空投救灾物资的数学模型及其最优方案

【摘 要】本文探讨了使用降落伞向灾区空投救灾物资的最优方案问题，并得出了相应的最优化数学模型。

【关键词】救援物资 阻力系数 价格

【中图分类号】O13【文献标识码】A【文章编号】1674-4810（2012）24-0075-01

一 问题背景

某部门要选购一些降落伞，向灾区空投2000千克的救灾物资。降落伞的价格由三部分组成，其中伞面的费用由半径r决定，绳索费用为4元/米，每个伞有16根同规格的绳索；降落伞的固定费用为200元。已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，救灾物资位于球心正下方球面处。并且降落伞在降落过程中受到空气的阻力，空气阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比（比例系数k=2.9）。

要解决的问题：一是将总的物资进行怎样的分配，使得物品落地不会破损；二是选择怎样的购买降落伞的方案，从而使得这次空投的总费用最少。

二 模型的假设

飞机水平进行空投，物资一离开飞机，降落伞就将伞面打开；在投放时只受重力和空气阻力的影响；每根绳索的承受力为无穷大，并且质量忽略不计；投放的物资可以合理地组合，并且每个降落伞下的物资看成质点；速度的正方向竖直向下。

符号说明：k：阻力系数；f：阻力；a：降落伞的下降加速度；g：重力加速度；v0：开始降落的速度；v：速度；r：伞的半径；L：绳索的长度；x：降落伞下降的高度；t：物体下降时间；c：降落伞的费用；cr：对应半径降落伞伞面的费用；x1，x2，x3，x4，x5，：分别所需半径为2，2.5，3，3.5，4的个数；z：使用降落伞的总费用。

三 问题分析

首先明确了投放的高度是500米，落地的最大速度是20米/秒。这是投放物资是给定的条件。求出时间、落地位移、速度、加速度与重物的关系，从而求出每一种规格的最大承载量。然后，在每一种规格下按照小于等于最大承受重量进行物资的分配，从而保证物资在投放时不因落地速度大于20米/秒，而使物资受损。

明确空投费用是降落伞的总费用，要使得费用最少，就得选择购买方案时所花费用最少，为此将用到优化方法进行求解。首先，算出每种规格降落伞绳索的长度，问题给定重物位于球心正下方球面处，由该条件可处理绳索问题。然后算出每一种规格的降落伞的总费用，包括三部分：绳索，伞面费用，固定费用。最后在求出每一种规格降落伞的费用的情况下，运用《运筹学》的知识列出并求解该优化问题。

四 数学模型的建立与求解

因为v′′<0，又 = v′（m）=0，所以v（m）是关于m的单调增函数，同理可知，v是关于m的单调增函数。因此，当v最大时，降落伞的最大载重量m也最大。

由球的表面积公式s=4πr2，结合问题中降落伞的落地速度不能超过20米/秒，以此确定不同半径伞的最大载重量：

降落伞的费用是由三部分组成——绳索费用、伞面费用、固定费用，由题目给的信息可知：L= ，故绳索部分的费用为16×4× ；伞面费用已给定；固定费用相同，每种规格的都是200元；综合可得出不同规格降落伞的费用计算表达式为：c=16×4×r+cr+200。

为简化计算求出不同半径降落伞费用，可以得到表3：

综上可列出下列线性表达式：

minZ=446x1+596x2+821.5x3+1176.8x4+1562x5+

用lingo可解得总费用z的最小值是4924元；此时选用半径为2米的降落伞10个，2.5米的两个，3米的4个。代值返回计算得出每个降落伞满载物质的总重量为2005.3千克>2000千克，因此，该选购方案可行。

参考文献

[1]吴振奎.运筹学[M].北京：中国人民大学出版社，2006

[2]袁新生等. Lingo在数学建模中的应用[M].北京：科学出版社，2007

〔责任编辑：陈晨〕

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