群论中的几何直观教学法

【摘要】讨论了几何直观教学在近世代数教学的作用和重要性，从概念的引入、定理的几何意义及应用等方面阐述了加强几何直观教学的意义，并通过例子加以说明.在群论教学中运用几何直观教学法不仅有助于利用形象思维理解和运用抽象的概念和结论，同时也突出了抽象的概念和结论在处理复杂几何图形时的作用.由此可以激发学生学习近世代数的兴趣，培养学生应用近世代数知识的能力.

【关键词】几何直观；群；对称性变换；群作用

【中图分类号】O152.2

近世代数是研究各种代数运算系统的运算性质，并用来解决代数学、其他数学、其他科学以及工程技术中的一些问题的学科.近年来已广泛应用于密码学、微分方程、现代控制理论等数学分支和工程技术、经济与社会科学等众多领域.因此，近世代数是一门重要的数学基础课程.由于该课程具有高度的抽象性和逻辑性且概念多而杂，所以学生在学习时往往很难理解其中抽象的概念和结论，有的学生虽然理论上听懂了，习题却做不出来.究其原因，在于学生对其中的基本概念和结论掌握得不够深刻和准确.如何使学生更好地掌握该课程的基础知识，领略近世代数的思想精髓，一直是我们必须面对的一个难题.

熟知抽象是数学的基本属性之一，然而“抽象思维如果脱离直观一般是很有限度的，同样，如果在抽象中看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质”.由此看出，抽象性和直观性是数学的两个密不可分的部分.我们从多年的教学过程中发现，几何直观仍是领悟近世代数基本思想的有效方法.在教学中，利用几何图形的直观性引导学生理解其中抽象的概念和性质，掌握结论的应用等，不仅可以顺利地达到教学目的，而且可以加深学生对知识的理解，帮助学生克服学习近世代数的畏难情绪，达到事半功倍的效果.本文将从教学实践的角度阐明近世代数的群论教学中加强几何直观教学的方法和好处.

群论是近世代数的重要组成部分.群是刻画事物对称性的工具，它既可以刻画图形的对称性，也可以刻画多个变量函数和物理系统的对称性，对称与群紧密相连.因此从刻画简单的几何图形的对称性引入群的定义并讨论其基本性质，可以很自然地引导学生将群论中抽象的概念和相关结论与现实几何图形的变换联系起来，对群论的基本概念看得见，摸得着，在头脑中留下深刻的印象，从而降低对概念理解的难度，激发他们深入学习的兴趣.

例如刻画正多边形的对称性是理解群的定义的典型例子.在求正四多形所有对称性变换时，既用到了人们对图形的直观认识，又用到了群的运算性质，加深了学生对群的概念的

几何直观理解，同时也说明运用群的定义和性质可以解决一些实际问题，帮助学生在以后的学习中很好地加以利用.另一方面，要想靠观察几何图形的特点给出复杂图形的对称性群却遇到困难，因此在教学中应适时地引导学生了解，必须深入学习群论的更多知识，才能让看起来难以解决的问题迎刃而解.例如，用有限群作用下的轨道长说明正立方体的对称性群G.把立方体的六个面做成集合M，记为M={1，2，3，4，5，6}，其中上、下两底面分别记为1，3；前、后两面为2，4；左、右两侧面为6，5.G中元素把立方体变到自身，因而把它的各个面仍变到它的面.这说明G在M上有群作用，且该群作用是传递的.再考虑将立方体绕Ox轴旋转0°，90°，180°，270°就把面1分别变到面1，面2，面3，面4；绕Oy轴转90°，270°就把面1变到面5和面6（以上旋转都按右手旋转）.把这6个旋转依次记为Ti（i=1，2，…，6）.易知G在面1处的稳定化子StabG（1）有8个元：4个绕Oz轴的旋转及分别对于xOz面、AOz面、yOz面及BOz面的镜面反射.由轨道长的公式有G=∪6[]i=1TiStabG（1）.进而知G由48个元组成的.

实践证明，在群论教学中运用几何直观教学法，不仅有助于利用形象思维理解和运用抽象的概念和结论，而且突出了抽象的理论在处理复杂几何图形时的作用.两者相辅相成，使学生在形象思维与抽象思维的和谐统一中更深刻地掌握群论的内涵，同时也深切地领略到抽象研究的力量，不失为近世代数教学的好方法之一.正如法国数学家绍盖在讲演《几何和直观在数学中的作用》最后所说的：“如果你们把几何这个词不仅理解为欧几里得原本中所出现的意义，并且还把它理解为实际世界经过运用具体直观后的数学化，那么几何必须在任何水平上贯穿在我们的整个数学教学中.”

【参考文献】

[1]石生明.近世代数初步[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]张广祥.抽象代数[M].北京：科学教育出版社，2005.

[3]聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]王敬庚.试论几何直观教学的作用[J].数学通报，1990，（8）：38-42.

[5]G.绍盖.几何和直观在数学中的作用译稿[J].数学通报，1982（2）.

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