正确理解古典概型

古典概型是各类概率模型中最基本的一种，在实际问题中经常会遇到，因此，它历来是概率论教学中的重点部分。但是，在实际教学工作中，我们会发现许多学生在用古典概型公式解题时，不是无从下手，就是不得要领而发生计算错误。为此，本文就如何正确理解古典概型，谈以下几点看法。

1.古典概型概率计算的条件

我们知道，古典概型在概率论中占有相当重要的地位，在产品质量抽样检验等实际问题以及理论物理的研究中都有重要的作用。与古典概型有关的事件的概率可根据其特点直接推算出来，无需进行大量试验。古典概型有两大特点:一是随机试验基本事件的总数是有限的;二是每一基本事件发生的可能性相等。古典概型概率的计算公式是P（A）=m/n，其中n是基本事件总数，m是事件A所含的基本事件数，各个基本事件具有等可能性。利用此公式求解问题时要特别注意两点：(1)求n时结果必须是有限的；(2)每个基本事件都是等可能的。只有同时满足以上两点，才属古典概型问题。例如，单位时间内，电话总机接到呼唤的次数，这一随机现象的基本事件可列无限多个，故不属古典概型问题。再如，“一次射击命中的环数”，这一随机现象基本事件虽然是有限的，但一般说来射击中各环的可能性不全相同，这一随机现象的各基本事件非等可能，它也不属于古典概型。它们都不能用古典概型公式计算。对于事件的等可能性，在实际问题中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全的”等可能是很难见到的。以掷硬币为例，严格地说，出现正、反二面也不能认为完全是等可能的，因为两面的花纹不同、凸凹的分布不同等，不过这些因素对出现正反面的影响很小，因而可以把它们忽略而仍然认为是等可能的。

2.古典概型的基本事件空间

在古典概型问题中，有时对同一个古典概型问题由于试验的条件和目的不同，所研究的基本事件空间就不同。

例如，求掷三枚硬币的基本事件空间。如果我们只研究三枚硬币正(H)、反(T)两面出现的顺序时，有{HHH},{HHT}、{HTH}、{HTT}、{THH}、{THT}、{TTH}、{TTT}这八种结果，故基本事件空间共有八个基本事件。如果我们不仅考虑硬币出现正、反两面的顺序且认为硬币是有区别的，假如三枚硬币的面值分别是1分、2分和5分，情况就不同了，在这种情况下，基本事件空间中的基本事件数就发生了变化，经分析后知基本事件数是3!×8=48。

从以上例子中可以看出，在计算古典概率时，要根据问题的实际情况认真分析研究问题的条件，搞清基本事件空间是什么，只有这样才能正确地算出基本事件的总数及A中所含基本事件数，才能在计算中保证不出错误和少出错误。

3.要在同一基本事件空间中计算

在同一古典概型问题中，有时我们可以将基本事件考虑的粗一些，有时可以考虑的细一些，这样就会得到不同的基本事件空间，要获得正确的计算结果必须注意，计算公式中的m,n必须在同一基本事件空间里，否则就会产生错误。

例如，一批产品共有m十n件？其中m件是正品，n件是次品，从中任取r件进行检查，事件A表示{所取r件中恰有K件次品)，求事件A发生的概率。

4.要深刻理解并掌握小球入盒模型

古典概型实际问题很多，如投球问题、抽样问题、生日问题、排队问题、照像问题、分房问题……等，这些问题经过认真的分析研究会发现它们属于同一数学模型，即小球入盒的模型。

例(1).“把n个球投入N个盒中，每个球落入盒中的可能性都相同，且每个盒容纳的球数没有限制……”由前面知此试验的基本事件空间应包含的事件总数为N"。

例(2).“有100件产品分一、二、三、四等……”这里每个“等”相当于一个盒，每件产品相当于一球，即n=100,N=4。

例(3).“有30个人过生日……”这里一年365天相当于盒，每个人相当于一球，即n=30，N=365。

（2)、(3)两例与(1)虽然表面上是提法不同的实际问题，但我们可以看出，如果抛开每一基本事件空间的实际意义，会发现它们都具有相同的数学模型，这样我们就可排除非本质因素的干扰，能快速正确地解答古典概率的计算问题。

5.用不同的基本事件空间计算

在解古典概型问题时，我们应开阔思路，积极思维。有些问题从不同的角度去考虑可得到不同的解法。通过这样的练习能加强我们对知识的理解，提高我们分析问题解决问题的能力。

例:袋中有a只黑球和b只白球，把球从袋中随机地一只一只摸出来。求第k次摸出的一只球是黑球的概率((1≤K≤a+b)。

此题有多种不同的思考方法，当同色球有区别、无区别、只考虑第K个位置及只考虑第一个位置到第K个位置时，都可以得到不同的基本事件空间，我们分别在这不同的基本事件空间运用古典概率公式求解，虽然解法不同但可得到相同的计算结果。

设A为{第K次摸出的一只球是黑球}。

解1：当同色球不加区别时，可以设想把摸出的球依次排成一直线的a+b个位置上，由于a只黑球是没有区别的，b只白球也是没有区别的，若把a只黑球的位置固定下来，那么其它位置放的一定是白球，而黑球的位置可以有C

通过以上多种解法，我们可以看到同一随机现象可以用不同的模型来描述，即在不同的基本事件空间中去解同一问题，只要方法正确，结果总是一致的。有时不同解法的难易程度相差较大，通过对一题多解的研究，最后我们可以选择最优，最简单的方法来求解古典概率的计算问题。

总之，只要正确掌握好以上几点，通过多分析、多练习，解决古典概型问题就会变得得心应手、游刃有余。

参考文献

[1]《概率论与数理统计》魏宗舒高等教育出版社

[2]《概率论与数理统计教程》沈恒范高等教育出版社

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

推荐访问： 正确理解 古典

---