高聚物熔体微尺度流动行为与数学模型

【摘要】本文基于粘性流体力学的基本方程，借鉴传统注塑成型中熔体充模过程数学模型的建立方法，构建了微尺度下熔体流动过程基本方程。

【关键词】熔体流动；微尺度；数学模型

1.引言

在真空浇注微型件过程中，由于模具型腔的特征尺寸微小及其表体比相对较大等原因，不仅可能出现不同于宏观流动的规律，而且许多在宏观流动中被忽略的因素，可能成为主要的影响因素[1]。本文围绕真空浇注微型件过程中熔体充模流动行为这一核心问题，从粘性流体力学的基本方程入手，借鉴传统注塑成型中熔体充模过程数学模型的建立方法，构建微尺度下熔体流动过程基本方程。

2.高聚物熔体的类型

高聚物熔体的充模过程是一个复杂的非稳态、非等温的非牛顿流体流动和传热过程。随着聚合物熔体压力、温度、剪切速率等物理量在充模过程中的发展变化，熔体的流动行为将直接影响制品的内部结构、取向、残余应力和最终形状[2]。聚合物流变学正是由聚合物成型发展的需要而提出的，它主要研究聚合物熔体在外力作用下产生的应力、应变和应变速率等力学现象与熔体粘度的关系，以及影响这些关系的各种因素。根据聚合物熔体在流动过程中粘度与应力、应变速率之间的关系，可将聚合物的流动行为分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。

（1）牛顿粘性定律

牛顿在研究低分子液体的流动时，发现剪切应力和剪切速率存在着一定关系，可表示为：

牛顿流体具有以下变形特点：

1）流体的变形随时间不断发展，有时间依赖性。其切应变：

2）粘性流体的变形是永久性的。当外力移除后，变形不能恢复。

3）对抵抗变形的粘性力所做的功，在流动中转为热能而散失。

4）线性粘性流动中剪切应力与剪切速率成正比，粘度与剪切速率无关。

真正属于牛顿流体的只有低分子化合物的气体、液体或溶液，如空气、水和甲苯等。而高聚物的溶液、悬浮物和熔体的绝大多数是属于非牛顿流体。但是，对非牛顿流体，限制在一定时间尺度和剪切速率范围内，经常视其为牛顿流体。

（2）非牛顿流动

凡不服从牛顿粘性定律的流体称为非牛顿流体。非牛顿流体的流动称为非牛顿型流动。非牛顿流体在一定温度下，其剪切应力与剪切速率不成正比的线性关系，其粘度不是常数，而是随剪切应力或剪切速率而变化的非牛顿粘度。在高分子液体范畴内，可以粗略地把非牛顿流体分为纯粘性流体、粘弹性流体和有时间依赖性的流体等几类。其中纯粘性流体可分为宾汉流体、假塑性流体和膨胀性流体。

宾汉流体如图1所示，其流动特征是存在剪切屈服应力，因此具有塑性体的可塑性质。只有剪切应力高于时，宾汉流体才开始流动。其流变方程为：

式中称为宾汉粘度。宾汉流体之所以有这样的流变行为，是因为这种流体在静止时内部有凝胶性结构。当外加剪切应力超过时，这种结构才完全崩溃，然后产生不能恢复的塑性流动。宾汉流体在流动时或者像牛顿流动，称为理想的宾汉流动；或者像假塑性的非牛顿流动。

假塑性流体是非牛顿流体中最常见的一种。橡胶和绝大多数高聚物及其塑料的熔体和浓溶液，都属于假塑性流体。如图1所示，此种流体的流动曲线是非线性的。剪切速率的增加比剪切应力增加得快，并且不存在屈服应力。其特征是粘度随剪切速率或剪切应力的增大而降低，常称为剪切变稀的流体。

膨胀性流体也不存在屈服应力。如图1所示的流动曲线，剪切速率增加比剪切应力增加要慢一些。其特征是粘度随剪切速率或剪切应力的增大而升高，故称为剪切增稠的流体。

描述假塑性和膨胀性的非牛顿流体的流变行为，可用幂律函数方程：

3.熔体微尺度下的流动控制方程

熔体在微尺度下充模流动的行为与宏观流动相比，既有共同点，又有相异之处。因此，可以基于粘性流体力学的基本方程，借鉴传统熔体填充过程中的基本方程，根据熔体微尺度下填充成型的特点，引入合理的假设和进行必要的简化，建立熔体在微小型腔中流动的连续性方程、动量方程和能量方程，确定合理的初始条件和边界条件，从而得到充填过程的数学模型。

（1）连续性方程

连续性方程是质量守恒原理在流体运动中的表现形式。在微观流体流动时，当流场的结构尺寸和流体分子的平均自由程非常接近时，就打破了连续介质力学的范畴，此时连续性方程不再满足，例如稀薄气体在微型管道中的流动。对于微型模具的熔体充模过程，由于模具型腔的微细结构尺寸通常在1μm以上，相比高聚物熔体分子的尺寸仍然较大，因此熔体充模流动仍然属于连续介质力学的范畴，即流体的连续性方程仍然成立。在直角坐标系中任选一个边长为dx、dy、dz的立方体积微单元作为控制体，流场中任一点处，在t时刻的速度为，其三个速度分量分别为、和，流体密度为。假设流体在流动过程中没有发生化学变化。根据质量守恒定律，单位时间的控制体内物质的增量，应等于输入与输出控制体的质量之差，与控制体原质量无关。可得流体的连续性方程：

（2）动量方程

动量方程是动量守恒定律在流体运动中的表现形式。动量守恒定律也是任何流动系统都必须满足的基本定律。在微米级流体领域，动量守恒定律要求微元体中流体的动量变化率等于微元体上的各种力之和。流体运动中作用外力可分为质量力和表面力。质量力是作用于流体质量上的非接触力，作用于流体内部每个质点上。表面力为流体通过接触面而施加在另一部分流体上的作用力，由于流体的流动或变形，可将表面力视为在控制体表面上产生的相互作用力。根据动量守恒定律可以推导出单元控制体x，y，z三个方向上动量守恒方程：

（3）能量方程

能量方程是能量守恒定律在流体运动中的表现形式。能量守恒定律是包含有热交换的流动系统必须满足的基本定律。当型腔特征尺度降至微米量级时，熔体的流动行为仍然遵循能量守恒定律。为了便于对流体能量进行表征，常用温度T的方程来表述。而在真空铸型微型件中温度又是直接关系着填充效果的重要因素，因此使用内能来代替总能量建立能量守恒方程比在宏观中更为正确。流体的剪切流动的能量方程为

4.总结

本文基于粘性流体力学的基本方程，借鉴传统注塑成型中熔体充模过程数学模型的建立方法，构建了微尺度下熔体流动过程基本方程，为高聚物熔体真空铸型的数值模拟提供基础理论依据。

参考文献

[1]张响，张世勋，李倩，申长雨.微注射成型研究进展[J].高分子材料科学与工程，2012，5.

[2]庄俭，于同敏，王敏杰.微注塑成形中熔体充模流动分析及其数值模拟[J].机械工程学报，2008，9（44）：43-49.

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