核磁共振测井改进TSVD反演算法研究

方案的制定提供了重要依据。因此，T2谱反演技术在核磁共振测井中具有重要地位。近年来，国内外出现许多不同的反演算法，主要有非负最小二乘法、奇异值分解法、联合迭代重建反演算法等[1]。如何建立快速、适用、分辨率高且对信噪比要求不高的反演方法，仍然是一个有待进一步研究的重要课题。

本文从第一类积分方程的反演求解入手，推导出适合于岩石核磁弛豫多指数反演算法改进奇异值分解（改进SVD）方法，传统TSVD算法稳定，运算量很大，适用于高信噪比的数据反演，当信噪比较低时，其反演精度不高，将会造成T2谱的不连续性。本文将一种改进TSVD算法应用于核磁共振测井数据的反演中，将正则化算子引入TSVD算法，对模型进行平坦度约束以得到最光滑的解。数值模拟实验表明，本文所述算法稳定，精度高，对不同信噪比的回波串反演都能得到稳定的T2谱。

1 核磁共振测井信号模型

现代NMR测井中广泛采用CPMG脉冲序列测量T2自旋回波[1]，其离散数学模型为：

其中，m是采集的每个回波串中包含的回波个数；ti为时间（1*TE，2*TE，…i*TE，…m*TE）（TE为回波间隔）；Y=[y1，y2，…，ym]T表示回波信号的幅值；n是横向弛豫分量的个数，即弛豫谱布点数；T2j是第j种弛豫分量对应的横向弛豫时间；X=[x1，x2，…，xn]T，xj是第j种分量对零时刻信号幅度的贡献值，根据其物理意义，xj必须满足非负约束条件；ε=[ε1，ε2，…，εm]T是噪声信号。可见，反演实质上可归结为求解病态方程：

Ax=b（3）

核磁共振测井反演中遇到系数矩阵通常为大型混定矩阵。此时，无论是采用针对超定问题的最小二乘法还是针对欠定问题的最小模型法，都无法得到满意的解[2]。正则化是解决这类不适定问题的一类重要手段，其基本思想是用一个对摄动较不敏感的系统替代原系统，结合某些解的已知信息对解进行限制，使其能很好地逼近原问题的真实解。

2 理论分析

对方程（3）的系数矩阵Am×n进行SVD分解：

3 数值模拟

首先构造双峰油水谱模型验证改进TSVD算法的效果。选择回波间隔TE=0.2ms，回波个数NE=1000。横向弛豫时间T2布点范围为0.0003-3s，布点数为128。运用TSVD法和改进TSVD法分别对构造的无噪回波数据进行T2谱反演，如图1所示。计算得TSVD法的相对误差为3.16%，改进TSVD法的相对误差为0.47%。可见，TSVD算法经过改进后误差下降了85%，几乎与构造谱曲线完全重合。

向以上的模拟数据中混入不同幅度的高斯白噪声，结果如图2所示。总体看来，这两种算法在信噪比较高（SNR=300、SNR=100和SNR=50）时反演精度较高，但是当数据的信噪比继续下降时（SNR=30），TSVD法出现明显震荡，而改进型TSVD方法由于加入了对平滑度的约束，较好地抑制了谱线的震荡；同时反演谱与构造谱分布趋势一致，谱线光滑连续，可见与TSVD算法相比，改进型TSVD算法更适用于低信噪比的数据。

4 结论

核磁共振测井是一种间接的测量技术，它的关键在于对回波信号的反演。而核磁共振弛豫测量多指数反演的结果受多种因素的控制，并且各种算法对反演参数的响应特征各不相同。由于传统的TSVD算法计算量大，耗时，适用于高信噪比数据等问题，本文提出了改进TSVD算法。该算法对模型施加平坦度约束实现正则化，较好地抑制了反演结果的震荡，极大地优化了传统TSVD算法的反演效果。通过将传统TSVD算法和改进TSVD算法应用油水同层模型的解谱结果进行对比，验证了该改进算法的有效性。数值仿真结果表明，改进TSVD反演算法稳定，运算速度快，容易实现非负约束条件，获得连续性好的T2谱，该算法可以满足实际应用的要求。

【参考文献】

[1]王为民，郭和坤.陆相储层岩石核磁共振物理特征的实验研究[J].波谱学杂志，2001，18（2）：113-121.

[2]姚姚.地球物理反演基本理论与应用方法[M].武汉：中国地质大学出版社，2002：25-30.

[3]Per Christian Hansen， Takashi Sekii， Hiromoto Shibahashi. The Modified Truncated SVD Method for Regularization in General Form[J].SIAM J. Sci. and Stat. Comput.，13（5），1142-1150.

[4]张文权，翁爱华.地面核磁共振正则化反演方法研究[J].吉林大学学报：地球科学版，2007，37（4）：809-0813.

[责任编辑：刘展]

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