用矩阵的初等行变换分析线性方程的解

摘 要 在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中,需要解决许多实际的问题,而这些许多实际的问题往往可以归结为解一个线性方程组,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。

关键字 增广矩阵;矩阵的初等行变换;标准型的阶梯型矩阵;矩阵的秩

中图分类号 G4 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2010)091-0171-01

在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中往往需要解决许多实际的问题,而这些实际的问题在多数情况下往往可以归结为解一个线性方程组,解线性方程序的过程就是解决实际问题的过程,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。

1 n元m个方程的线性方程的一般结构形式

a11,x1+a12,x2+…a1n,xn=b1

a21,x1+a22,x2+…a2n,xn=b2

………………………         (*)

am+1,x1+am+2,x2+…amn,xn=bm

说明:(1)a11,a12……amn为为未知量的系数;

   (2)b1,b2……bm称为常数项,均在等式的右端。

2 线性方程组所对应的增广矩阵

将线性方程组(*)未知量的系数积常数项相对位置保持不变而构成的矩阵称为该线性方程组所对应的增广矩阵。

即:线性方程组与增广矩阵之间具有一 一对应关系。

3 矩阵的初等行变换

将矩阵的行与行互换位置,或将矩阵的某一行同乘以一个不等于零的数;或将矩阵的某一行同乘一个不等于零的数加到另一行的对应元素上。当矩阵发生了这三种方式的任意一种,任意两种或三种,无论发生了多少次,但至少要有一次,我们就说该矩阵发生了初等行变换,任意一个非零矩阵经若干次的初等行变换一定能化为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵再经若干次的初等行变换一定能化为标准型的阶梯形矩阵,一个非零矩阵,它的阶梯形矩阵有无数个,但它的标准型的阶梯型矩阵有且只有一个。

4 解线性方程组的方法及步骤

同时满足每一个方程的解称之为方程组的解。把方程组当中的某两个方程互换一下位置或将某一个方程的两端同乘以一个不等于零的数或某一个方程的两端同乘以一个不等于零的数,然后加到另一个方程上,左端加到左端,右端加到右端,而构成新的线性方程组。虽然从表面上看方程组不一样,但线性方程组的解没变,称之为线性方程组的同解变形过程。该线性方程组的同解变形过程就是其增广矩阵的初等行变换过程。反过来,增广矩阵的初等行变换过程就是其线性方程组的同解变形过程,所以,我们可以用增广矩阵的初等行变换来解线性方程组,方程的步骤如下:1)正确写出该线性方程组所对应的增广矩阵;2)将增广矩阵经若干次的初等行变换化为阶梯形矩阵,然后判定解的情况;3)若有解,进一步将阶梯形矩阵经若干次的初等行变换化为标准型的阶梯形矩阵。

5 线性方程组解的判定

我们利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩以及未知量的个数三者之间的关系来判定解的情况,用R(A)表示系数矩阵的秩,用R(A–)表示增广矩阵的秩,用n表示未知量的个数,因为R(A)≤R(A–)而R(A)≤n所以,可以分三种情况讨论:1)若R(A)

参考文献

[1]顾静相.经济数学基础(下).高等教育出版社,2004.

[2]和慧民.高等数学(下).华东师范大学出版社,2007..

[3]闫杰生.经济数学(下).河南大学出版社,2008.

[4]张正修.线性代数.高教出版社,2003.

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