互联电力系统的混沌同步控制

摘要：随着电力系统日趋复杂和庞大，电力系统在实际运行过程中，混沌现象以及混沌振荡的发生，使得电力系统产生一种非周期的，似乎是无规则的、突发性或阵发性的机电振荡，在振荡严重的情况下，会导致整个电力系统的解列，甚至崩溃，从而造成大面积的停电。本文对互联电力系统的混沌控制策略进行研究，以保证系统安全、稳定和经济运行，对混沌控制方法进行了深入的研究，采取适当的控制手段，取得了一些对电力系统混沌控制具有理论意义和实用价值的成果。

关键词：电力系统；混沌振荡；LaSalle不变集定理；互联电力系统

1.背景介绍

所谓混沌是指某种对初始条件敏感的运动，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则，类似随机的现象，是普遍存在的复杂运动形式和自然现象。混沌在电力系统的研究虽然只有近20年， 但已有大量的混沌现象被研究和分析，如机电系统混沌振荡，以及分叉、混沌与电压骤降， 电力经济中的混沌， 水轮发电机组调速系统中控制器参数诱发的混沌等。电力系统是一种典型的强耦合、高度非線性、多变量的动态系统，它能展示丰富的非线性动力学行为。电力系统中的混沌振荡不仅会破坏电力系统的稳定运行，而且即使在加装阻尼稳定器时也很难得到控制，即混沌现象貌似随机的性质使得大多数电力系统分析和控制方法变得不再适用，因此对互联电力系统混沌现象的控制方法和策略进行研究具有重要的理论研究意义和实践应用价值。目前国内外文献对于电力系统产生混沌的机理研究得比较多， 但是对于如何有效地控制混沌振荡， 设计出比电力系统稳定器更加优越的电力系统控制器， 以防止重大停电事故的发生， 则研究得比较少。

2.混沌控制

混沌控制是非线性动力学科的重点研究领域。定义5-1[1]：考虑一个非线性系统X=F（X，t）+U，其中X=（X1，X2，…，Xn），F=（F1，F2，…，Fn），U为控制函数。假设U=0时，系统产生混沌现象。当控制器U满足一定的输入条件时，那么系统就能够到达稳定态，也就是说系统得以控制。当U为线性控制函数时，这种控制方式称为线性变量反馈控制；反之，当U为非线性控制函数时，这种控制方式称为非线性控制。

混沌控制方法的物理机制相同：采取一定的控制措施，使初始混沌系统的最大李雅普诺夫指数由正变为负，从而实现由混沌态到稳定态的转变。控制混沌的主要目的可分为两类。一是通过适当的策略、措施，得到所需的周期性稳定运行轨道，或者抑制、消除混沌；二是根据实际需要，选择混沌吸引子中的不稳定周期轨道作为控制目标，从而将系统的混沌运动轨迹转换到期望的周期轨道上。不同的控制策略必须遵循这样的原则：控制律的设计须最小限度的改变原系统，从而对原系统的影响最小[2]。

3.混沌同步

混沌同步属于混沌控制中的一个重要分支，但仍然存在一定差异。两者的控制目标不相同。混沌控制的主要目的是对混沌进行抑制，进而消除混沌。混沌同步的控制目标为另一个混沌系统，实现两个统的混沌轨迹完全重构[3]。混沌同步是使一个混沌系统与另一个混沌系统同步，其判断依据是两个系统的状态误差趋向于零。

定义5-2[36]：考虑两个混沌系统，一个为

（5-1）

该系统也称为驱动系统，在通信中也叫发射系统。

另一个混沌系统为

（5-2）

其中，G为系统所加的控制器。该系统也称为响应系统，在通信中也叫接收系统。

这两个系统可以是完全相同的 ，也可以是不同的，但是它们的初始条件不能相同。

分别为（5-1）及（5-2）的解，如果两个系统与控制器G有关，满足如下条件：

当存在 的一个子集 存在时，使得在初值 ，当 时存在：

则称响应系统和驱动系统达到同步。

混沌同步方法主要有驱动-响应同步法、主动-被动同步法、反馈同步法（线性反馈、非线性反馈）、耦合同步法、状态观测器方法、自适应控制法等[4]。

4.基于非线性反馈控制的互联电力系统的混沌同步

4.1非线性反馈控制下电力系统混沌同步的实现原理

本小节主要研究基于非线性反馈控制方式的电力系统混沌同步的实现原理，并从非线性稳定性方面分析其可行性。

（1）非线性反馈控制的主要原理

整数阶系统模型仍然为二阶互联电力系统模型，如下所示

4.2数值仿真

参数选取如下， a=0.02，b=0.2，c=0.2593，e=1，采样周期τ=0.01s，仿真时间为60s。对于驱动系统（5-5），初始条件选取 ；对于响应系统（5-6），初始条件选取 ；对于误差系统，初始值为e1（0）=1.0，e2（0）=1.1。

利用龙格-库塔法，通过Matlab仿真软件进行数值分析，分别得到非线性反馈控制方式下，两个系统的同步曲线图、同步误差图如图5-1所示。

由图（a）可知，当t大概为0.6s时，系统（5-5），（5-6）的状态变量 运行轨迹达到了同步；由图（b）可知，当t接近0.3s时， 趋于同步。同理，由图（c）、（d）可知，当t接近0.6s时，误差系统状态变量e1（t）的运行轨道基本上在横坐标轴处稳定，驱动系统（5-5）和响应系统（5-6）达到完全同步，且稳态误差精度约为10-3数量级。由图（e）、（f）可知，当t接近0.3s时，e2（t）的运行轨迹稳定在零点附近，即系统（5-5）和（5-6）达到完全同步，稳态误差精度在10-3数量级左右。

（a） x1（t），x2（t）的时间序列图 （b） y1（t），y2（t）的时间序列图

（c） e1（t）的时间相应曲线 （d） e1（t）的局部时间序列图

（e） e2（t）的时间相应曲线 （f） e2（t）的局部时间序列图

图5-1 驱动系统（5-5）和响应系统（5-6）的非线性反馈控制同步曲线

5.控制输入值对互联电力混沌系统同步的影响

本小节讨论了控制函数中控制输入值对互联电力混沌系统同步效果的影响。

（1） 控制输入值较小时的影响

将（5-8）式中的控制输入函数改为如下，

其他条件保持不变，得到驱动系统（5-5）和响应系统（5-6）的非线性反馈控制同步曲线以及误差系统状态变量响应曲线如图5-2所示。

由图（a），（b）可知，当t大概为2.3s时， 运行轨迹达到了同步；当t接近2.6s时， 趋于同步。同理，由图（c），（d）可知，当t接近2.3s时，e1（t）运行轨道稳定，系统达到完全同步，稳态误差精度达到10-3数量级。由图（e），（f）可知，当t接近2.6s时，e2（t）的运行轨迹稳定在零点附近，系统达到完全同步，稳态误差精度在10-3数量级左右。

根据以上分析可知，当控制输入值较小时，虽然不影响同步效果，且稳态误差精度仍有10-3数量级，但两混沌系统到达同步的时间变长，这将不利于电力系统混沌振荡的及时控制。

（a） x1（t），x2（t）的时间序列图 （b） y1（t），y2（t）的时间序列图

（c） e1（t）的时间相应曲线 （d） e1（t）的局部時间序列图

（e） e2（t）的时间相应曲线 （f） e2（t）的局部时间序列图

图5-2 驱动系统（5-5）和响应系统（5-6）的非线性反馈控制同步曲线

（2） 控制输入值较大时的影响

将（5-8）式中的控制输入函数改为如下，

其他条件仍然保持不变，计算机仿真得到系统状态变量同步曲线如图5-3所示。

由图可知，当t为0.1s时， 运行轨迹达到了同步；当t接近0.07s时， 趋于同步；当t接近0.1s时，e1（t）运行轨道稳定；当t接近0.07s时，e2（t）的运行轨道稳定。且稳态误差精度均在在10-3数量级左右。

（a） x1（t），x2（t）的时间序列图 （b） y1（t），y2（t）的时间序列图

（c） e1（t）的时间相应曲线 （d） e1（t）的局部时间序列图

（e） e2（t）的时间相应曲线 （f） e2（t）的局部时间序列图

图5-3 驱动系统（5-5）和响应系统（5-6）的非线性反馈控制同步曲线

前后对比可得，当控制输入值较大时，同步效果非但影响不大，稳态误差精度基本保持不变，但两混沌系统到达同步时间过短，这将在解决电力系统混沌振荡时，使同步控制失去实际意义。

因此，选取适当的控制函数很有必要，这是保证混沌系统达到同步的前提条件，因此需要不断的实践以及丰富的研究经验。

6.基于主动反馈控制的互联电力系统的混沌同步

6.1主动反馈控制下电力系统混沌同步的实现原理

（1） 主动反馈控制的主要原理

电力系统的驱动系统仍然为（5-5），对应的响应系统为（5-6）。

令 ，代入（5-5）、（5-6），此时，这两系统的误差系统仍如（5-7）所示。

根据主动反馈同步控制定义[37]，选取互联电力系统的控制律

其中， 为控制输入函数。

将上式代入（5-7），系统的同步误差函数为

此时，由（5-7）所表示的非线性误差系统转化成了易于控制的线性系统。这就是主动反馈控制方式的主要思想。

（2） 误差系统的稳定性分析[36]

假定J是误差系统（5-13）在平衡点 时的雅可比矩阵。对于整数阶互联电力系统，根据非线性系统的稳定性理论（前面第2章有详细介绍），如果雅可比矩阵J 满足条件 ，那么当t→∞时，同步误差函数 ，即实现了驱动系统和响应系统的混沌同步。

选择控制输入函数V为

代入（5-13）式，有 ，其中 ，计算可得λ1=-1，λ2=-0.98，显然满足稳定性条件，系统能实现混同步。

联立（5-12），（5-14）式，可得到控制函数为

上一小节已经讲过，鉴于方程（5-4）的非自治特征，为使系统（5-5）和（5-6）获得良好的同步效果，控制函数 中的控制输入 应取较大值[37]。其次，为使非线性反馈控制和主动反馈控制这两种控制方式前后具有对比性，因此控制函数选取如下

这时，系数矩阵 ，其中 ，计算可得λ1=-10，λ2=-19.6，显然满足稳定性条件，系统能实现混同步，并且同步误差将大大减小。

6.2数值仿真

参数选取仍保持不变，采样周期 ，仿真时间为60s。同样利用龙格-库塔法，分别得到两个状态变量响应曲线如图5-4所示。

由图可知，当t大概为0.5s，0.3s时，x1（t），x2（t）运行轨迹达到了同步，y1（t），y2（t）趋于同步。同理，当t接近0.5s，0.3s时，误差系统状态变量e1（t），e2（t）的运行轨道基本上在零坐标轴处稳定，系统达到完全同步，且稳态误差精度约为10-3数量级。

（a） x1（t），x2（t）的时间序列图 （b） y1（t），y2（t）的时间序列图

（c） e1（t）的时间相应曲线 （d） e1（t）的局部时间序列图

（e） e2（t）的时间相应曲线 （f） e2（t）的局部时间序列图

图5-4 驱动系统（5-5）和响应系统（5-6）的非线性反馈控制同步曲线

7.两种控制方式的混沌同步效果比较总结

为使非线性反馈控制方式和主动反馈控制方式具有一定的可比性，选取图5-1、图5-4进行比较分析，得到结论如下：

1） 就驱动系统和响应系统由混沌态变为稳定同步所需时间而言，主动反馈控制方法相对快一点，但在整数阶互联电力系统中，效果不是很明显；

2） 从最终同步稳态误差方面来讲，主动反馈控制方法与非线性反馈法精度基本在一个数量级上，且精度相对较高。

综上可知，要实现简单整数阶互联电力混沌系统的同步，在其控制方式的选择方面，主动反馈控制方法的同步效果与非线性反馈控制方法相差不大，均能得到良好的同步效果。

8.小结

本章前两节简要阐述了混沌控制和同步定义、方法及其在广义上的统一。接下来，详细介绍了用于互联电力系统的混沌同步控制所采用的两种控制方式：非线性反馈控制和主动反馈控制。从稳定性理论分析和仿真实验两方面，最终都证实这两种同步控制方法均能使混沌系统趋于稳定运行状态。

在实际判别混沌同步时，经常用到两种方法，一是本章用到的稳定性分析方法，另外一种是Lyapunov函数法[5]。虽然Lyapunov函数法容易对系统的全局稳定性做出判定，但是由于Lyapunov函数的选取没有一定的规则，很难找到合适的Lyapunov函数，因此本论文混沌同步控制研究不采用该方式。

参考文献

[1] 卢强，梅生伟，孙元章.电力系统非线性控制[M].北京：科学出版社，1993.

[2] 刘美菊.电力系统混沌动力学行为分析与控制研究[D].沈阳：沈阳农业大学，2009.

[3] 蒲兴成.混沌同步控制及其研究[D].重庆：重庆大学，2006.

[4] 单梁.混沌系统的若干同步方法研究[D].南京：南京理工大学，2006.

[5] 张静.混沌同步控制中若干问题的研究[D].大连：大连理工大学，2008.

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