概率和期望的概念史话及其名题选解

【摘要】本文追索到从十五世纪末到十八世纪初，诸多数学家与民间人士关于赌金问题的纷争与探究，揭示概率学的两个基本概念“概率”与“期望”的产生与形成过程，并选解相关名题以激活史料陈题的现实价值.

【关键词】概率；期望；帕西奥里；梅雷；帕斯卡；惠更斯；伯努利；棣莫弗

据悉，在新近修订的高中数学课程内容草案中，“统计与概率”大单元的分量比以前有所加强，这更激发笔者对此单元的探源研究.

1概率和期望的概念史话

概率和期望是“统计与概率”大单元的两个核心概念，其萌发的源头至少可以追索到15世纪意大利数学家帕西奥里（L.Pacioli，1445～1514）在1494年出版的著作《算术、几何、比及比例全书》中记载着的一个问题——

例1甲、乙两人在一次比赛前约定谁先赢6次才赢得全部赌金，而实际上甲赢5次、乙赢2次时就中断比赛，问此时应如何分配赌金？

帕西奥里（有书译作“帕乔利”）在此书上的答案是甲、乙应按5∶2分配赌金；按照卡丹（G.Cardano，1501～1576）在1539年出版的著作《实用算术与测量》中解答同类问题的续赛设想，例1中甲、乙分配赌金的比例是（1+2+3+4）∶1=10∶1；按照意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartanglia，1499～1557）在1556年出版的著作《数量通论》中解答同类问题的续赛新设想，例1中甲、乙分配赌金的比例是（6-1+4）：（6+1-5）=9∶2.

意大利三位数学家帕西奥里、卡丹、塔尔塔利亚对于例1这类问题的解法都是错误的.一百多年后的法国另起炉灶，起因源自赌注之争.

例2一天，赌徒梅雷（Mere，1610～1685）与侍卫官赌投骰子，约定先投出3次6点数时梅雷就赢得全部赌金，先投出3次4点数时侍卫官就赢得全部赌金.可是，当投出2次6点、1次4点时，侍卫官应急办事，赌投骰子中断，梅雷与侍卫官如何分配全部赌注呢？

梅雷认为分配比例等于3∶1，侍卫官认为分配比例等于2∶1.两人争论不休，都不能说服对方.梅雷只好写信求助于帕斯卡（B.Pascal，1623～1662），询问究竟应该如何分配这次赌注，17岁就在几何上崭露头角的帕斯卡思考此类问题，觉很既有趣味又有价值，就把这类赌注分配问题和自己的见解写信寄给数学家费马（P.D.Fermat，1601～1665），法国的这两位数学家以后多次通信（第2次通信日期是1654年7月29日）切磋这个问题，用续赛完全列举的思路解决了梅雷和侍卫官的赌注分配问题.

解视掷骰出4点、6点为有效掷骰，已经有效掷骰3次，最多再有效掷骰2次就必见输赢，全部4种情形列举如下——

（664）6（4），（664）6（6），

（664）44，（664）46.

所以，梅雷和侍卫官的赌注分配的比例是3∶1.

这样看来，梅雷原先提出的方案正确.假如梅雷此后改邪归正，戒赌而专心从事这类问题的后续研究，那么梅雷就会成为概率论的真正奠基人，而不会让帕斯卡（天才数学家）和费马（业余数学家之王）摘此殊荣！

按照帕斯卡和费马的这种思路解答150多年前帕西奥里、卡丹、塔尔塔利亚等人悬而未决的例1，当时甲、乙分配赌金的比例应是15∶1.

帕斯卡和费马的通信内容蕴含着概率的概念，有许多催生概率论诞生的结论雏形.费马在主业巅峰时担任法国大理院法庭法官和天主教联盟主席，地位显赫、声名远扬，于是他与帕斯卡关于赌金分配问题（又称点数问题）的通信易被大范围地、持续地传播.

传到荷兰，惠更斯（C.Huygens，1629～1695）受到启发和鼓舞，专心研究过点数问题.物理学家、天文学家惠更斯在28岁时为数学老师斯霍腾的著作《数学练习》编写附录，幸运的是斯霍腾老师在此附录中公正地为惠更斯署名，使得他成为概率论第一本著作的独立作者，在这本附录性著作《论赌博中的推理》中，惠更斯提出19个命题或问题，其中第3题正式提出期望的概念：

如果某人赢得数目为a和b两笔钱的机会分别为p和q，那么此人的期望值为[SX（]pa+qb[]p+q.

瑞士数学家雅各布·伯努利（J.Bemoulli，

1654～1705）在去世8年后的1713年，伯努利家族整理出版他的著作《猜想的艺术》，共分四部分，第一部分收录惠更斯的附录性著作《论赌博中的推理》并作出评注，有些评注比原作更有价值，其中注明了超过两个数据的期望公式.

法裔英国数学家棣莫弗（DeMoivre，1667～1754）于1711年在《皇家学会学报》发表论文《抽签的计量》，其中记载着用组合数表示独立重复试验的二项分布概率公式，1718年将此论文修订扩充为系统的概率论专著《机会论》.2概率和期望的名题选解

我手头上的数学史书记载着概率、期望概念在发生、发展过程中一些有价值的名题，但没有看到详细解答过程，下面补遗其中四道题的解答过程.

例3（帕斯卡问题）甲、乙、丙三人博彩，假设甲需再赢1点就最终胜出，乙需再赢2点就最终胜出，丙需再赢2点也最终胜出.此时中止博彩，求甲、乙、丙分配彩金的比例.

解在最多3次的有效赢得的点数中，第1次如果甲取得1个点，概率为13，则甲最终胜出，结束；如果乙或丙赢得1个点，概率为23，以后分三类，不妨设乙赢得这1个点.

第2次假如甲赢得1个点，概率为13，则甲最终胜出，结束；假如乙赢得1个点，概率为13，则乙最终胜出，结束；假如丙赢得1个点，概率为13，则还要进行第3次有效赢得点数.

第3次假如甲赢得1个点，概率为13，则甲最终胜出，结束；假如乙或丙赢得1个点，概率为23，则乙或丙最终胜出，结束.

总之，甲赢得彩金的概率等于

13+23·[13+0+13·（13+0）]=1727.

因为乙、丙分配彩金相等，所以甲、乙、丙分配彩金的比例是17∶5∶5.

评注帕斯卡最初用列举方法算出的比例是32∶11∶11，接着用期望值方法算出的比例是17∶5∶5.在费马给帕斯卡的回信中，费马指出17∶5∶5才是甲、乙、丙分配彩金的正确比例.

例4（惠更斯问题）甲、乙掷一对骰子，约定若掷得点数之和为7，则甲赢；若掷得点数之和为10，则乙赢；若掷得点数之和等于其它数，则甲与乙平分赌金.设赌金为S，求甲、乙两人赢得赌金的期望值.

解甲、乙掷一对骰子，共有62=36种情形（i，j），i，j∈{1，2，3，4，5，6}.其中，点数之和为7的情形1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1有6种，点数之和为10的情形4+6、5+5、6+4有3种，其它情形占有27种.所以，甲、乙两人赢得赌金的期望值分别为

S36（6+0+272）=3972S，S36（0+3+272）=3372S.

评注投骰、掷币、摸球、抽签是公认为机会均等的四种游戏，在概率论问题中经常被用到，而古人用得最多的概率道具是投骰.

例5（棣莫弗问题）袋中装有4个白球、8个黑球，这12个球除颜色有黑、白差异之外再没有其它区别.A、B、C三人从中每次取出一个球，取球次序是A、B、C、A、B、C、…，如此往复，直到有一人取得白球就获胜，试求A、B、C三人获胜的概率.

解三人A、B、C往复取球不放回，最多取9次就必有1人获胜.

因为A获胜的情形共有三种“白、黑黑黑-白、黑黑黑-黑黑黑-白”，所以A获胜的概率为P1=412+812·711·610·49+812·711·610·59·48·37·46

=13+5611·9·5+211·9=23155·9=77165=715.

因为B获胜的情形共有三种“黑白、黑黑黑-黑白、黑黑黑-黑黑黑-黑白”，所以B获胜的概率为P2=812·411+812·711·610·59·48

+812·711·610·59·48·37·26·45

=83·11+79·11+45·9·11=1595·9·11=53165.

因为C获胜的情形共有三种“黑黑白、黑黑黑-黑黑白、黑黑黑-黑黑黑-黑黑白”，所以C获胜的概率为P3=812·711·410+812·711·610·59·48·47

+812·711·610·59·48·37·26·15·44

=283·5·11+49·11+15·9·11=1055·9·11=733.

所以，A、B、C三人获胜的概率分别为715、53165、733.

评注运用A、B、C三人获胜的概率之和等于1，可以简化此题的解题过程，使解题时间大约节省四分之一.

例6（雅各布·伯努利问题）A、B两人在玩两颗骰子，规定A先投出6点就获胜，B先投出7点就获胜，由A先投1次，再由B投2次，接着由A投2次，由B投2次，……，如此操作直到有一人获胜为止.求A、B两人最终获胜的概率.

解依题意，每次同时投掷两颗骰子，共有62=36种情形.其中，掷出6点的情形占有5种，掷出7点的情形占有6种，则每次投掷两颗骰子A获胜的概率为p1=536、B获胜的概率为p2=636=16.

于是，A最终获胜、B最终获胜的概率依次为

P（A）=536+3136（56）2（536+3136·536）

+3136（56）2（3136）2（56）2（536+3136·536）+…

=536+3136（56）23353621-（3136）2（56）2

=536+3136·837522631=372780814716=1035522631，

P（B）=3136（16+56·16）+3136（56）2（3136）2（16+56·16）

+3136（56）4（3136）4（16+56·16）+…

=3136·11361-（56）2（3136）2=36·31·11363-25·312=1227622631.

评注①雅各布·伯努利设计的这种投掷次序“A、BB、AA、BB、…”比单纯交替的流行次序“A、B、A、B、…”更合理；②在雅各布·伯努利出生前61年的1593年，法国数学家韦达（F.Viète，1540～1603）在著作《各种各样的解答》中就解决了无穷递缩等比数列的求和问题.

文尾提供一道没有解答过程的问题，期盼抛砖引玉、引爆争鸣！

思考题（惠更斯问题）甲、乙各有12个筹码，掷3颗骰子.若掷得11点，则甲送给乙1个筹码；若掷得14点，则乙送给甲1个筹码.最先得到所有24个筹码者为胜者，求甲、乙获胜的概率之比.

参考文献

[1]汪晓勤、韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002：216～226，272.

[2]（英）斯科特著，候德润、张兰译.数学史[M].北京：中国人民大学出版社，2010：187～194.

[3]李天华、徐济华.数学奇观[M].武汉：湖北少年儿童出版社，1989：94～98.

[4]杜瑞芝主编.数学史辞典[M].济南：山东教育出版社，2002：109，120～122，300，552.

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