基于粒子群算法的二维介质重构

摘 要:基于粒子群算法,在环状构型下通过矩量法数值分析了二维均匀、各向同性连续介电常数实部,在无噪声、有先验约束情况下的重构。重构结果表明,该重构方法有较好的重构结果。该研究对基于电磁场理论的医学临床诊断乃至于对遥感、地球勘探、无伤探测等做了理论上的准备,也为生物体电磁波成像的实际应用提供了理论指导。

关键词:粒子群算法; 逆散射; 重构; 适应值函数

中图分类号:TP274 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)12-0081-04

2-D Medium Reconstruction Based on Particle Swarm Algorithm

ZHANG Xiao-di, WU Ji-xia, ZHANG Hui

(College of Physics and Electronic Engineering, Xianyang Normal University, Xianyang 712000, China)

Abstract:Based on the particle swarm optimization algorithm, the real parts of the 2-D homogeneous and the isotropic medium was numerically analyzed by the method of moment in the circle configuration, and the reconstruction was performed in the cases of no-noise and the prior constraint. The reconstruction results show the reconstruction method has a good effect. The study can provide the theoretical preparation, such as clinical diagnosis, remote sensing, nondestructive testing, and the theoretical guidance for the practical application of the electromagnetic imaging based on the electromagnetic wave theory.

Keywords: particle swarm algorithm; inverse scattering; reconstruction; fitting value function

0 引 言

生物体电磁波成像有电阻抗成像、电磁参数重构等方法。电磁参数重构,其本质是电磁逆散射,它是一种以电磁波作为信息载体,通过在电磁波作用下,测量生物体周围的电磁波分布,反演生物组织内电磁参数的方法。由于生物体电磁参数分布可以反映生物体的温度分布、血液容量、血氧含量等许多生理信息[1-2],不同组织的电磁参数不同,正常组织与病变组织的电磁参数也不同。所以,生物体的电磁参数分布可以作为医学临床分析依据。

生物体电磁波成像的研究主要表现在对成像算法和成像技术的研究。对于算法研究,由于目标体的维数、不连续性、各向异性以及测量数据相对于求解目标的有限性等,造成求解问题的非线性、病态性[3],使得对于成像算法的研究一直是生物电磁学乃至计算电磁学研究的热点问题。在算法的研究中,有第一代基于衍射成像的逆散射算法,研究高对比度介质成像的确定性算法[4-7],如Born方法、变形的Born方法、N-K(newton-kantorovitch)方法、L-M(levenberg-marquardt)迭代方法等。这些确定性方法的局限表现在要获得准确和合理的结果,要求初始试探解足够接近实际值。将研究问题转化为一个全局搜索寻优过程的遗传算法可以避开这些问题。然而,应用遗传算法,要求确定遗传算子(选择算子、交叉算子和变异算子)、运行参数(群体大小、交叉概率、变异概率等)等影响求解结果和效率的多个参数。

为了克服遗传算法的缺陷,Kennedy and Eberhart 1995年首次提出解决此类问题的智能优化算法——粒子群算法[8](particle swamp optimization,PSO)。PSO算法也是基于群体迭代,但没有交叉和变异算子,群体在解空间中追随最优粒子进行搜索。该算法收敛速度快,设置参数少(如遗传算法要考虑3个遗传算子,而粒子群算法仅考虑速度修正因子),简单易实现,又因为该算法本身深刻的智能背景,近年来,已有越来越多的学者将PSO算法应用于电磁学领域[9-10]。基于此,本文将应用PSO算法,研究生物体电磁波成像。

1 积分表达式

考虑一个设置在均匀媒质εb中的任意形状的柱状物体(目标),如图1所示。该物体的轴向沿z轴方向,在x-y平面的横截面用Ω表示,研究区域(背景区域)为S。假设用时谐波来照射该目标,时间因子为exp(jωt),在区域Ω,点处复电介常数ε可表示为:

ε() =ε′()+jε″()=ε0[ εr()-εrb()](1)

式中:ε′是介电常数;ε″与处生物体电导率成正比;若目标函数用c()表示,则定义:



c()=εr()-εrb()=c′-jc″, ∈Ω

0,Ω (2)



式中:εr和εrb分别表示目标体和背景的相对介电常数。

图1 目标重构的几何构型

本文对生物目标体重构采用环状构型,在环状构型下,假设照射生物体的是柱面波,可认为该柱面波是由位于l′(1≤l≤L)处的线源(平行于z轴)产生的。所以,在TM情况下,第l个线源产生的柱面波[11]为:

il()=p ωμ0 4 H(1)0(kb|-′|)z (3)

式中:p是线源强度;ω是角频率;H(1)0是第一类零阶汉克尔函数;kb是在背景介质中波传播的波数。

考虑到几乎所有的生物体为非磁性物体[12],即μ=μ0,则在TM波照射下,第l次照射对应的入射场eil,散射场esl,总场el有:

el()=ei()+∫sk20c(′)G(,′)e(′)ds,l=1,2,…,L (4)

esl()=∫sk20c(′)G(,′)el(′)ds, l=1,2,…,L (5)

式中:G(,′)=14jH20(kb-′);H20是零阶第二类汉克尔函数。

2 粒子群算法

PSO是计算智能领域中除蚁群算法外的另一种智能算法。在该算法中,每个优化问题的解都是搜索空间中的一只“鸟”,称其为粒子。所有的粒子都有一个被优化函数决定的适应值,粒子通过跟踪个体极值Pp和全局极值Pg来实现群体优化。设在一个n维的搜索空间中,有m个粒子组成的种群 X =(x1,…,xi,…,xm),其中第i个粒子的位置 X i=(xi1,xi2,…,xin)T,其速度 V i=(vi1,vi2,…,vin)T,它的个体极值 P pi=(pi1,pi2,…,pin)T,种群的全局极值为 P gi=(pg1,pg2,…,pgn)T。根据公式粒子:

vk+1i=wvki+c1r1(pkip-xki)+c2r2(pkig-xki) (6)

xk+1i=xki+vk+1i (7)

来完成自己的速度和位置更新。其中,w是惯性权重;c1,c2是加速常数。

2.1 粒子群算法流程

(1) 初始化。随机初始种群位置、速度为v;设定加速常数为c1,c2;惯性常数为w等;

(2) 计算每个粒子的适应值;

(3) 比较每个粒子的适应值,获取当前自身最优值Pp;

(4) 比较每个粒子的适应值与种群最优值,获取当前种群最优值Pg;

(5) 通过式(6)、式(7)更新粒子的速度方向和位置,产生新种群;

(6) 检查结束条件,若满足,则结束寻优,否则,转至(2)。

2.2 适应值函数

定义:优化问题的适应值函数:



φ= ∑ L l=1 ∑ M m=1 els(m)-elsd(m)∑ L l=1 ∑ M m=1 elsd(m)+

∑ L l=1 ∑ M m=1 eil(n)-eild(n)∑ L l=1 ∑ M m=1 eild(n) (8)

式中:eild(n)表示第l次照射下,在自由空间,在n处测量的入射场;elsd(m),els(m)分别表示在第l次照射下,m处测量的散射场和仿真得到的散射场。

3 数值仿真结果

对于已知目标模型,采用矩量法求得在不同方向TM波照射下的散射场,并以此作为目标散射场的测量值。考虑到现在大部分的文献中研究生物组织的电常数c=c′-jc″内实部c′、虚部c″均大于零,且为了讨论问题方便,在此,对重构目标电常数实部时,取背景为自由空间,同时,对重构的c′强加其值大于零的约束条件。

3.1 重构构型

假设均匀分布在半径为1.5λ的圆周上8个线源(如图1所示),依次产生TM柱面波照射(环状构型)目标体,接收电磁波的天线也分布在这8个位置上,产生入射波的频率为100 MHz,研究的范围为1.6×1.6,并划分成8×8网格,每个网格的尺寸为0.2×0.2。为仿真方便起见,在数值运算时取pωμ04=1。

3.2 重构目标分布

如图2所示,假设重构的目标为连续分布的介质,其函数分布为:



c=1.25cos[ π(i-5)/8] cos[ π(m-5)/8] ,

3≤m≤6,3≤i≤6 (9)

图2 原设连续介质分布

3.3 参数选取

在粒子群算法的研究中,已有相当的学者做了大量的工作去理解和形成PSO算法参数,以实现全局优化和个体寻优间的平衡。因为,惯性因子w表征粒子惯性大小,表征粒子对原来速度的保持程度,较大的w可以加强PSO的全局搜索能力,较小的w能加强局部搜索能力。Yuhui Shi在文中建议w的取值在[0,1.4]。在文献[13]中又提出w在0.9~0.4之间线性递减的策略;Eberhart 通过研究又发现w取值在[0.8,1.2]时具有较高的收敛速度,在这个范围之外,如果w过大就会导致算法很难收敛等。综合考虑,在本节的数值仿真中,取w值为0.68。

加速因子c1和c2决定了粒子本身经验信息和粒子其他经验信息对粒子运行轨迹的影响,反映了粒子群之间的信息交流。较大的c1值,会使粒子过多的在局部范围内徘徊,而较大的c2值,则又会促使粒子过早收敛到局部最小值。本节对于介质重构仿真的加速因子c1和c2取值为[0.6,2.8]。

为了将粒子限制在解空间内,本节的目标重构,对于在迭代中超出求解区域的粒子,其解取前次粒子值xi,对于种群优化的vi的约束采用线性递减策略,即vi∈[ -0.2t/(t+mp),0.2t/(t+mp)] 。其中,t为设定常数;mp为迭代次数。

3.4 数值仿真

数值仿真如图3所示。对于原设的连续介质分布,如图3所示。图3给出了无噪声,在加先验约束的情况下,连续分布的目标在环状构型、不同迭代次数系下的重构结果。其中左图为重构结果,右图为适应值函数随迭代次数的变化关系。比较图3重构结果看,粒子群算法在环状构型下有一定的收敛性,同时图3(a)~(d)也显示,在迭代一定次数后,图3(b)~(d)显示在迭代次数大于1 000次后,适应值函数几乎不发生变化。

图3 在无噪声、先验约束情况下,连续介质重构

4 结 语

本文从电磁场理论出发,给出了介质重构的电磁场积分方程,基于粒子群算法,研究二维均匀、各向同性介质在环状构型下的电常数重构,即对积分方程通过矩量法形成的矩阵,采用PSO算法进行介质实部重构。重构结果表明,粒子群算法可用于二维各向同性、均匀电常数的重构。

生物电磁学之电磁场与生物体相互作用研究已许多年了,基于电磁场理论的介质重构也有很多现在工业和技术上的应用方法。以PSO算法为切入点,进行生物体电参数重构,即电磁波成像的研究。其研究的意义在于:

(1) 就基础研究而言,其成果将提供对医学的临床诊断乃至于对遥感、地球勘探、无伤探测等理论上的准备,为生物体电磁波成像的实际应用提供理论上的指导;

(2) 就应用前景而言,生物体电磁波成像技术将成为医学影像学另一种新技术。

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