类最小二乘调度与控制的耦合设计

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摘要：首先，提出一种将优先级调度与通信序列相结合的类最小二乘调度（LSLS）算法在每个采样周期内，传感器的测量值传送给LSLS调度器，LSLS调度器将由调度序列确定的测量值与当前时刻调度器内部的理想动态的状态值进行比较，并计算其方差，方差比较大的状态将获得接入网络的权限。其次，将具有媒质接入约束和随机短时延的网络控制系统建模为随着调度信号进行切换的切换系统。借助Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式方法（LMI）进行了稳定性分析以及控制与调度的耦合设计。最后，对LSLS与控制的耦合设计方法进行了仿真验证，并与已有的最大误差优先一尝试一次丢弃（MEF-TOD）调度与控制的耦合设计方法进行了比较。结果表明，LSLS与控制的耦合设计方法在控制性能上优于MEF-TOD调度与控制的耦合设计方法

关键词：网络控制系统；类最小二乘调度；随机短时延；Lyapunov稳定性；线性矩阵不等式

DOI：10.15938/j.emc.2015.10.016

中图分类号：TP272

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2015）10-0107-10

O 引言

网络控制系统（networked control system，NCS）是一种基于网络的分布式系统。在该类控制系统中，被控对象、传感器、控制器和执行器通过某种网络彼此连结在一起。与传统的点到点控制系统相比，网络控制系统具有成本低、布线方便、可靠性高、节点间信息共享方便等优点，受到了科研工作者和企业的广泛关注；然而，网络的引入给控制系统带来优势的同时，也给系统的分析和设计带来了新的挑战。在网络中传输信号有可能会产生网络诱导时延，比如传输时延、排队等待时延等；同时，由于所使用的网络并不是理想的通信网络，它易受外界干扰的影响，从而出现了信号的衰减、数据的丢失和数据乱序等情况。

在实际的NCS设计中，网络的带宽往往都是有限的。这些有限的带宽对于节点和信息交换比较少的系统也许不会造成太大的影响，但当节点的数目达到成千上万甚至更多的时候，即使每个节点传输少量的信息，整个系统的数据量也是非常大的。这时，有限的带宽就成了提高系统性能的一大瓶颈。此时，整个NCS的性能不仅仅依赖于所设计的控制算法，同时也依赖于带宽的合理利用。所以，在NCS中，如何在合理的安排节点接入网络的同时还能保证系统的性能，已经成了一大研究热点。解决网络的媒质接人约束（调度）问题（即，在同一个时刻只允许有限的节点接入网络的情况下怎样更好地保持NCS的控制性能）就是在此背景下提出来的，这是本文的研究重点。

媒质接人约束的处理方法起初是借鉴CPU任务调度的思想。CPU在进行任务分配的时候，具有高优先级的任务可以抢占更多的CPU计算资源。当更高优先级的任务请求CPU资源时，正在运行的任务将被挂起，待更高优先级的任务完成以后，再根据任务栈中的任务优先级重新分配CPU的计算资源。这种基于优先级的调度方法有可能使得较低优先级的任务一直得不到调度。如果将此方法不加修改的移植到NCS的调度上来，则会造成严重的后果。不同于CPU的任务调度，NCS调度服务的对象是控制系统中的信息，并且网络的传输是非抢占的，即当一个网络数据包在传输的时候，其他的网络节点是无法接人此网络的，只有待此数据传输完成以后，其它的网络节点才有机会接人此网络。如果还是像CPU调度那样采用固定的优先级，这就会有可能导致低优先级的控制子系统得到的信息很少，甚至长时间得不到信息；从而使这个子系统的控制性能降低，甚至导致不稳定。因此，虽然在一定程度上可以借鉴CPU调度的思想，如果要切实地处理NCS的调度问题，需要提出专门针对NCS的调度算法。这是摆在广大科研工作者及自动化工程师面前的问题，幸运的是，在这个问题上已经得到了一些不错的研究成果。

本文将控制与调度共同设计的方法分为两类：控制与调度的联合设计和控制与调度的耦合设计。在控制与调度的联合设计中，控制器和调度器是独立设计的，相互之间没有耦合关系，这在人们对控制与调度的认识还处于初步阶段时多采用此方法，。在控制与调度的联合设计中，控制系统中虽然引入了调度策略，系统的性能在一定程度上也得到了改善，但通常认为所采用的调度策略能对控制算法的执行时间、任务响应时间等进行预测。由于网络控制系统中存在着不确定性因素，如随机时延、丢包等，致使调度算法很难对任务的执行时间做出准确的估计。因此，在设计控制器的过程中需要兼顾调度策略，控制与调度的耦合设计就是在此基础上发展起来的。控制与调度的耦合设计是一种同时考虑控制与调度之间的相互影响并最大限度地发掘各自的优势而进行设计的策略，本文所提出的方法属于后者，在这类设计中，由于调度策略的设计考虑了控制系统的性能，控制器的设计又结合了调度策略，因此更能体现控制与调度之间的相关性，这样设计出来的NCS运行起来比前者更有效率，从而对整个NCS性能的提高有所裨益。

在NCS中首先得到应用的是非抢先的速率单调（rate monotonic，RM）调度算法，此算法是把实时任务周期与在稳定前提下最差情况的传输周期相对应，使得实时任务的计算时间与信息传输时间相对应。后来，Branicky M S等人将RM调度算法应用到多个控制子系统的调度上，并研究了RM调度与NCS稳定性约束下的最优调度问题。ZUBERI K M等将预测控制和RM调度进行了联合设计，并提出了一种扩展的RM调度算法，此调度算法的适用范围更加广泛。近来，Woo K S和Yang J M还将RM调度算法应用于具有任意周期的多任务实时系统的检测点部署问题。为了描述系统的输入和输出之间的资源分配情况，Brockett R于1995年提出了通信序列（communication sequence）的概念。后来，很多研究者便基于此概念进行了控制与调度算法的耦合设计。Zhang L和Hristu-Varsakelis D研究了一种将控制和通信序列相结合的耦合设计方法，在此方法中，通信序列是周期性的并且没有考虑时延带来的影响。在进一步的工作中，他们将时延的影响考虑进来并进行了控制与调度的耦合设计，只不过这里的时延是常时延。Heik R和Martin S研究了带有有限带宽的采样数据系统的最优控制问题，通过优化线性二次（lirlear quadratic，LQ）性能指标得到最优的离线周期高度序列，并借助标准的LQ理论设计了与调度序列对应的控制器。由于周期的调度序列会给系统的分析和设计带来保守性，Guo G等人基于切换系统理论对存在随机时延、媒质接人约束、丢包和量化的网络控制系统进行了分析和设计，提出了更加一般化的动态通信序列设计方法，减小了系统分析和设计的保守性。GOU Ge和JIN Hui等仅考虑网络存在于前向通道（即控制器到执行器）的情况，而在实际的NCS设计中，网络不仅存在于前向通道，也存在于反向通道（即传感器到控制器）中；此外，由于信道带宽的限制，一个数据包的大小超过了网络分配给此系统的带宽时，单个数据包就需要拆分成多个数据包进行传输。GAO Ge等就考虑了网络既存在于前向通道又存在于反向通道且数据包进行多包传输的情况；同时作者注意到若将GOU Ge和JIN Hui等直接推广到多包传输的情形会产生很多松弛变量 ，这就加大了系统设计的保守性。GAOGe等采用一种模型变换技术和改进的Lyapunov-Krasovskii泛函对存在时变时延、丢包、媒质接入约束和多包传输的NCS进行了动态输出反馈和调度的耦合设计，所得到的结果具有更小的保守性。为了克服周期凋度序列带来的保守性，Lu Zibao等提出了一种静态调度与动态调度相结合的设计方法。在前向通道和反向通道皆存在网络且网络中存在时变时延的情况下，分别设计使系统能控、能观的调度序列集和使系统可镇定的输出反馈控制器，然后通过最小化给定的性能指标在线地选取控制器与调度序列的组合，此方法提高了整个系统的性能和设计的灵活性。GAO Ge和LU Zibao等将研究扩展到了传感器和执行器采用Markov形式的随机事件驱动方式的具有时延、网络同时存在于前向通道和反馈通道的NCS中，作者采用了一个新的Lyapunov-Krasovskii泛函对被控对象中含有不确定性的NCS进行了稳定性分析和控制器设计。SUZUKI T等将通信序列和保持设备（hold device）应用于线性时不变的被控系统中，将其建模为具有更高阶的omega-period系统，并进行了稳定性分析。STEFANO L等研究了NCS中的鲁棒离线调度问题，利用快速随机算法（fast stochas-tic algorithms）找到使其L-2增益范数最小的周期通信序列。在文献[22]中，作者研究了静态通信序列下随机线性系统的可观测性问题，并分析了使系统保持可观测的通信序列的存在性。

在现有的网络中，应用层以下的调度协议都是固定的，用户没有权限对其进行修改、因此，一学者就考虑在应用层上进行调度算法的设计，基于优先级的调度便是其中的一类。YEPE Z等提出了大误差优先（large eror first，LEF）的调度策略，在每一个任务周期内，调度器都将系统的输出与期望值进行比较，误差大的系统优先获得接入网络的权限。Walsh C C和Hong Y将所提出的最大误差优先（maximum error first，MFF）调度算法与尝试一次丢弃（try once discard，TOD）协议整合在一起提出了最大误差优先一尝试一次丢弃MEF-TOD调度算法。此算法把系统的当前状态与上一时刻的状态进行比较，具有最大偏差的状态获得优先调度，而那些没有获得调度的状态将被当前的状态所代替，即零阶保持器（zero-order holder ZOH）中保存的永远都是系统最新的状态值 杜明莉等将基于优先级的调度与通信序列的方法相结合，提出了基于MEF-TOD和通信序列的控制与调度耦合设计算法。

本文在MEF-TOD及其通信序列概念的基础上提出了LSLS算法。在每一个采样周期内，LSLS调度器都会将调度序列所确定的系统的当前状态与理想动态的状态进行比较，具有较大方差的状念优先获得接入网络的权限。本文的主要贡献如下：将具有随机短时延和媒质接入约束的NCS建模为随着调度信号进行切换的切换系统，详细讨论了调度器的结构、工作原理和实现问题；然后利用所提出的LSLS算法并结合Lyapunov稳定性理论和LMI方法进行了控制与调度的耦合设计，此方法的好处在于借助内点法可以找到保证系统稳定的全局最优解最后，将本文所提出的耦合设计算法与杜明莉等的算法进行了仿真对比，并对仿真结果进行了分析

1 具有随机短时延和媒质接入约束的系统模型

假定NCS中的被控对象可以用式（1）的线性时不变状态方程描述为其中：分别表示系统的状态和控制输入。A，B为具有适当维数的定常矩阵

一般情况下，具有媒质接人约束的NCS的结构如图1所示。其中：表示k时刻系统的状态；表示k时刻经网络传输后系统的状态，此状态将会作为控制器的输入值；表示k时刻控制器的输出；表示k时刻执行器的输入值；表示k时刻传感器输出端的调度向量，其中表示在k时刻调度器允许第i个传感器接入网络，表示在k时刻调度器不允许第i个传感器接入网络）。类似的，表示k时刻控制器输出端的调度向量，其中表示在k时刻调度器允许第j个控制信号可以通过网络传输，表示在k时刻调度器不允许第j个控制信号通过网络传输）。表示k时刻传感器到控制器的时延，表示k时刻控制器到执行器的时延。

为了便于描述，作如下假设：

1）假定网络只存在于传感器与控制器之间，控制器与被控对象是集成在一起的。这种假设是合理的，例如，车载控制系统，量化器设计，无线NCS等。

2）传感器节点采用时间驱动方式，采样周期为T，控制器和执行器采用事件驱动方式。

3）网络诱导时延是时变不确定的且小于一个采样周期，即：此假设是成立的，如在多机器人系统中，由于机器人之间传输的信息量少且距离较短，其时延小于一个采样周期。

4）由于受到媒质接入约束的限制，在每一个采样周期内至多有d（0

5）对于在k时刻没有获得接人权限的状态量，控制器将会使用存储于ZOH中的上一时刻的状态量。

在完成了上述假设以后，图1所示的具有媒质接入约束的NCS可以简化为图2所示的系统。

到目前为止，具有随机短时延的网络控制系统（2）可以等效为具有不确定参数的离散时间模型：

为了更加精确地描述具有媒质接入约束的NCS，需要将媒质接入的实际情形在系统模型中予以体现；也就是说，要将调度矢量δ（k）融合到系统模型（3）中。在以状态方程描述的系统模型中，系统的增益往往以矩阵的形式体现；为此，令Λ（k）=diag（δ（k），其中，diag（·）是一个用于构造对角矩阵的函数，它把自变量的值依次排列在对角线上，而非对角线上的元素则全部为零。那么，k时刻传感器的测量值（系统状态）在经过调度矢量δ（k）调度后，控制器端的输入值可以表示为；没有获得调度的状态值则使用ZOH中的值（上一时刻的值。因此，控制器的输入可以表示为

调度矢量表示在第k个采样周期内哪些传感器节点获得接入网络的权限。由于存在媒质接人约束，在每一个采样周期内，只允许d个状态量可以接入网络；因此，（n -d）！]种组合方式。很明显，δ（k）是在具有N个元素的集合Ω中取值的向量。为了表示方便，定义一一映射：在映射x中δ（k）与p（k）是一一对应的；为了方便起见并且不引起混淆的情况下，后文中用p代替p（k）。每一个p都反应了系统的一种形态，把这种形态称之为模态。由于Λ（k）是由δ（k）转化而来，因此δ（k）也将与Λ（k）一一对应。又由于δ（k）与p之间的一一映射关系，所以A（k）与p-对应，于是可以将Λ（k）记为Λp（k）。

至此，综合式（3）、式（4），具有随机短时延与媒质接人约束的开环NCS可以用模型（5）描述：

再考虑如式（6）的离散状态反馈控制器： 其中，分别表示控制器的输入与输出；是要计算的控制增益，它与每一种系统模态相对应。在3.2节可以看到，控制增益是在不同的系统模态下得到的，具体内容将在3.2节控制与调度的耦合设计中进行分析。

综合式（5）、式（6），具有随机短时延与媒质接人约束的闭环NCS可以用广义离散模型（7）加以描述：

由式（9）可知，具有随机短时延与媒质接人约束的闭环NCS可以建模为以p为切换信号的切换系统。此系统的稳定性不仅与控制增益矩阵K_p有关，还取决于切换信号p，而切换信号p又由调度矢量δ（k）决定。因此，需要进行控制与调度的耦合设计以确保系统（9）的稳定性。

2 类最小二乘调度

第1部分中已经假定在每个采样周期内共有d个状态量可以接入网络，那么如何确定系统的n个状态量中哪些状态（d个）可以接入网络呢？这种确定状态量接入网络的准则就是本节介绍的调度策略。

2.1 调度器结构及工作原理

所提出的LSLS调度器的基本思想是：将不受媒质接人约束的系统动态称之为理想动态，在此动态下，用某种控制器设计方法计算出控制增益矩阵：在每一个采样周期内，理想动态会根据所计算出的控制命令进行一步更新；传感器端采集的状态值先传给调度器，调度器会把每一个δ（k）作用下的状态与理想模型的状态进行方差计算，选择方差较大的状态调度矢量δ_opt（k）作为此周期内的状态调度命令。带有LSLS的NCS结构如图3所示。

下面对LSLS调度器的工作原理进行进一步阐释：具有随机短时延而没有媒质接入约束的NCS模型如式（2）所示，根据本节第一段的描述，式（2）就是所定义的理想动态。假定此模型下的控制增益矩阵为；在第k个采样周期内，理想动态（2）的状态量为；使用式（6）形式的离散状态控制器，那么，此周期内的控制命令为将作用于式（2）的系统方程以得到第k+1时刻的系统状态量x_opt（k+l）。在得到了理想动态的状态和控制命令以后，接下来就要开始确定调度策略了。

在第k个采样周期内，假定被控对象的实际状态量为，在不同的状态调度矢量δ（k）下的状态可以表示为，把称之为调度状态候选集，而把它的元素称之为调度状态。LSLS的目的就是在状态候选集合中选取使得系统性能最优的那个，即确定p的值。LSLS调度器S可以用下式描述：其中，arg（·）表示索引函数。从式（10）可知，p_opt的值即是使得此方差最大的p_o在确定了调度向量以后，最优状态将通过网络传送给控制器。至此，调度器S完成了在第k个采样周期中的工作。

从调度器的设计过程来看，调度算法的设计与控制系统的性能是息息相关的。LSLS调度算法用公式（10）描述，由公式（10）可知调度策略取决于实际被调度状态与理想状态之间的方差，方差最大者获得接入网络的权限。在控制系统中，若实际系统状态与理想状态的方差越大，则越需要进行控制；否则，这些状态会由于没有得到及时控制而使系统性能变差，甚至导致系统不稳定。

2.2 调度器实现

在实际应用中，通常需要考虑两个比较重要的问题：调度器的拓扑与触发方式。所提出的LSLS调度器被放置在传感器与网络之间，采用一个中心调度器调度整个网络中的传感器节点的信息。所有传感器节点采集的数据都要先发送给调度器，然后由调度器决定哪些传感器可以接入网络。那些没有被传输的传感器的测量值被保存于调度器的ZOH（寄存器）中，如果下一个时刻此传感器还是没有获得接入网络的权限，ZOH中的值将会被离这个时刻最近的前面的测量值所代替；这样，ZOH中保存的永远都是最新的测量值。这么做是很有意义的，因为最新的系统测量值才最能体现系统当前的运行状况。

通常调度器的触发方式有时间触发和事件触发两种方式。时间触发方式设计起来较为简单，但资源利用率不高；事件触发方式设计起来较为复杂，对硬件的要求较高，当然效率也会更高一些。为了简单起见，采用的调度器采用时间触发的方式。既然是时间触发，那么必然要考虑触发时间的选择问题，触发时间的选择应该既不会浪费太多的内存资源，又要考虑整个系统的效率。文中考虑的传感器节点皆采用时间驱动方式且是同步采样的，因此本调度器的触发周期选择为T；这样，调度器就可以与传感器节点同步起来。此外，调度器也可以选择为事件触发方式，待所有的传感器测量值到达调度器以后，调度器便开始工作。显然后一种方式更有效率，不像时间触发方式那样需要等待周期时钟的触发。

3 控制与调度的耦合设计

3.1 稳定性分析

为了进行稳定性分析，首先给出如下两个引理。

引理1（Schur补引理）对于给定的对称矩阵X，并且可以写为分块矩阵形式为其中，A和C是对称非正定的方阵，那么以下的3个条件是等价的：①X是负半定的；②C≤0，A-

引理2 设W、M、N和F（k）为具有适当维数的实矩阵，其中F（k）满足，w为对称阵。则当且仅当存在常数ε>0，使得接下来对具有随机时延和媒质接入约束的NCS进行稳定性分析。

定理1对于系统（8），在状态调度矢量δ（k）的作用下，若存在对称正定矩阵P使得不等式（11）

3.2 含有调度序列的控制器设计

由于式（11）中的φ_p含有不确定项F（τ_k^"），因此定理l的结论很难直接应用于控制器的设计，需要把此不确定项做进一步的处理（见定理2）。

定理2对于系统（8），在状态调度矢量δ（k）的作用下，若存在对称正定矩阵X，状态反馈增益矩阵K_p以及一组标量ε_ρ>0，ρ∈Г，使得矩阵不等式（12）：令X=P^-1，将上式分别左乘、右乘diag（I X I），则得式（12）。证毕。

由于式（12）是关于K_ρ与X的双线性矩阵不等式，现有的方法无法对其直接进行求解。令，式（12）就变成了线性矩阵不等式。在将式（12）转化为线性矩阵不等式以后，就可以采用内点法求得其全局最优解。由于目前Matlab中的LMI工具箱多采用内点法求取线性矩阵不等式，因此借助此工具箱可以很方便地求得可行解Y_ρ与X。因为表示广义逆，可以用Matlab函数pinv（）进行求解这样，便得到了控制增益矩阵K_ρ。

控制增益K_ρ的值与切换信号p的值是一一对应的，而切换信号p又由调度矢量δ（k）决定。因此，K_ρ与δ（k）是一一对应的。也就是说，K_ρ的计算离不开δ（k）。由于p∈Г={1，2，…，N}，所以，可以得到N个K_ρ。在每个采样周期内，p的值由所提出的调度算法决定，即式（10）。又由于K_ρ的值与切换信号ρ的值是一一对应的，所以，此采样周期内所要使用的控制增益K_ρ也被确定了下来，、至此，完成了控制与LSLS调度的耦合设计。

需要说明的是，在定理2的式（12）中，P矩阵是固定的，这是由所采用的公共Lyapunov函数的方法决定的，但P矩阵的求取则与调度p有关j，具体来讲，P矩阵的求取依赖于增广矩阵△_ρ，△_ρ则依赖于矩阵∧_ρ。并且∧_ρ由调度矢量δ（k）经对角化所得，而δ（k）则与调度JD是一一对应的，因而矩阵P就与调度ρ建立了联系。在进行控制与调度的耦合设计中，矩阵P起到了桥梁的作用，一旦调度ρ确定，由公共Lyapunov函数法可知（文中选择为Lyapunov函数），公共Lyapunov函数的矩阵P也确定了。例如，在有5种切换模态的系统中，即p={l，2，3，4，5}。对于每一个模态，都可以建立如式（12）形式的LMI，一共可以建立5个LMI，通过联合求解这5个LMI，得到矩阵P。最终目的是建立控制器与调度策略之问的关系，在求得公共Lyapunov函数的矩阵P以后，通过公式便可以得到控制器的增益K_ρ。控制器增益K_ρ的计算与增广矩阵△_ρ有关，而△_ρ与调度ρ一一对应，因而控制器增益K_ρ与凋度ρ一一对应。例如，在有5种切换模态的系统中，ρ=l对应K₁、ρ=2对应K₂…ρ=5对应Ks，而调度ρ的选取则由具体的调度策略决定，文中调度ρ是由LSLS确定的。所以，控制器增益K_ρ便与调度序列建立了一一对应关系。总之，控制器的设计离不开公共Lyapunov函数的矩阵P，它架起了控制与调度耦合设计的桥梁。

在2.1节中，LSLS调度器是在考虑了系统性能的基础上进行设计的，而从3.2节控制器的设计过程可以看出，控制器的设计又依赖于所选择的调度算法。因此，所设计的控制与调度是耦合在一起的。

4 仿真示例

为了从原理上验证本文所提出的LSLS算法与控制的耦合设计的有效性，此部分仅选取一个简单的二维系统的例子进行仿真验证。假定NCS中被控对象的状态方程为

设传感器的采样周期T=O.2s，根据第1部分的假设条件3）可知，系统时延应满足τ_k∈[0，0.2]，且是时变不确定的。对系统（16）进行离散化，可得到形如式（3）的离散时间状态方程，其中：

由于存在媒质接人约束，在每个采样周期内只有部分传感器可以接入网络。假定在每个采样周期内只允许一个传感器可以接入网络，即第1部分假设4）中的d=l。因此，系统共有N=2种模态，进而得知δ（k）={[1 0]，[0 1]}，ρ={1，2}。在调度策略确定以后，根据系统增广模型（8）和定理2，就可以得到对应ρ=l和ρ=2的公共Lyapunov函数矩阵P为利用，可得每种模态下的控制增益为：当ρ=l时，K₁=[-4.2798 0.8075]；当ρ=2时，K₂=[-0.0985 -1.6587]。至此，控制器的增益与调度序列就建立了一一对应关系。当调度序列选为ρ=l时，控制器切换到增益K，；当调度序列选为ρ=2时，控制器切换到增益K₂，而如何选择调度序列则由所提出的LSLS算法决定。由于LSLS算法需要理想动态（2）的状态量x_opt（k），因此必须得到K_opt。令δ（k）=[1 1]，根据定理2即可得到K_opt=[-1.4376 -0.8431]。假定初始状态为x（0）=[-1 1]^T，系统的随机时延如图4所示，状态响应如图5所示。

从图5可以看出，所提出的LSLS与控制的耦合设计算法在控制性能上超过了杜明莉等的MEF-TOD调度与控制的耦合设计算法。在LSLS调度下，x₁和X₂大约需要15s收敛到平衡点。而在MET-TOD调度下，X₁和X₂则大约需要38s才收敛到平衡点。因此，不管是使用MEF-TOD调度与控制的耦合设计算法还是LSLS与控制的耦合设计算法都能使系统稳定，但后者的控制性能在很大程度上优于前者。

造成以上结果的最主要原因是两种调度算法的设计思想不同。具体来讲，MEF-TOD调度算法关注的是相邻时刻状态的变化，即当前时刻的状态与上一时刻的状态之间的偏差。最终，偏差较大的状态获得接入网络的权限。而LSLS算法则关注的是当前时刻的状态与最优状态之间的关系，即当前时刻的状态与理想动态的状态之间的偏差，方差最大者获得接入网络的权限。也就是说，LSLS调度算法在设计上已经考虑了系统的最优性能，并且每次获得调度的状态都是与理想动态的状态的方差较大者。因此，其性能才会优于MEF-TOD调度算法。

MET-TOD调度序列如图6所示，LSLS调度序列如图7所示，其中纵坐标的1，2表示采用的切换序列，即ρ=l和ρ=2。注意，这里的1和2不是指幅度值，而是指系统的模态。从以上两个调度序列图中可以看出，采用LSLS算法的调度器的切换频率大于采用MET-TOD调度算法的调度器的切换频率。因此，可以认为LSLS算法相较于MET-TOD调度算法会增加切换设备的负担。

综上所述，所提出的LSLS调度与控制的耦合设汁在控制性能上优于MEF-TOD调度与控制的耦合设计方法，但LSLS调度算法却会消耗更多的系统资源。任何算法都不是十全十美的，评价一个算法的好坏要将其放到特定的环境中。有些算法在某些条件下会表现出比较好的性能，而在某些条件下，其性能则有可能会比较差。正如所提出的LSLS算法所表现的那样，虽然其控制性能好于MEF-TOD调度算法，却是以增加切换设备的负担为代价的，

5 结论

在具有网络随机诱导时延和媒质接人约束的NCS中，为了合理地调度网络节点以保证系统达到稳定，本文提出了一种新的调度算法——LSLS算法，并且在此基础上进行了LSLS与控制的耦合设计。文中不仅详细地分析了LSLS调度器的结构和工作原理，还讨论了其实现问题。然后，将具有网络随机诱导时延和媒质接人约束的NCS建模为按照调度信号进行切换的切换系统，利用Lyapunov稳定性理论和LMI方法进行了稳定性分析和控制器设计，得到了控制器的增益与调度序列的一一对应关系；此方法的好处在于借助内点法可以找到保证系统稳定的全局最优解。最后，将LSLS与控制的耦合设计算法与MEF-TOD调度与控制的耦合设汁算法进行了仿真比较，并对仿真结果的差异及其原因进行了分析。结果表明，本文所提出的LSLS与控制的耦合设计方法的控制性能优于MEF-TOD调度与控制的耦合设计方法。

值得一提的是，由于网络诱导时延的随机性，理想动态（2）中的时延很难与实际系统中的随机时延相一致，这在一定的程度上增大了此算法的保守性这将是我们的后续工作所要考虑的问题。

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