数学期望在决策型问题中的应用

【摘要】数学期望是概率论的一个重要概念，数学期望问题在日常生活和经济活动中比比皆是，应用数学期望讨论某些经济问题和决策问题，从而可以得到一些有意义的结论。在日常生活和经济活动中，公民应该具有合理的决策能力，如个人的采购、求职、投资、企业的生产或经营方案等。经常需要对事物的进展作出决策，以便用最有利的方式采取行动，由于受随机因素的影响，使得决策带有风险性。因此人们常把数学期望作为决策参考的重要依据。

【关键词】数学期望；决策问题；

【中图分类号】G640【文献标识码】

作者简介：叶宝刚，男，陕西宝鸡人，陕西省宝鸡教育学院。

1.数学期望对于解决实际决策问题有着极大的意义

1.1 风险决策问题

某商场要根据天气预报来决定节目是在商场内还是商场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内促销可获利3万元；商场外促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元，无雨可获得利润12万元。9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是50%，商场应选择哪种促销方式？

解：设商场外促销活动中获得的利润为ξ万元，p（ξ=12）=0.5，p（ξ=-4）=0.5，所以Eξ=12×0.5+（-4） ×5=4万元，由Eξ>3知，商场外促销活动中获利润的数学期望为4万元高于商场内促销可获利润 万元，故应选择商场外促销方式。

说明：如果选择商场外促销方式恰逢天气有雨，则带来经济损失4万元，比商场内促销可获利润3万元更不合算。这就是风险，这样的决策称为风险决策。

1.2 方案决策问题

某企业对一项工程的完成有 个方案，甲、乙、丙每个方案的获利情况如下表所示：

自然状况方案甲方案乙方案丙

概率获利（万元）概率获利（万元）概率获利（万元）

巨大成功0.460.370.46.5

中等成功0.320.42.50.24.5

不成功0.3-40.3-50.4-4.5

问：企业应选择哪种方案？

解：方案甲、乙、丙的期望分别为：

Eξ甲=0.4×6+0.3×2+0.3×（-4）=1.8；

Eξ乙=0.3×7+0.4×2.5+0.3×（-5）=1.6；

Eξ丙=0.4×6.5+0.2×4.5+0.4×（-4.5）=1.7。

从而Eξ甲> Eξ乙>Eξ丙，故该企业选择方案甲最好。

2.数学期望无论从计划还是从决策观点看都是至关重要的

2.1 保险公司获利问题

一年中一个家庭万元被盗窃的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需缴保险费100元，若在一年内，万元以上财产被盗窃，保险公司赔偿a元（a<100），试问a如何确定，才能使保险公司期望获利？

解：只需考查保险公司对任一参保家庭的获利情况，设ξ表示保险公司对任一参保家庭的收益，则ξ的取值为100或100-a，其分布列为

ξ100100-a

P

0.990.01

根据题意得：Eξ=100×0.99+（100-a）=100-0.01a>0.解得a<10000，又a>100，所以a∈（100，10000）时保险公司才能期望获利。

2.2 机器故障问题

一部机器一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障则全天停工，如果一周5个工作日均无故障工厂可获利润10万元，发生一次故障可获利润5万元，发生两次故障不获利也不亏损，而发生三次或三次以上的故障，则亏损2万元，求这个工厂每周的期望利润。

解：以ξ表示一周内机器发生故障的天数，则ξ是N=5时的二次分布B（5，0.2），P（ξ=K）=C5K0.2K0.85-K.以η表示工厂内所获利润，则η=g（ξ）

=

η的概率分布为：

η1050-2

p0.3280.4100.2050.057

E（η）=10×0.38+5×0.410+0×0.205+（-2） ×0.057=5.216（完元）故工厂一周的期望利润是5.216万元。

3.数学期望在经济活动和日常生活中的应用

3.1 电信行业价格竞争的数学模型

假设电信运营商A与B在电信某一领域展开竞争，一开始的价格为P0，A是老牌企业，实力雄厚，占领绝大部分的市场份额；B刚成立不久，政府为了鼓励竞争有意扶植B而给予一定优惠，使得B的价格比A低10%，这一举动开始时对A没有产生多大的影响，但B由于有价格优势，逐步扩大，到了一定程度对A造成了影响。这时不妨假定：1.A维持原价，B也维持原价；A获利5，获利10；2.A降价，B维持；A获利15，B损失5；3.A维持，B降价；A损失10，B获利15；4.A降价，B也降价；A损失5，B损失5。这时A怎么做？

解析：在未知对方态度的前提下，我们认定概率均等（既某一方降价与不降价概率各为0.5）A降价的数学收益期望为：Eξ=15×0.5-0.5×5=5。

A维持的数学收益期望为：Eξ2=5×0.5-10×0.5=-2.5。为了自身利益的最大化，A选择降价。事实上从B看结果也一样，其降价收益为5，二者各损失5，即消费者集体利益。这就是竞争与垄断的区别。

3.2 在商业活动中偷税、漏税可非法获益而造成国家损失。国家为了防止税收流失，通常对偷税者除补交税款外还要处以偷税额n倍的罚款，统计者发现偷税者被查出的概率为0.2，这时罚款额度至少是多大才能起到罚款作用。

解析：假设偷税额为x，则偷税时商家受益的数学期望为 ，要使处罚有效，必须使 ，即n>3，故一旦查出至少应处以3倍以上的罚款，才能起到防止偷税漏税现象的发生。

4.小結

数学期望是随机变量的数字特征之一，他代表了随机变量总体取值的平均水平。随着社会的进步和经济的发展，数学期望在日常生活和经济活动中的运用越来越广，如个人的采购，投资，企业的生产或经营方案等。经常需要对事物的进展情况作出决策，以便用最有利的方式来采取行动。人们常把数学期望作为决策参考的重要依据，应用数学期望讨论某些经济问题，从而得到一些有意义的结论。

参考文献

[1]梅长林、王宁、周家良。概率论与数理统计—学习与提高[M].西安交通大学出版社，2001

[2]魏宗舒，概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，1983

[3]周概容，概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1984.275-276

[4]严士健，概率论基础[M].北京：科学出版社，1982

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