(例如Lorenz奇怪吸引子、Henon奇怪吸引子、Feigenbaum普适分岔序列、K崩环面和Arnold扩散等)的深入分析，发现了极其丰富的非线性现象，提出和发展了多种研究分岔和混沌的理论和方法，如奇异理论、Poincare—Birkhoff范式、Melnikov法和Shilnikov法、Smale马蹄理论KAM定理等，数值计算方法和模拟手段有了很大的提高，这些突破性的成就为2l世纪的非线性动力学蓬勃发展奠定了雄厚的基础，并对其它学科和工程技术领域产生了十分深刻的影响。

2、非线性随机振动系统力学

随机振动主要研究动力学系统在非确定性激励(包括外部激励和参数激励)作用下的相应特征。在建模过程中，各种非确定因素由随即变量或随即处理过程表示，系统的动力学特性可用概率密度函数或统计特征量描述。

随机振动系统研究是在上个世纪五十年代初根据航空航天工程的需要而发展起来的，早期分析方法是从通讯和控制理论移植过来的，频域法成为线性随机振动分析的主要手段。六十年代初非线性随机振动开始受到重视，扩散过程方法和随机微分方程方法相继引入随机振动分析。如今随机振动理论和方法已得到很大的发展，广泛应用于航空、航天、运输、能源、建筑等工程领域，成为可靠性设计的重要基础。

如今，在确定常参数线性系统的随机响应的频域法和时域法已经比较成熟。对于非线性或参数随机系统，扩散过程方法至今还是唯一可用来求精确解的方法。它归结为求解相应的FPK方程的问题。但是，只有对一些特殊的一阶非线性系统才能得到FPK方程的精确解，对高阶稳态FPK方程在某些特殊的限制条件下也有精确解，此外还有一些关于FPK方程的近似解法和数值解法。鉴于非线性随机系统和参激随机系统求精确解遇到的严重困难，人们发展了一些近似方法，其中最具代表性的是等效线性化法、统计线性化法、等效非线性系统法、随机平均法、矩法、泛级数法等。在处理多自由度非线性系统的随机响应和可靠性问题时，等效线化仍是最为简单可行的方法。非线性随机振动系统的另一个重要问题是稳定性。目前有关随机稳定性的定义很多，其中比较常用的是矩稳定性、平均稳定性、随机Lyapunov稳定性和几乎必然稳定性等。但是在实际应用中，不同的随机稳定性有时会得到不同的结论、其合理性需要商榷。随机分岔是指由参数的随机扰动引起系统的定性性质的变化，这是不同于确定性分岔和通常的混沌运动的一种复杂的非线性现象。目前随机分岔研究仍存在不同的思路，主要研究的是随机稳定性随扰度强度所发生的变化。L．Arn在随机动力系统研究的基础上，认为非线性随机系统的稳定性由最大的Lyapunov指数决定，并将最大Lyapunov指数为零作为随机分岔的标志。因此计算最大的Lyapunov指数成为随机分岔研究的一个最主要的内容。现有的计算方法较多地局限于Khasminskii方法，它已成功地用于二维系统，但是对于高维系统仍有很多困难。当扰动强度较小时，还可用随机平均法和奇异摄动法计算Lyapunov指数。至今随机分岔解的计算仅局限于在几个简单的分岔系统。

3、非线性动力学的数值方法

数值计算和仿真在非线性动力学发展过程当中起着十分重要的作用。早期非线性动力学的关键性现象(特别是混沌、孤立子和分形)几乎都是通过数值模拟揭示的，现在的非线性动力学学理论和实验研究更是离不开数值手段。在分岔研究中，由于非线性问题求解困难，因此数值研究占有重要地位，特别是解曲线的跟踪、分岔点的判断、以及分岔类型和方向的确定等方面。时空混沌、随机响应等的数值研究就更加复杂困难。多年来，已经出现了一批有效的算法和分析软件系统，取得了显著的成果。今后特别要重视多自由度和高余维的分岔、斑图动力学、随机系统动力学的计算问题。非线性动力学计算需要在理论指导下进行，对问题的物理本质要有深刻的认识，采用精度高、速度快、计算稳定性好的计算格式，开发图形功能，才能发挥越来越大的作用。

非线性动力学的几十年发展历程和突破性进展，充分反映非线性研究的巨大影响和潜力，但这只是认识非线性世界的开端。我们要在这个基础之上继续前进，深入探讨新现象，努力发展新理论和方法，大力加强在工程技术中的实际应用，为在21世纪取得非线性研究的更大成就做出积极贡献[2]。

4、经典非线性系统常见定量求解方法存在的问题及其改进

纵观L-P法，多重尺度法及KBM法的解的表达式，对定常解来讲，诸法的周期解的角速度

都是常数，这对于ε很小时很近似的，当s增大时，误差很大。可见徐兆法关于系统运动角速度假设正好符合这一规律。可以认为，徐兆法是KBM法的改进。这一本质上的改进，使得弱非线性系统的解答的精度大为提高，对强非线性系统得解答也很好。

多自由度非线性系统的求解，是复杂而困难的。在非线性自治系统中，考虑到阻力的不可避免的存在，高频振动迅速消失，往往只保留一种频率振动，于是，长期以来，多自由度的非线性自治系统一直沿用单频展开法。近二十年来，多自由度非线性振动理论有了很大发展，可以把KBM法直接推广到多自由度非线性振动系统，给出一种多自由度非线性的多频展开法，由于此法需要对多重级数作多重积分，实际上是很繁琐且困难的。

对于用时间变换的增量谐波平衡法这种属于半数值、半解析法来说，它的优点很明显，包括可以用于单、多自由度；弱、强非线性系统；精度可以任意高。但是，美中不足的是必须预先知道系统解答的初步信息；而且还不能讨论解的稳定性。

5、结语

对于非线性的研究包括：非线性力学系统的各种运动状态的定量和定性规律，特别是丰富多样的运动模式和演化过程。这些深刻地揭示了客观世界的复杂性和多样性，不仅对自然科学发展做出了重大的贡献，而且还有十分广阔的工程技术应用前景。

参考文献：

[1] 周翠英, 张乐民. 软岩与水相互作用的非线性动力学过程分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2005,24(22).

[2] 周翠英, 陈恒, 朱凤贤. 基于渐进演化的高边坡非线性动力学预警研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2008,27(4).

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