基于有限元法–正交球面波源边界点法的振动体声学灵敏度分析

材料和结构几何参数等设计变量的灵敏度计算.该方法避免了有限元-边界元法存在的系数矩阵奇异积分、数值求积和非唯一性问题，从而降低了设计计算的难度.数值计算结果表明了所提分析方法的正确性与可行性.

关键词：建筑噪声;灵敏度分析;正交球面波源边界点法;有限元法

中图分类号：TU112       DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.03.009

引言

解决建筑噪声问题的根源在于抑制固体振动源的声辐射[1]，而控制声辐射最有效的方法是对振源结构的材料属性和几何形状等参数进行优化设计以降低声辐射.为了实现这一目标，不但需要预测振动体的辐射声场，还需要计算辐射声场对振动体的材料属性和几何形状的灵敏度，用于指导噪声环境的优化设计.

有限元[2-4]和边界元法[5-8]是目前用于振动体声学灵敏度分析的两种主要方法，国内外学者已经相继建立了多种基于上述两種方法的声学灵敏度分析方法[9].实际上，对于声学问题来说，由于计算域的无界特性，边界元法是更适合用于声学灵敏度分析的算法.但是，由于边界元法的系数矩阵需通过数值积分计算，同时还存在奇异积分处理和非唯一性等问题，导致边界元法的计算复杂并且计算效率较低.将边界元法用于声学灵敏度计算时，需要对系数矩阵进行求导，导致计算的复杂度进一步增加.鉴于上述局限性，有学者提出了基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度分析方法[10-12].该方法避免了边界元法存在的问题，降低了数值处理难度并提高了计算效率.在目前的基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度计算方法中，作为输入量的结构频率响应和结构灵敏度是通过近场声全息重建得到.由于近场声全息本质上是一种测试技术，因此目前的方法只适合用于已经完成制造安装的结构的声学灵敏度分析.但是，声学灵敏度分析更重要的应用场合是在设计过程，在设计阶段实现噪声辐射的优化和控制能够降低成本和缩短开发过程.

针对目前基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度计算方法存在的局限性，本文将该方法与有限元法相结合.其中，有限元法用来计算振动体的结构振动频率响应以及结构振动对设计变量的导数，这些结构响应和导数计算结果作为正交球面波源边界点法的输入参数进一步计算振动体辐射声场对结构设计变量的声学灵敏度，从而实现振动体声辐射灵敏度的正向设计.

1    基于有限元法-正交球面波源边界点法的声学灵敏度

假设振动体表面[N]个结点（表示为[rsi]，[i]表示第[i]个结点）上的法向振速组成的向量为[vns]，则基于正交球面波源边界点法[3]可得到声场中点[r]处的声压[p（r）]为：

式（9）即为基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度计算公式.在该公式中矩阵[v*ns]与结构相关，因此该矩阵相对设计变量的导数不为零，该导数可以通过对式（2）求导得到.在已知表面法向振速[vns]及其导数的前提下，使用式（9）即可求得声压相对设计变量的灵敏度.在之前研究中[vns]及其导数是通过近场声全息重建获得，但是这种方式不适合用于正向的声学优化设计，为此本文将有限元法和正交球面波源边界点法相结合，建立正向的声学灵敏度计算方法.

对于简谐激励条件下的有阻尼强迫振动，其在频域中的有限元方程为[12]：

2     数值验证

以如图1所示箱体模型为例计算声学灵敏度并验证本文方法.箱体尺寸为30 cm[×]30 cm[×]30 cm，其表面划分为600个单元，共有602个结点.模型材料密度2 700 kg/m3，杨氏模量为7.2[×]1010 Pa，泊松比0.35，箱体6面壁厚为0.3 cm.为激励振动，施加幅值为      1 kN，频率为0.2 kHz的简谐力，加载位置如图1所示.除被激表面外，箱体其余表面边界条件为固支.选取被激励箱体表面的厚度为设计变量.计算过程中，声速[c=]344 m/s;空气密度[ρ]=1.2 kg/m3，正交球面波源放在箱体中心，共使用了35阶球面波源.场点取沿[z]轴方向0.3 m开始到1.5 m结束，间隔0.1 m，共13个点.

箱体的表面法向振速[vns]采用有限元软件NASTRAN中的直接频率响应分析模块SOL108计算得到，如图2所示.箱体表面法向振速[vns]的导数采用NASTRAN的优化分析模块SOL200得到其表面结构振动灵敏度，结果如图3所示.

将求得的表面法向振速及其导数代入式（14），可以计算得到声压对该被激励表面厚度的声压灵敏度.为验证本文所提出方法的正确性，将本文方法计算所得结果与利用有限元差分法计算所得的结果进行比较.有限差分法作为一种声学灵敏度的有效计算方法，在应用中收敛情况很大程度上依赖于差分步长，且为获得设计变量改变后的声学参量，需对有限元模型进行多次修改，很大程度增加了计算量.有限差分法表达式为：

基于本文方法与有限差分法的计算结果如图4所示.[Δh]分别取值1[×]10-4 m、1[×]10-5 m，由图4可以看出，两者计算结果基本相同.由图5可看到计算结果相对误差在[Δh]=1[×]10-4 m时，实部和虚部误差基本大于10%，极值甚至达到了15%;而随着差分增量[Δh]的减小，误差随之减小，当[Δh]=1[×]10-5 m时，实部和虚部误差几近为1%，最大不超过2%，逐渐向基于有限元法-正交球面波源边界点法的灵敏度计算结果收敛.从而说明了本文方法的正确性和可行性.

3    结论

本文将正交球面波源边界点法和有限元法相结合，建立了声学灵敏度分析方法.由于正交球面波源边界点法的引入，规避了常用的边界元法中系数矩阵的奇异积分、数值求积和非唯一性问题，大幅消除了数值处理工作的困难;与有限元法相结合，实现了振动体的辐射声场对振动体的材料和结构几何参数等设计变量的灵敏度正向计算.数值计算结果表明了所提分析方法的正确性与可行性，以期能对建筑噪声源的控制提供一定的优化方向和量化依据.

参考文献

[1] 程芙荣.城市环境噪声的治理[J].广西工学院学报，2006，17（2）：107-110.

[2] HAGIWARA I，MA Z D. Development of eigenmode and frequency response sensitivity analysis methods for coupled acoustic-structure systems[J]. JSME International Journal Series，1992，35（2）：229-235.

[3] 张永斌，毕传兴，陈剑，等. 基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度分析[J]. 机械工程学报，2007，43（2）：33-38.

[4] 陈立涛. 结构声学灵敏度计算方法研究[D].合肥：合肥工业大学，2013.

[5] 蔡俊，林琼，蔡伟民. 用边界元法研究不同顶端声屏障的性能[J]. 噪声与振动控制，2006（3）：89-91，109.

[6] ZHENG C J，MATSUMOTO T，TAKAHASHI T，et al. Explicit evaluation of hypersingular boundary integral equations for acoustic sensitivity analysis based on direct differentiation method[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements， 2011，35（11）：1225-1235.

[7] ZHENG C J，MATSUMOTO T，TAKAHASHI T，et al. A wideband fast multipole boundary element method for three dimensional acoustic shape sensitivity analysis based on direct differentiation method[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，2012，36（3）：361-371.

[8] 張永斌，汪术龙，毕传兴，等. 预测声屏障插入损失的抛物方程法及其初始声场研究[J]. 声学学报，2018，43（1）：69-75.

[9] 韩俊，向宇，陆静.敷设被动约束层阻尼封闭箱体结构声振特征分析[J].广西工学院学报，2012，23（1）：39-44.

[10] 张永斌，毕传兴，陈剑，等.基于正交球面波源边界点法的声学灵敏度分析[J].机械工程学报，2007，43（2）：33-38.

[11] 张永斌，毕传兴，陈剑，等.FFT在平面机械结构声学灵敏度分析中的应用[J].农业机械学报，2008，39（12）：216-218，173.

[12] 张永斌，毕传兴，陈剑，等.基于波叠加的结构—声学灵敏度分析的伴随变量方法[J].机械工程学报，2009，45（4）：177-182.

Abstract： The construction noise is a main source of environmental noise. The effective way to control the construction noise is to make the noise sources generate less noise， i.e. controlling noise in the design stage. However， implementing low noise design of construction equipments requires more information that cannot be obtained empirically. Instead， the quantitative value of acoustic sensitivity is necessary for low noise design since it can provide the optimized orientation for low noise design of radiating structures. In the paper， the finite element method and orthogonal spherical wave source boundary point

method is combined for acoustic sensitivity analysis， by which sensitivity of acoustic quantities with respect to the design variables such as structural parameters and physical properties can be achieved precisely. Compared with the conventional method that combines the finite element method and boundary element method， the proposed method has no inherent problem of singular integration and non-uniqueness which will make numerical processing more complicated. The validity and feasibility of the proposed method is verified by numerical results.

Key words： construction noise; sensitivity analysis; orthogonal spherical wave source boundary point method; finite element method

（责任编辑：黎  娅）

推荐访问： 波源 正交 声学 球面 灵敏度

---