二维连续型随机变量卷积公式探讨

Discussion of Continued Random Biovariable on Formula for Convolution

Huo Haifeng； Wen Xian

（广西工学院鹿山学院，柳州 545616）

（Lushan College of Guangxi University of Technology，Liuzhou 545616，China）

摘要：本文主要讨论二维独立连续型随机变量，多数教材在求解卷积公式时采用积分变量代换，在教学中大多数学生难以明白，本文将利用微积分学基本定理对卷积公式证明，帮助学生更好的理解和掌握卷积公式，并进行实例分析。

Abstract:This article focuses on independent Continued Random Biovariable, the majority of materials used substitution variable to integral for solving convolution formula, the majority of students in teaching difficult to understand, the convolution formula byusing the fundamental theorem of calculus to prove, and in order to help students Better understand and master the convolution formula, and to analyze an example.

关键词： 卷积公式 独立随机变量

Key words: Convolution Formula；Independent Random Variables

中图分类号：O211.3 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）27-0305-01

0引言

1933年，前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫对概率进行了公理化定义，将概率论建立在严密的数学基础上。从此，概率论成为了数学学科的一个分支。随着引入随机变量 、分布函数、密度函数等概念，数学家借助测度论和分析学等强大的数学工具来研究随机变量取值的规律，创立了概率论与数理统计这门学科。因此在《概率论与数理统计》课程的教学中，若能够复习微积分等数学知识，就可以分散难点，使学生很容易接受。因此掌握和领会微积分知识是学好概率论与数理统计的基础。

教材（[1]、[2]）中二维独立连续型随机变量和函数概率分布的卷积公式采用积分变量代换的方法进行证明，在教学中大多数学生难以明白，为了能让学生更深刻的理解概率公理化定义的重要意义，本文将利用微积分学基本定理对教材[1]、[2]中二维独立连续型随机变量和函数概率分布的卷积公式证明过程进行说明，便于大多数学生更好的理解和掌握卷积公式。

1主要结论

引理1[3]（微积分学基本定理）设f（x）在[a，b]上连续，则F（x）=■f（t）dt在[a，b]上连续可导，且

F（x）=（■f（t）dt）′=f（x），x∈[a，b]（1）

推论1[3]设f（x）在[a，b]上连续，则F（x）=■f（t）dt在[a，b]上连续可导，且

F（x）=（■f（t）dt）′=f（u（x））u′（x），x∈[a，b]（2）

定理1设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y），当X和Y独立时，X、Y的边缘密度函数为fX（x），fY（y），则和函数Z=X+Y的概率密度函数的卷积公式为：

f■（z）=■f■（x）f■（z-x）dx（3）

f■（z）=■f■（z-y）fY（y）dy（4）

证明：（分布函数法）设Z的分布函数为FZ（z），则

FZ（z）=PZ?燮z=PX+Y?燮z=■f（x，y）dxdy（5）

由微积分知识将二重积分化成累次积分（5）式变为：

FZ（z）=■[■f（x，y）dy]dx（6）

在教材教材（[1]、[2]中（6）式采用变量代换进行积分，在课堂讲授中不好理解，本文应用推论1直接对（6）式求导可得：

f■（z）=f′■（z）=■=■f（x，z-x）dx（7）

由于X和Y独立，（7）式变为：

f■（z）=■fX（x）fY（z-x）dx

则结论得证，同理可证（4）式。

2应用举例

举例 一电路系统L由两个相互独立的电子元件连接而成L1，L2如图1所示，当元件L1损坏时，元件L2才开始工作，设L1，L2的寿命分别为X，Y，且X，Y均服从指数分布E（λ），（λ＞0），求电路系统的寿命Z的概率密度函数。

解：由题意分析可知电路系统的寿命Z是两个电子元件L1，L2的寿命之和，即求Z=X+Y的概率分布。

X，Y均服从指数分布E（λ），（λ＞0），则X，Y的概率密度函数分别为：

f■（x）=λe-λx，x＞00，x?叟0，fY（y）=λe-λy，y＞00，y?叟0

求解Z=X+Y的概率密度函数，由定理1可知：

f■（z）=■f■（x）f■（z-x）dx

求解得

f■（z）=λ2ze-λz，z＞00，z?燮0。

3结论

在《概率论与数理统计》课程的讲授中，结合微积分知识，使得学生更加深刻理解概率公理化的重要意义，同时也使得学生真正理解微积分在大学数学中的重要作用，大大激发了学生的学习兴趣，有效的推动了大学数学课程的教学改革。

参考文献：

[1]吴赣昌.概率论与数理统计[M].北京：中国人民大学出版社，2008.

[2]黄坚.概率论与数理统计[M].北京：科学出版社，2010.

[3]朱来义.微积分[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]姜红艳，高峰.卷积公式的推广[J].高等数学研究，2009，12（4）：52-53.

[5]李瑞阁，黄尧．服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式[J].南阳师范学院学报，2007.6：18-20.

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