近轴垂轴小物条件下的单球面成像问题研究

摘 要：近轴垂轴小物条件下单球面反射中，两种介质的分界面可以视为球面的一部分，物空间的光线经界面反射后成像，即球面反射成像，因此可以采用类似的方法推导出满足近轴条件下的成像规律。结合普通物理学光学部分的教学情况，对单球面发射成像的问题进行分析和研究，给出近轴垂轴小物条件下的成像规律。

关键词：近轴 单球面 研究

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）009-184-02

1 单球面镜成像规律

1.1 单球面镜遵循的成像公式

单球面成像中，反射光线MD的反向延长线理解成经过M点的折射光线MP’则∠P’MC=i’为折射角，因此可以采用类似的方法推导出满足近轴条件下的物象公式，假设图中的光源可以视为理想光源即点光源，从其发出的任意一条光线斜入射于凸球面镜上某一点，我们可以取其中光线相对于主光轴入射角小于或等于100的光线作为参考光线，由此可以忽略因光线入射角度过大造成非对称情况，也就是说相对于主轴上同轴共心的单心光线入射时的最近点，因此在研究成像时可以不考虑由于上述假设造成的象散，根据几何光学的笛卡尔符号法则有：

上式说明近轴垂轴条件下，即不考虑像的横向与纵向畸变影响，在近轴上的点光源通过凸球面后遵循类似于近轴垂轴下的凸面镜折射成像问题。为了研究方便，我们假设在近轴垂轴条件下球面半径与像距的关系为s"=r/2=f"，结合上述的表达式由此整理出近轴垂轴条件下的物象关系为：

对于近轴垂轴小物成像，其理想的横向放大率：

根据笛卡尔符号法则，规定入射量与反射量相对球面的符号，则相对凸球面的反射物距与相对凹透镜的球面折射物距情况相同，实物时物距为正，虚物时物距为负。

1.2 近轴垂轴小物条件下单球面镜反射成像的特点

1.2.1 横向放大倍数

讨论：已知y>0 即物正立，则当横向放大倍数 为正时，则反射所成的像相对物体就是正立的，反之，则像相对物体就是倒立的；同时，根据牛顿关系与高斯关系，在理想的近轴入射下，如果横向放大倍数 为大于1的正数，则经过近轴反射成像后，像相对物体就是纵向放大的；反之，如果横向放大倍数 的绝对值为小于1的负数，则经过近轴反射成像后，像相对物体就是纵向缩小的。

1.2.2 近轴垂轴小物下单球面镜反射成像的虚实问题

根据笛卡尔符号法则，物体大小数量级在相对球面曲率半径10-2-103倍的范围内，在近轴的理想条件下经过单球面成像系统亦或是经过复杂的多球面光学系统连续多次成像后，除了相对于原物的横向放大倍数，倒正等发生相应变化以外，其虚实也有所变化。现在，仍假设理想的窄光束以较小的角度即近轴垂轴入射单球面后成像的虚实问题，如图2在理想的窄光束近轴入射区域内，垂直于凸面镜主光轴的平面物体可以用子午面内的垂轴小线段AB表示，经近轴单球面折射后所成像A’B’垂直于主光轴。由近轴条件下（不考虑像面畸散的影响）物空间发出的任何通过球心的光线必定经过像空间的对应像点。

对于凸球面镜而言，由于受高斯关系和牛顿公式的制约，近轴入射时物距总为负数，即实物成虚像，此时无论怎样调节物距，光屏上总是不能成像。但是，对于理想的近轴光束入射至凹球面镜时，根据近轴条件下窄光束的物象关系，近轴平面小物既可以成实像也可以成虚像。

2 近轴垂轴小物条件下球面镜反射成像

2.1 近轴垂轴小物条件下凹球面镜反射成像

2.2 近轴垂轴条件下凸球面镜反射成像特点

参考文献：

[1] 姚启钧.光学教程[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 刘杰，洪正平，李健.光学教程[M].济南：山东大学出版社，2010：15-34.

[3] 宣桂鑫.光学[M].上海：华东师范大学出版社，2009.

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