小概率事件原理的应用

[摘要]小概率事件原理是概率论中实用价值较高、应用泛围较广的基本理论，本文从实际生活的典型事例出发,运用该原理来分析解决此类问题,从而揭示独立重复随机试验中，小概率事件发生的必然性。

[关键词]概率统计 小概率事件 假设检验 应用

一、问题的提出

在概率统计中，为了研究随机现象，必须计算种种随机事件的概率，由于随机现象的多样性，我们不得不研究各种数学模型，并对每一种模型进行具体分析。

问题（万峰湖鱼数量）：假设从万峰湖里捕了1000条鱼，系上红线后，放回去，过了一段时间后，又捕了1000条鱼，现在其中5条鱼系着红线，试估计湖中鱼的总数。

此问题可用不退还抽样的概率公式求其估计值。我们将重点探讨如何利用小概率事件检验关于湖中鱼的个数的假设。

二、小概率事件的认识

一小概率事件，不管其概率是多么小，其值总是一个确定的正数。该事件随着试验次数的不断增加，迟早会发生的概率趋近于1。事实上，假如在某个随机试验中，事件A的概率为

P（A）=ε，ε是一个充分小的正数，则不论ε如何小，只要不断独立地重复这一试验，事件A总是会发生的（即A发生的概率为1）。

设以A k表示事件A于第k次试验中发生这一事件，则P（A k）=ε。

从而在前n次试验中，A都不发生的概率为：

故在前n次试验中，A至少发生一次的概率为：

当n→∞时，由于0＜ε＜1，有limn→∞pn=1

记事件Bn={前n次试验中A至少发生一次}，则必有

这就说明了虽然事件A在一次试验中发生的概率很小，但在不断地重复独立试验中，A总会发生。

在概率论的基础理论研究中，大量随机现象具有某种稳定的性质，例如频率的稳定性，平均结果的稳定性等等，它反映了偶然性与必然性之间的辩证关系。为了揭示这种实际上的必然性或实际上的不可能性，我们对概率接近于1或0的事件的研究，具有重大的意义。概率论的基本问题之一，就是要建立概率接近于1或0的规律。特别是对大量独立或弱相关因素的累积结果所发生的规律的研究，将导致“依概率收剑”和“依概率1收剑”等概念的产生，与此同时，相应的（弱）大数定律和强大数定律的研究也应运而生。

三、不退还抽样的计算公式

现在就假定有形状完全相同的N个球装在坛子里，其中N1个是白的，N2个是黑的，我们从坛子里抽n个球，在抽的时候我们并不知道它的颜色。这里有两种情况：一种是抽出的球看了它的颜色之后再放到坛子里去；一种是抽出的球不再放回去，前者称为退还抽样，后者称为不退还抽样。

不退还抽样：这是在实际应用时常见的情形，即从N个事物组成的母体中抽出大小为n的一个子样，这种情形对于统计抽样技术是很重要的。

在这种情形，我们显然必须要求n≤N，此外，显然所求的概率当v＞N1或n-v＞ N2时为零，因为样本中白球的个数不可能大于N1，黑球的个数不可能大于N2，对于其它v的值，我们可借助古典概型，计算其概率，由N个事物中抽取n个共有N

n种方法，有利于我们事件发生的方法共有N1

v•N2

n-v种方法，于是有v个白球，n-v个黑球的概率计算公式为：

具体问题：为了估计湖中的鱼数N，自湖中捕出r条鱼，做上记号放回湖中；然后再从湖中捕出s条鱼，结果发现这s条鱼中有ξ条标有记号。这里N是未知常数，r、s是已知常数，试问应如何估计N的值？

问题分析：

由不退还抽样，则知事件{X=ξ}的概率由超几何分布所确定，代入上公式（*）有：

其中RV-ξ为整数，是第二次捕出的有记号的鱼数，且满足

四、小概率事件在假设检验中的应用

设有一统计假设H，当H正确时，事件A是一个小概率事件，即它发生的可能性很小，在一次试验中，我们实际上可以认为A不会发生。做一次试验，如果A发生了，则我们有理由怀疑假设H的正确性，从而拒绝H，如果A没有发生，我们就接受H。于是小概率事件，为我们提供了检验统计假设的方法。下面介绍利用小概率事件检验关于湖中鱼的个数的假设。

万峰湖鱼数量问题解答：

我们假定两次捕鱼都是从全部鱼中随机地进行的，并且在第二次捕鱼时，鱼的数量未发生变化，如果变化不大，对研究问题的影响也可忽略不计。

令 N=湖中鱼的总数（未知）

r =第一次捕鱼的鱼数=1000

s =第二次捕的鱼数=1000

ξ=第二次捕的鱼中系着红线的鱼数=5

Pξ(N) =第二次捕的鱼中恰有ξ条系红线的鱼的概率

由不退还抽样的计算公式(*)有：

上式中，s、r和ξ是可以观察到的，而N是未知的，但我们知道，已有s + r -ξ条鱼被捕到过，从而s + r -ξ≤N，在我们的例子里s + r -ξ =1000+1000-5=1995，故我们可以肯定湖中至少有1995条鱼，但如果我们作一假定N=1995，则

利用stirling公式：

可知它是一个很小的数，其数量级为10--430，即在n=1995的假设下，第二次捕1000条鱼有5条系红线是一个概率很小很小的事件，而小概率事件在一次试验中几乎不会发生。因此，我们倾向于拒绝N=1995条的假设。

同理N很大，例如N=108这一假设，也必须拒绝，怎么办？

我们想办法找一个，使得Pξ(N)当N=时最大，这个叫做N的极大似然估计。由极大似然原理的直观想法：一个随机试验如有若干个可能的结果A、B、C…..。若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A发生有利，也即A出现的概率最大。

为了找考虑比值：

故我们就把=200000看作是对湖中鱼的总数所作的合理的估计。

上面给出的方法具有一般性，可用同样方法估计一个城市的人口总数或汽车总数。这种检验法本身并不是从逻辑上严格论证假设H的正确与否，在数理统计中我们不能证明任何统计假设的真伪，而是对统计假设作出拒绝或接受的选择。

在利用小概率事件检验假设H时，我们可能犯两种错误。如果H真，我们拒绝了它，我们犯了第一类错误。因为只有当小概率事件A发生时，我们才拒绝H，故犯第一类错误的概率为P（A）。也有时H不真，我们接受了它，这时我们犯了第二类错误。

在数理统计中，制定检验法时，常常是先控制犯第一种错误的概率，然后使犯第二种错误的概率尽可能地小。

参考文献：

[1]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]马文.概率应用及思维方法[M].重庆：重庆大学出版社，1989.

（作者单位：贵州黔西南民族师范高等专科学校）

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