概率论极限理论的研究

【摘 要】本文主要介绍了近代概率极限理论发展状况，以及可交换随机变量国内外研究现状。

【关键词】可交换；独立同分布；概率论；极限理论

0 引言

概率论是从数量上研究随机现象的规律性的数学学科，它在自然科学、技术科学、社会科学和管理科学中都有广泛的应用，因此从20世纪三十年代以来，发展非常迅速，而且不断地有新的分支学科出现。概率极限理论就是其中一个主要的分支，也是概率统计学科中极为重要的基础理论。关于经典的独立随机变量的概率极限理论，在20世纪三四十年代已获得完善的发展，其基本结果被总结在Gnedenko和Kolmogorov的专著《相互独立随机变量和的极限分布》[1]及Petrov的专著《独立随机变量和的极限定理》[2]中。事实上，非独立的随机变量和的极限分布也曾被若干概率统计学家所研究，如Hopf[3]， Hoeffding和Robbins[4]等。但由于在许多实际问题中，经常会遇到非独立随机变量的情形。因此，在50年代，随机变量的相依性概念就已在概率论和数理统计的某些分支中被提了出来，并引起了许多概率统计学家的兴趣和研究，取得了不少研究成果，1997年以前的许多结果被总结在陆传荣、林正炎的专著《混合相依变量的极限理论》[5]中。而其中的随机变量可交换性已成为当前概率极限理论研究的重要的方向之一。

1 可交换随机变量的研究进展

随机变量可交换性的概念最早是由De Finetti[6]在1930年提出来的，可交换随机变量无限序列著名的特性是其基本结构定理De Finetti定理，即可交换随机变量的无限列以其尾σ-代数为条件是独立同分布的。但在早期随机变量的可交换性并没有引起概率学者们的注意，人们对可交换性了解还很片面。正如Alouds所指出的那样：“如果你在1970年问及一概率学者，可交换性讲些什么内容？你得到的回答很可能是，除了De Finetti定理外，还有什么呢？”人们利用De Finetti定理已作出了一些结果。但是值得指出的是De Finetti定理仅对可交换随机变量无限列成立，Chernoff和Teicher已经给出了例子说明：存在这样的可交换随机变量有限列，它不能嵌入到可交换随机变量无限列中去，因此，对于可交换的有限列，必须寻找另外的办法解决其渐近性质的问题，人们利用逆鞅的方法已给出了这方面的一些结果。

既然可交换随机变量无限列是条件独立同分布的，当然可以期望可交换随机变量无限列具有类似于独立同分布列的一些性质。许多学者已经把独立同分布随机变量的一些结论推广到了可交换随机变量。

概率论既是观察世界的一种基本方法，也象几何、代数和分析一样是一门核心数学学科，最近几年，作为科学探索的一种独具特色的方法，概率推理的显著功效已经导致了概率理论在科学研究中的重要性的增加，并且一直在统计学中起中心作用。在物理学、遗传学和信息论中所常见的概率方法，最近已经在许多其他学科，包括金融、地球科学、神经学、人工智能和通讯网络中成为不可缺少的方法，概率论的影响越来越大。概率极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其它分支和数理统计的重要基础。前苏联著名数学家科尔莫戈罗夫和格涅坚科在评论概率论极限理论时曾说过：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率基本概念的真正含义。”极限理论的基本内容是每一个概率统计工作者必须掌握的知识与工具。19世纪20年代以前，中心极限定理是概率论研究的中心课题，经典极限理论是概率论发展史上的重要成果。近代极限理论得研究方兴未艾，它不仅深化了经典理论的许多基本结果，也极大地拓展了自己的研究领域，极限理论仍是众多学者研究的重要课题之一。

2 国内外研究现状及分析

概率极限理论一直以来就是众多学者研究的课题，得到了许多深刻而有实际意义的结果。由于独立随机变量有着优良的极限性质，因此人们对这类随机变量已获得许多经典的结果，象Talor，Katz和Baum，Robbins和Hsu等，另外Petrov的专著《独立随机变量和的极限理论》，Gnedenko，Kolmogorov的专著《相互独立随机变量和的极限分布》也都介绍了有关独立随机变量极限理论方面的丰富内容。随着概率极限理论方面的不断完善和发展，概率测度收敛和强逼近理论等现代极限理论也被许多学者研究；源于实际问题的需要，相依随机变量引起了人们广泛的关注，如Bernstein，Hopf，Blum，Chernoff，Teicher，Weber，Peligrad，Joag-Dev和Lai等学者对此做过系统而深入的研究。与此同时，国内许多学者像林正炎，邵启满，张立新，苏中根，苏淳等也做了大量深入地研究，并获得了一系列完美的结果。

De Finetti在1930年最早提出了可交换性的概念，并且给出了可交换随机变量无限序列的基本结构定理De Finetti定理，它指出可交换随机变量无限序列以代数为条件是独立同分布的。之后许多学者对可交换做了一系列研究，Blum等得到了可交换随机变量序列满足中心极限定理的充要条件，Taylor给出了按行可交换（即对固定的每一行，都是一列可交换随机变量序列）随机变量组列的大数定律，以及配重和的极限定理，Taylor和Hu也给出了可交换随机变量的强大数定律成立的充要条件，利用Berry-Esseen方法讨论了可交换随机变量序列部分和的中心极限问题，得到了可交换随机变量序列部分和的分布收敛到正态分布的最优收敛速度。鞅方法和逆鞅方法在概率极限理论中是很重要的，自从Weber首先利用鞅方法研究可交换随机变量列的中心极限定理以来，人们普遍注意到了鞅方法的重要性，Partterson和Taylor利用逆鞅方法讨论了实值和B-值可交换列的大数定律，Eagleson利用鞅方法讨论了可交换列的弱收敛性，李应富和王向忱利用了逆鞅和截尾方法在较弱的矩条件下讨论了行-列可交换随机变量组列的大数定律，由此也得出了类似于Mcginley和Sibsoh的结果。

【参考文献】

[1]B. V. Gnedenko， A. M. Kolmogorov. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. Nauka， Moscow（Russion）， 1949， English Edition： Reading， Mass： Addision-wesley， 1954[M].

[2]A. Gut. Precise Asympototics for Record Times and the Associated Counding Process[J]. Stoch Proc Appl，2002（101）：233-239.

[3]E. Hopf， Ergodentheorie， Ergebnisse der Math[M].Springer-Verlag， Berlin，1937， 5.

[责任编辑：曹明明]

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