基于蒙特卡罗模拟修正的随机矩阵去噪方法

摘要：

针对蕴含噪声信息较少的小组合股票市场，提出使用蒙特卡罗模拟修正的随机矩阵去噪方法。首先通过数据模拟生成随机矩阵，然后利用大量的模拟数据来同时修正噪声下界和上界，最终对噪声范围进行精确测定。运用道琼斯中国88指数和香港恒生50指数的数据进行实证分析，结果表明，与LCPB法（Laloux LCizeau PPotters MBouchaud J P）、PG+法（Plerou VGopikrishnan P）和KR法（Sharifi SGrane MShamaie A）相比，在特征值、特征向量和反比参率方面， 蒙特卡罗模拟去噪方法修正后噪声范围的合理性及有效性得到很大的提升；对去噪前后的相关矩阵进行投资组合，得知在相同的期望收益率下，蒙特卡罗模拟去噪方法具有最小的风险值，能够为资产组合选择和风险管理等金融应用提供一定的参考。

关键词：

蒙特卡罗模拟；随机矩阵理论；去噪方法；小组合；投资组合

中图分类号：

N949

文献标志码：A

Abstract：

Since the small combined stock market has less noise information， a random matrix denoising method amended by Monte Carlo simulation was proposed. Firstly， random matrix was generated by simulation； secondly， the lower and upper bounds of the noise were corrected simultaneously by using a large number of simulated data； finally， the range of noise was determined precisely. The Dow Jones China 88 Index and the Hang Seng 50 Index were used for empirical analysis. The simulation results show that， compared with LCPB （Laloux LCizeau PPotters MBouchaud JP）， PG+（Plerou VGopikrishnan P） and KR （Sharifi SGrane MShamaie ARMT denoising method based on correlation matrix eigenvectors Krzanowski stability） methods， rationality and validity of the noise range corrected by Monte Carlo simulation denoising method are greatly improved in eigenvalue， eigenvector and inverse participation ratio. Investment portfolio of the correlation matrix before and after denoising was given， and the results indicate that the Monte Carlo simulation denoising method has the smallest value at risk under the same expected rate of return， which can provide a certain reference for the portfolio selection， risk management and other financial applications.

英文关键词Key words：

Monte Carlo simulation； random matrix theory； denoising method； small combination； portfolio

0引言

资产收益之间的相关矩阵蕴含着金融资产间的交互相关作用，这对于资产组合选择和风险管理等重要的金融应用都是决定性的[1-2]。实际上，因时间序列长度的限制等原因，使得收益相关矩阵中含有噪声[3-4]。研究表明，当资产组合数目较多时，利用随机矩阵理论（Random Matrix Theory， RMT）可对相关矩阵中的大部分噪声进行有效去除。Laloux等[5]通过对S&P500的406只股票1991—1996年的数据进行分析从而区分出经验相关矩阵中的噪声信息，并认为最大特征值代表整个“市场模式”；Plerou等[6]详细研究了1000只美国证券在1994—1995年的30min收益数据，定义了反比参率（Inverse Participation Ratio，IPR）来表示显著参与某一个特征向量的公司数量，得出了特征值谱边缘的反比参率较大，并对偏离特征值的意义进行了探究；Sharifi等[7]提出了基于RMT和特征向量Krzanowski稳定性的KR去噪法，并分析了将该方法用于组合风险优化的效果。然而，Utsugi等[8]在对东京证券交易所研究发现一些偏离预测的小特征值并不能完全由随机性进行解释，并表明随机性会对真实的相关性发生一定的排斥，类似于原子物理学中的“能级排斥”；Malevergne等[9]通过模拟与计算的对比分析说明了在RMT预测的主体特征谱中仍然存在着部分有效的相关信息；Kwapień等[10]通过不断变化100只美国股票的时间长度，发现当选择的时间较短时主体特征谱中并不完全是噪声信息； Dai等[11]对71只原油市场股票进行分析，研究得知最小特征值具有最大的相关系数，即表明小于预测值的特征值同样包含部分信息量。由此可知：噪声将随着研究资产的减小而下降，噪声与信息间的界定会存在一定程度的混淆，且小于预测值的特征同样包含一定的有效信息。本文考虑到蒙特卡罗方法就是结合实际情况构造与其吻合的统计实验概率模型，此过程包括使用随机数执行大量模拟和得到问题的近似解[12]，为此，构建蒙特卡罗模拟修正的随机矩阵去噪方法，即利用蒙特卡罗模拟方法精确识别出小组合投资噪声特征值的范围，并将模拟去噪法应用于不同股票网络进行实证分析，从而验证模拟方法的有效性和优越性。

1理论基础

1.1随机矩阵理论

记股票i（i=1，2，…，N）的有效交易日价格序列为{Pi（1），Pi（2），…，Pi（L）}，L是股票i的有效交易天数，Pi（t）是股票i在第t个有效交易日的收盘价格，定义股票i的对数收益率（Logarithmic Return）如下：

通过随机矩阵理论改进相关系数矩阵达到对金融系统去噪的RMT去噪方法种类很少，主要包括Laloux等[5]提出的LCPB法将小于λ+的市场特征值作为噪声，用噪声特征值的均值来代替噪声特征值，并保持新旧相关矩阵的迹不变；Plerou等[6]提出的PG+法用零替代相关矩阵的“噪声”特征值，并确保去噪前后矩阵的迹相等；Sharifi等[7]提出的KR法旨在提高相关矩阵特征向量的Krzanowski稳定性，经推算Sharifi等用相等的最大间距的正数特征值取代噪声特征值，并使新特征值和噪声特征值的和相等。上述去噪法的共同点是将小于λ+的特征值看作噪声，而λ+=1+H-1±2H-1，λ+的取值是N→∞，L→∞，H=L/N（>1）情况下的极限值。

整体而言，随着期望收益率的增大，风险值也在不断上升。当固定期望收益率时，图7和图8都在模拟修正后的随机矩阵去噪法下的风险率最小。特别地，图7未去噪与LCBP法、PG+法、KR法的风险收益基本相同，即这些方法并未达到去噪的目的；而图8中未去噪比这三种去噪后的风险率更小，即对香港恒生50而言这三种方法去噪存在较大程度失真，严重毁坏了整个市场的有效性，从而使得去噪后的数据中包含的信息量太少，最终不能达到有效去噪的目的。这与市场包含的股票数目越多则其具有的信息量越丰富的实际相符，道琼斯中国88和香港恒生50分别具有88只股票和49只股票，即道琼斯中国88相对香港恒生50而言本身包含更多的信息，因此，当对这两个市场进行不合理的去噪时，包含信息量较少的香港恒生50就变得更加敏感，导致其出现未去噪的效果更优。然而，当对小组合的市场进行合理有效的去噪时，仍可最大化地去除其内部的干扰噪声，从而使得风险最小。

4结语

本文提出了对小组合投资更加有效的蒙特卡罗模拟修正的RMT去噪法，即就资产数目较少的投资而言，小于λ-的特征值也包含着市场的有效信息，故可对代表噪声的随机矩阵进行大量的模拟平均，使得界定的噪声范围[λ-，λ+]更加精确，从而尽可能地保持市场信息的完整性与有效性。实证分析发现，在小组合投资中，模拟修正方法在投资组合方面的确更优于其他去噪法。在未来的研究中，我们计划利用复杂网络拓扑性质的一些指标来对提出的模拟方法进行更深一步的研究，使得研究结果更加全面，更加具有说服力。

参考文献：

[1]

罗英，蔡玉梅，崔小梅，等.资产组合协方差矩阵的信息结构[J].预测，2013，32（4）：26-30.（LUO Y， CAI Y M， CUI X M， et al. The information structure of the covariances between financial returns [J]. Forecasting， 2013，32（4）： 26-30.）

[2]

李冰娜，惠晓峰.基于随机矩阵理论我国股票投资组合噪声分析及风险控制[J].系统工程，2012，30（8）：38-44.（LI B N， HUI X F. Study on noise analysis and risk control of portfolios from Chinese stock markets based on random matrix theory[J]. Journal of Systems Engineering， 2012， 30（8）： 38-44.）

[3]

KANG W， KIM KK， SHIN H. Denoising Monte Carlo sensitivity estimates [J]. Operations Research Letters， 2012， 40（3）：195-202.

[4]

NILANTHA K G D R， RANASINGHE， MALMINI P K C. Eigenvalue density of crosscorrelations in Sri Lankan financial market [J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2007， 378（2）： 345-356.

[5]

LALOUX L， CIZEAU P， POTTERS M， et al. Random matrix theory and financial correlations [J]. International Journal of Theoretical and Applied Finance， 2000， 3（3）： 391-397.

[6]

PLEROU V， GOPIKRISHNAN P， ROSENOW B， et al. A random matrix approach to crosscorrelations in financial data [J]. Physical Review E， 2002， 65（6）： 066126.

PLEROU V， GOPIKRISHNAN P， ROSENOW B， et al. A random matrix approach to crosscorrelations in financial data [EB/OL]. [20151214]. https：//arxiv.org/pdf/condmat/0108023.pdf.

[7]

SHARIFI S， CRANE M， SHAMAIE A， et al. Random matrix theory for portfolio optimization： a stability approach [J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2004， 335（3/4）： 629-643.

[8]

UTSUGI A， INO K， OSHIKAWA M. Random matrix theory analysis of cross correlations in financial markets [J]. Physical Review E， 2004， 70（2）： 026110.

[9]

MALEVERGNE Y， SORNETTE D. Collective origin of the coexistence of apparent random matrix theory noise and of factors in large sample correlation matrices [J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2004， 331（3/4）： 660-668.

[10]

KWAPIE J， DROZDZ S， OSWIE P. The bulk of the stock market correlation matrix is not pure noise [J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2005， 359（1）： 589-606.

[11]

DAI YH， XIE WJ， JIANG ZQ， et al. Correlation structure and principal components in the global crude oil market [J/OL]. arXiv.org： arXiv：1405.5000. [20151105]. http：//de.arxiv.org/pdf/1405.5000.

[12]

高岳，王家华，杨爱军.具有时变自由度的tcopula蒙特卡罗组合收益风险研究[J].中国管理科学，2011，19（2）：10-15.（GAO Y， WANG J H， YANG A J. Estimation on portfolio risk via timevarying tcopula and MonteCarlo method [J]. Chinese Journal of Management Science， 2011， 19（2）： 10-15.）

[13]

POLITI M， SCALAS E， FULGER D， et al. Spectral densities of WishartLévy free stable random matrices [J]. European Physical Journal B， 2010， 73： 13-22.

POLITI M， SCALAS E， FULGER D， et al. Spectral densities of WishartLévy free stable random matrices [EB/OL]. [20151128]. http：//discovery.ucl.ac.uk/1407446/1/0903.1629v1.pdf.

http：//discovery.ucl.ac.uk/1407446/1/0903.1629v1.pdf

arXiv：0903.1629v1

[14]

ZHANG M， RUBIO F，PALOMAR D P， et al. Finitesample linear filter optimization in wireless communications and financial systems [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2013， 61（20）： 5014-5025.

[15]

李冰娜.基于RMT去噪法股票投资组合风险优化研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2013：94-103.（LI B N. Research on stock portfolio risk optimization based on the RMT denoising methods [D]. Harbin： Harbin Institute of Technology， 2013： 94-103.）

[16]

SENSOY A， YUKSEL S， ERTURK M. Analysis of crosscorrelations between financial markets after the 2008 crisis [J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2013， 392（20）： 5027-5045.

[17]

CONLON T， RUSKIN H J， CRANE M. Random matrix theory and fund of funds portfolio optimisation [J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2007， 382（2）： 565-576.

推荐访问： 矩阵 蒙特 修正 卡罗 随机

---