关于可导与连续的几个结论

摘 要：结合实例，深入研究可导与连续的关系，并得到了几个有用的结论。

关键词：可导 连续 不可导 不连续

中图分类号：O172.1 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）04（a）-0070-02

可导与连续是微积分中两个重要的概念，大多现有教材中，对可导与连续的关系都只是一带而过，并没有深层地去理解和思考，这很容易使学生判断函数的可导性与连续性时产生混乱，为了更好地帮助学生理解可导与连续，本文深入讨论了可导与连续的关系，并给出了几个有用的结论。

定理1：如果函数在点处可导，则它在点处连续。

证明参看文献[1]。

根据定理1，很容易得到下面的结论。

结论1：若与都存在，则函数在点处连续。

证明：因为存在，于是有

，

即：函数在点处左连续，

同理，由存在，可推知函数在点处右连续，

因此，函数在点处连续。

对于定理1来说，其逆命题不成立。

结论2：函数在点处连续，但在点处不一定可导。

例1：证明函数在处连续，但不可导。

证明：，

，故函数在处连续。

而，

所以函数在处不可导。

1872年，著名数学家Karl Weierstrass利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数：

，，。

1930年，Van der Waerden给出的例子是：

。

在数学分析课程中，这是两个非常著名的处处连续但处处不可导的函数，参见文献[4]。

在连续的基础上，适当强化结论2的条件，能够得到如下结果。

例2：若函数在点处连续，且，而函数在点处可导，则函数在点处也可导。

证明：因为函数在点处连续，所以有，

又因为函数在点处可导，即存在，可设：

，

于是有：

，

即：函数在点处也可导。

例3：若函数在点处连续，则函数在点处可导。

证明：已知函数在点处连续，即，于是有：

，

即：函数在点处可导。

将例3推广：

若函数在点处连续，则函数：

在点处可导。

证明：时，见例3，

时，

，

故函数在点处可导。

例4：若函数在点处连续，则函数在点处可导。

证明：，

，

故函数在点处可导。

推广：若函数在点处连续，则函数在点处可导。

证明可参看例3、例4，这里不再赘述。

显然，定理1的否命题不成立。

结论3：若函数在点处不可导，那么函数在点处不一定连续。

例5：证明函数在点处不可导，但在点连续。

证明：，

，

，故函数在点处不可导。

而，故函数在点处连续。

例6：设函数，判断其在处的连续性和可导性。

解：，故函数在处不可导。

，，

故函数在处不连续。

由于原命题与逆否命题同真，所以定理1的逆否命题成立。

结论4：若函数在点处不连续，则函数在点处不可导。

证明：假设函数在点处可导，根据定理1可推知函数在点处连续，这与已知条件矛盾，假设不成立，因此，当函数在点处不连续时，函数在点处必不可导。

例7：讨论函数在点处的连续性和可导性。

解：，，

因为 ，

所以函数在点处不连续，由此推知函数在处也不可导。

结论5：若函数在某个区间上可导，则其导函数在该区间上不一定连续。

例8：考察函数，在点处的导数

，

所以函数在点处可导。

而当时，，

因为不存在，所以在点处不连续。

例9：考察函数，显然

，

因为，

所以，即在点处连续。

参考文献

[1]吴赣昌.高等数学（理工类）（上册）[M].3版.北京：中国人民大学出版社，2009.

[2]复旦大学数学系.数学分析[M].上海：上海科技出版社，1978.

[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]陈纪修，邱维元.数学分析课程中的一个反例[J].高等数学研究，2006，9（1）：2-5.

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