问题哪得新如许，为有高数渗透来

“高观点”这一重要数学思想发端于19世纪末20世纪初的一场数学教育改革运动——克莱茵·贝利运动德国著名数学家克莱因在其著作《高观点下的初等数学》提到：基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解所以当下的高中数学教师应把初等数学问题置于高等数学的博大体系之中，以居高临下，或将高等数学过分抽象的知识进行初等化处理，以举重若轻；如果只在初等数学的视域里看问题和理解问题，就会“不识庐山真面目，只缘身在此山中.

1“高观点”在新课程标准中的体现

“高观点”是指用高等数学的知识、思想和方法来透视、剖析和解决初等数学的问题这里所说的高等数学知识指的是能够借助实例和直观为中学生所接受的知识，突出思想和方法， 强调理解和应用， 不追求严格的证明和逻辑推理现行的《普通高中数学课程标准》明显加大了高等数学的知识含量，而且主要以系列、模块和专题的形式呈现例如，系列2中的导数、数系的扩充和空间向量及其应用；系列3和系列4几乎都是高等数学内容，所涉及的内容有数学史、信息安全与密码、球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、开关电路与布尔代数等等，有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，对学生来说，不仅开拓了视野，增强了数学学习的兴趣，又能得到学习方法和思维方法的改善.

2“高观点”问题与高考的选拔要求有很强的适切性

“高观点”问题是以高等数学中的知识、思想和方法为背景但用初等数学的语言来表述的问题，它有以下几条非常显著的特征.

21高角度问题的设计源于高等数学；立足初、高等数学的衔接点，以高等数学符号、概念

直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中.

22低落点问题的设计虽源于高等数学，但解决的方法却是中学所学的初等数学知识，但对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生的理解力和自学能力提出了更高的要求.

23重能力问题的设计在考查知识的基础上，能宽角度、多观点、深层次地考查数学素养、数学理性思维以及继续学习数学的潜能.

高考是为高等学校选拔人才，为学生进入高校学习作好准备高考强调的“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用而高等数学的一些内容可以提供一个比较公平又有区分度的知识背景，是考查学生进一步学习潜能的良好素材在高考中设置高等数学背景的题目，让学生用已有的方法和知识，去分析一些情境的特点，找出已知和未知的联系，重新组织若干已有规则，形成新的规则，尝试解决新的问题，这样的探索可以很好地考查学生的独创性、知识迁移的能力、理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.

32013年高考高观点试题的评析

在2013年全国各地高考数学试题中，有许多背景新、设问巧的“高观点”问题，它们几乎都是试卷上各类题型的压轴题，倍受命题者的青睐如果通过数学手段对这些数学试题进行合理的分析，可以发现“高观点”问题的命制方式和方法并不是高等数学问题的简单下嫁，而是问题的背景源于高等数学，命题者通过初等化的处理与巧妙设计潜移默化地渗透高等数学的一些观点与方法，据不完全归纳，“高观点”问题的命制方法可以包括引用法，初化法，转语法，演变法等，下面就结合2013年全国各地高考数学试题，谈谈各种方法在试题命制中的体现，并提出一些粗浅的应对策略，愿能为新高三数学复习教学提供一些新的生长点.

31引用法引用法是编制试题的一个常用方法，是指将高等数学中某些简单的命题、概念、定理移用为高考数学试题的一种方法在高等数学中，很多重要的定义、定理都建立在初等数学知识之上，并且需要或者能够用初等数学知识来解决的，这些高初知识的衔接处为引用提供了试题命制的环境和条件.

311引入概念在高等数学的学习中，往往会接触很多抽象化概念，而这些抽象化概念往往与高中知识联系比较紧密，是高等数学和初等数学知识的衔接点.

命制背景“正对数”的定义源于学生比较熟悉的对数知识，lnx取正值时保持原样，lnx取负值时归零，但是正对数和对数又有所区别，所以学生要在正对数和对数的区别与联系中学会辨析，问题的命制体现了“源于课本，高于课本，活于课本”的思想和理念，对a，b分大于1和大于0小于1的讨论思想是解决问题的关键点和落脚点，本问题能很好地考查学生潜在的数学素养和创新意识.

例4（2013年湖北卷 文17）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形 格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L 例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.

（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；

（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数 若某格点多边形对应的N=71，L=18， 则S=（用数值作答）.

命制背景本题直接提出若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形有许多重要的性质，例如：①格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）.

②格点关于格点的对称点为格点③设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，则格点多边形面积的皮克公式为S=a+b2-1④格点正多边形只能是正方形.

⑤格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心本题第（1）小题的命制是考查学生对格点多边形的面积以及格点数的理解，比较简单；第（2）小题的命制是直接引用格点多边形面积的皮克公式S=a+b2-1作为高考试题的已知，学生只要选定三个特殊的格点多边形，然后用待定系数的方法加以解决即可.

32初化法

初化法指的是对高等数学中的问题、概念、原理的特殊化，具体化，低维化使之成为具体的初等化内容初化法是命制题目的一个有效方法，它使得高等数学中的抽象的问题变成具体的、适合中学生做的问题，有较强的综合性和新颖性.

321改变形式将一些高等数学中的命题或原理的条件和结论加以变化（强化或添加新的设问），或者选取新的角度变化原有的承载方式.

例5（2013年四川卷 理15）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点现有下列命题：

①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；

②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；

③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

其中的真命题是（写出所有真命题的序号）

命制背景本题所提出的“中位点”的概念源于“费马点”，即在一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果三个内角均小于120°，则在三角形内部对三边张角均为120°的点，是三角形的费马点在凸四边形中，费马点为两对角线的交点在凹四边形中，费马点为凹顶点本问题在“费马点”的意义不变的情况下进行了适当的拓广，具有一般性但是学生在理解的基础上解决这个问题不会很难，但是如果知晓“费马点”的上述特征，那么判断②和④的正确性就非常容易了.

322特殊化从一般问题出发，通过特殊化手段命制出特殊的问题.

33转语法

331高等语言初等化

“高数语言初等化”是指改变高等数学中的概念和定理的表述方式，将其转化为等价的初等数学语言，借此回避高数概念，将高等数学语言的思想蕴藏在初等数学语言中.

332初等语言高等化

“初等语言高等化”是借用高等数学语言表述初等内容，考核具有高等数学背景的初数知识（思想方法）等

命制背景本题不是考查某个确定的高等数学概念，但是语言形式的呈现上是运用高等数学的形式 运用矩阵语言描述数阵，运用抽象的符号语言揭示数阵元素的特征，具有高度的概括性和一般性，学生如果理解抽象语言背后所表达的初等意蕴就可以解决.

命制背景上面两题以新定义的关系“B=fπ（A）”和运算“∧”和“∨”为背景，构造一个新的系统，无实质的高等数学概念和定理，仅仅运用语言上模仿高等数学群域系统的定义方式诸如这样的高考试题很多，2000年春季高考题目首次出现新定义以来，高考试题中不断出现新定义的题目，这样题目背景比较新颖，能有效考查学生创新能力，又很难在课本上找到原型.

以上我们总结了几种高等数学背景试题的编制方法，其实一道试题的编制并不是单独利用某一种方法，在实际的命题中这四种方法没有严格界限，会有交叉使用也会进行有机的组合.

4对策与建议

“高观点”问题角度高，居高临下，匠心独用，思路灵活，网络性强，但落点低，所命题

目即试题的设计来源于高等数学或者模仿高等数学的叙述方式，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，所以没有任何将高等数学引进高考的误导概言之，作为一名高中教师，不仅要通晓教材和解题技巧，还应掌握高等数学与初等数学的内在联系，多运用“高观点”居高临下地分析和处理“高观点”下的高中数学问题，运用“高观点”来分析、研究、整理高中数学教材，并在高等数学与初等数学的衔接点尝试用高等数学知识编一些不脱离中学实际的“高观点”题，应用到中学数学课堂教学中去，对学生分析问题、解决问题的能力培养、探究性学习能力的提高，数学思想方法的领会，数学视域的开阔、思维品质的培养以及学生学习成绩的提高都有一定的促进作用，另外也促进了数学教师的专业化成长具言之，主要有以下几点建议：

1要改变课堂教学重结论轻过程的做法，对知识形成的来龙去脉要搞清楚，需进行探究性学习，培养学生独立分析问题、判断问题、解决问题的能力.

2要改变解题教学过分追求模式化、程式化的做法，不能热衷于归纳题型、记忆方法，我们看到，靠机械训练，对于这些高观点题是难以应对的.

3要改变综合复习中的“题海战术”、“资源战术”、“频繁考试战术”，要引导学生不仅追求知识的覆盖面，还需认真构建数学知识网络，寻求知识网络的交汇点，只有这样，才能不断发展学生的数学能力，达到以不变应万变.

4在不脱离中学数学的课程标准和教材的前提下，教师可以对重要的概念和知识的联系上做必要的拓宽教师倘若能站在高等数学的角度，沟通初等数学与高等数学的联系，居高临下地去释疑，将会更有利于学生深刻领悟数学概念的精髓及其后续发展.

5将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的联系得以体现，进而去指导中学数学的解题教学工作，其优点体现在这种理论指导更具一般性、归纳性，不需要去追求中学数学解题中过多的技巧，对加强中学解题的训练有着普遍的实际意义.

6数学符号是数学抽象思维的产物，是数学交流与传播的媒介，是进行数学推理的工具，是数学发展的内部动力对数学符号语言的考查能够衡量一个人的数学能力，因此需引起足够的重视，在平时的教学中应该注重对学生进行符号语言的阅读、理解、转化、表述、探究、调控能力的培养.

作者简介方治，男，中共党员，1978年12月出生，中学高级教师，浙江省教坛新秀、浙江省优秀教练员，有多篇论文发表或在国家、省、地、市级获奖

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