基于量子力学表象变换理论构造新的小波函数族

文章编号：1000-5617（2015）02-0020-03

引言

小波变换是通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度的细化分析，具有对信号的自适应性，小波变换联系着多个学科，如在应用数学、应用物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理与地震勘探等许多领域都有着广泛的应用。

小波变换定义为

对于母小波所满足的这一资格条件（2）式，可以利用量子力学的表象变换理论给出其对应的Dirac符号表示下的一般条件式，然后基于该条件式去寻找一系列新的母小波，为构造更多的小波函数提供便利条件。

母小波的资格条件

由坐标和动量表象之间满足的傅立叶变换关系，即（4）式，并利用内积关系式（5）式便是基于量子力学的表象变换理论所推导出来的寻找母小波的一般条件式。由于在（5）式中只剩下了2n阶（偶次幂）的系数，所以自然排除了母小波是奇函数的情形。

例如选取“墨西哥帽”形式的母小波（如图1

寻找类“墨西哥帽”的高次幂形式的母小波

有了寻找母小波的一般条件式之后，可以利用该式来构造满足资格条件的一类母小波。下面来讨论两组实例。

构造新的Morlet小波函数资格条件构造出来的类“墨西哥帽”的高次幂形式的小波函数.下面将在此基础上构造新的类“墨西哥帽”高次幂形式的Morlet小波函数簇。

3.1新的实Morlet小波函数

由（8）（9）（10）式，分别乘以cosx后，可以得到新的实Morlet小波函数，分别为：如图4所示。由图4可以清楚地看到，小波函数的局域性和收敛性得到了很好的保留，这大大扩展了实Morlet小波函数的范围。

3.2新的复Morlet小波函数式中i是虚数单位。由于该新的复Morlet小波函数的实部与图4结构一直，下面只分析其虚部，如图5所示，由图5可以清楚地看到，不但小波函数的局域性和收敛性得到了很好的保留，而且虚部函数图象关于原点对称，这给工程应用带来很大的选择空间。

结束语

基于量子力学的表象变换理论，给出了母小波的资格条件，寻找到了高次幂形式的类“墨西哥帽”母小波函数，在此基础上构造出了新的Morlet小波函数族。该项工作大大扩展了小波函数的范围，给工程应用带来很大的选择空间。

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